高中数学人教A版选修44教学案： 第一讲 第1节 平面直角坐标系 Word版含答案

核心必知1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx， （0） ，yy， （0）的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换问题思考1用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便2 伸缩变换中的系数，有什么特点？在伸缩变换下， 平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数0，0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换已知 RtABC，|AB|2a(a0)，求直角顶点 C 的轨迹方程精讲详析解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(a，0)，B(a，0)，设顶点 C(x，y)法一：由ABC 是直角三角形可知|AB|2|AC|2|BC|2，即(2a)2(xa)2y2(xa)2y2，化简得 x2y2a2.依题意可知，xa.故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa)法二：由ABC 是直角三角形可知 ACBC，所以 kACkBC1，则yxayxa1(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa)法三：由ABC 是直角三角形可知|OC|OB|，且点 C 与点 B 不重合，所以 x2y2a(xa)，化简得直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2a2(xa)求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系设点列式化简检验(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题1已知线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|8，|CD|4，动点 M 满足|MA|MB|MC|MD|，求动点 M 的轨迹方程解：以 O 为原点，分别以直线 AB，CD 为 x 轴、y 轴建立直角坐标系， 则 A(4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，2)设 M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA| （x4）2y2，|MB| （x4）2y2，|MC| x2（y2）2，|MD| x2（y2）2，由|MA|MB|MC|MD|，可得（x4）2y2（x4）2y2 x2（y2）2x2（y2）2.化简，得 y2x260.点 M 的轨迹方程为 x2y26.已知ABC 中，ABAC，BD、CE 分别为两腰上的高求证：BDCE.精讲详析本题考查坐标法在几何中的应用解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题如图，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系设 B(a，0)，C(a，0)，A(0，h)则直线 AC 的方程为 yhaxh，即：hxayah0.直线 AB 的方程为 yhaxh，即：hxayah0.由点到直线的距离公式：|BD|2ah|a2h2，|CE|2ah|a2h2，|BD|CE|，即 BDCE.(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等2已知ABC 中，BDCD，求证：AB2AC22(AD2BD2)证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐系 xOy，则 A(0，0)，设 B(a，0)，C(b，c)，则 D(ab2，c2)，AD2BD2（ab）24c24（ab）24c2412(a2b2c2)，AB2AC2a2b2c2.AB2AC22(AD2BD2)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x13x，y12y后的图形是什么形状？(1)y22x；(2)x2y21.精讲详析本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状由伸缩变换x13x，y12y.可知x3x，y2y.(1)将x3x，y2y代入 y22x，可得 4y26x，即 y232x.即伸缩变换之后的图形还是抛物线(2)将x3x，y2y代入 x2y21，得(3x)2(2y)21，即x219y2141，即伸缩变换之后的图形为焦点在 y 轴上的椭圆利用坐标伸缩变换：xx， （0） ，yy， （0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出x1x，y1y，然后将其代入已知的曲线方程求得关于 x，y的曲线方程3将圆锥曲线 C 按伸缩变换公式3xx，2yy变换后得到双曲线 x2y21，求曲线 C 的方程解：设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，通过伸缩变换后的对应点为 P(x，y)，由3xx，2yy得x13x，y12y.代入 x2y21 得(x3)2(y2)21，即x29y241 为所求本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法， 湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合， 以解答题的形式考查， 是高考命题的一个新热点考题印证(湖北高考改编)设 A 是单位圆 x2y21 上的任意一点，l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足|DM|m|DA|(m0，且 m1)当点 A在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C.求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标命题立意本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法解如图，设 M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且 m1)，可得 xx0，|y|m|y0|，所以 x0 x，|y0|1m|y|.因为 A 点在单位圆上运动，所以 x20y201.将式代入式即得所求曲线 C 的方程为 x2y2m21(m0，且 m1)因为 m(0，1)(1，)，所以当 0m1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为( 1m2，0)，( 1m2，0)；当 m1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0， m21)，(0， m21)一、选择题1ycos x 经过伸缩变换x2x，y3y后，曲线方程变为()Ay3cosx2By3cos 2xCy13cosx2Dy13cos 2x解析：选 A由x2x，y3y得x12x，y13y.又ycos x，13ycosx2，即 y3cosx2.2直线 2x3y0 经伸缩变换后变为 xy0，则该伸缩变换为()A.x12x，y3yB.x2x，y3yC.x2x，y13yD.x12x，y13y解析：选 B设变换为xx， （0）yy， （0），将其代入方程 xy0，得，xy0.又2x3y0，2，3.即x2x，y3y.3将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆B比原来大的圆C比原来小的圆D双曲线解析：选 D由伸缩变换的意义可得4已知两定点 A(2，0)，B(1，0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9解析：选 B设 P 点的坐标为(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)2y2即(x2)2y24.故 P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以 2 为半径的圆，它的面积为 4.二、填空题5将点 P(2，3)变换为点 P(1，1)的一个伸缩变换公式为_解析：设伸缩变换为xhx（h0）ykx（k0），由12h13k，解得h12，k13xx2，yy3.答案：xx2，yy36将对数曲线 ylog3x 的横坐标伸长到原来的 2 倍得到的曲线方程为_解析：设 P(x，y)为对数曲线 ylog3x 上任意一点，变换后的对应点为 P(x，y)，由题意知伸缩变换为x2xyy，x12x，yy.代入 ylog3x 得 ylog312x，即 ylog3x2.答案：ylog3x27 把圆 x2y216 沿 x 轴方向均匀压缩为椭圆 x2y2161， 则坐标变换公式是_解析：设：xx（0） ，yy（0） ，则xx，yy.代入 x2y216 得x2162y21621.1621，16216.14，1.故xx4，yy.答案：xx4，yy8已知 A(2，1)，B(1，1)，O 为坐标原点，动点 M 满足，其中 m，nR，且 2m2n22，则 M 的轨迹方程为_解析：设 M(x，y)，则(x，y)m(2，1)n(1，1)(2mn，nm)，x2mn，ynm.又 2m2n22，消去 m，n 得x22y21.答案：x22y21三、解答题9在同一平面直角坐标系中，将曲线 x236y28x120 变成曲线 x2y24x30，求满足条件的伸缩变换解：x236y28x120 可化为(x42)29y21.x2y24x30 可化为(x2)2y21.比较，可得x2x42，y3y，即xx2，y3y.所以将曲线 x236y28x120 上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的 3倍，就可得到曲线 x2y24x30 的图象10在正三角形 ABC 内有一动点 P，已知 P 到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2|PB|2|PC|2，求点 P 的轨迹方程解：以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点 P(x，y)，B(a，0)，C(a，0)，A(0， 3a)，(y0，a0)用点的坐标表示等式|PA|2|PB|2|PC|2，有 x2(y 3a)2(xa)2y2(xa)2y2，化简得 x2(y 3a)2(2a)2，即点 P 的轨迹方程为 x2(y 3a)24a2(y0)11已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线 yx2 相切(1)求 a 与 b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1和 F2，直线 l1过 F2且与 x 轴垂直，动直线 l2与 y轴垂直，l2交 l1于点 P.求线段 PF1的垂直平分线与 l2的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型解：(1)e33，e2c2a2a2b2a213，b2a223.又圆 x2y2b2与直线 yx2 相切，b211 2.b22，a23.因此，a 3，b 2.(2)由(1)知 F1，F2两点的坐标分别为(1，0)，(1，0)，由题意可设 P(1，t)那么线段 PF1的中点为 N(0，t2)设 M(x，y)，由于 MN(x，t2y)，PF1(2，t)，则MNPF12xt（yt2）0yt，消去 t 得所求轨迹方程为 y24x，曲线类型为抛物线最新精品资料