资源描述
第1讲直线与圆教师授课资源备考指导圆的考查有四种趋势考查圆的选择、填空，重点考查圆的切线，圆的弦长，利用圆的特殊性、利用几何意义处理题目，特别注意数形结合.与圆锥曲线结合，简单考查，重心不在圆.*在极坐标系参数方程上，重点考查圆的有关问题，思路，参考方程法或几何法处理有关最值问题.与三角形结合，涉及内切圆与外接圆问题.做小题激活思维1直线(a2)x(1a)y30与直线(a1)x(2a3)y20互相垂直，则a()A1B1C1DC由(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，故选C.2直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是()A3xy40B3xy40C3xy40Dx3y40C由题意，设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，所以，解得k3，所以直线l的方程为3xy40，故选C.3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离B两圆心距离d，Rr235，rR1，rRdRr，两圆相交4直线4x3y0与圆(x1)2(y3)210相交所得的弦长为_6假设直线4x3y0与圆(x1)2(y3)210相交所得的弦为AB，圆的半径r，圆心到直线的距离d1，弦长|AB|22236.5一题多解经过三点A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为_(x1)2y24法一：(待定系数法)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D2，E0，F3，所以圆的方程为(x1)2y24.法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x1上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r|a2|，所以a0，r2，所以圆的方程为(x1)2y24.6已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5由题意可知a2a2，a1或2.当a1时，方程可化为x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，故圆心为(2，4)，半径为5.当a2时，方程可化为x2y2x2y0，不表示圆扣要点查缺补漏1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10(斜率相等)且B1C2B2C10(在y轴上截距不等)；(2)直线Ax1B1yC10与直线Ax2B2yC20垂直A1A2B1B20.如T1.2点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d；如T2.(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d.3圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2；(2)一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)；(方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆AC0，且B0，D2E24AF0)；如T5，T6.(3)参数方程：；(4)直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.4点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题如T3.(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系r2d2来处理如T4.圆的方程及应用(5年4考)高考解读圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.1(2015全国卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.B.C.D.B设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，ABC外接圆的圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为.2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3A由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r，圆心到直线xy20的距离d2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3，最小距离是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故选A.教师备选题(2019北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_(x1)2y24如图，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，所求圆的圆心为F，且与准线x1相切，圆的半径为2，则所求圆的方程为(x1)2y24.解决与圆有关的问题一般有2种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数1(借助几何性质求圆的方程)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30C由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则2，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0.故选C.2(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为12，则圆C的方程为_x2因为圆C关于y轴对称，所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2(yb)2r2.依题意，得解得所以圆C的方程为x2.3一题多解(平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_3法一：设A(a,2a)，a0，则C，圆C的方程为(ya)2a2，由得(5a，2a)2a24a0，a3或a1，又a0，a3，点A的横坐标为3.法二：由题意易得BAD45.设直线DB的倾斜角为，则tan ，tanABOtan(45)3，kABtanABO3.AB的方程为y3(x5)，由得xA3.直线与圆、圆与圆的位置关系高考解读以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.4由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2得()212，解得m.又直线l的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.2(2015全国卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设，可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入圆的方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|2.1求解圆的弦长的3种方法几何法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解2.直线与圆相切问题的求解策略(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|(其中C为圆心)提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形1(已知弦长求方程)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点，若|MN|，则直线l的方程为_y2x1或yx1直线l的方程为ykx1，圆心C(2,3)到直线l的距离d，由R2d2，得1，解得k2或，故所求直线l的方程为y2x1或yx1.2(与不等式交汇)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.BCDB曲线y的图象如图所示：若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k0，设l：yk(x)，则点O到l的距离d.又SAOB|AB|d2d，当且仅当1d2d2，即d2时，SAOB取得最大值，所以，k2，k.故选B.3(与物理学科交汇)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B或C或D或D由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y3k(x2)，即kxy2k30.又因为光线与圆(x3)2(y2)21相切，所以1，整理得12k225k120，解得k或k.4(综合应用)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.
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