信与系统教案[1]课件

第4-1页信号与系统教案1第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理第4-2页信号与系统教案1从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。（频域分析）。引言引言l时域分析中，将任意信号分解成时域分析中，将任意信号分解成冲激函数冲激函数的加权积分；的加权积分；l变换域分析中，将任意信号分解成变换域分析中，将任意信号分解成三角函数三角函数或或虚指数虚指数 函数函数的加权积分；的加权积分；l将任意信号表示为将任意信号表示为不同频率正弦分量不同频率正弦分量的线性组合称为的线性组合称为 信号的频谱分析。信号的频谱分析。 第4-3页信号与系统教案1l频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了切关系，从而导出了信号的频谱信号的频谱、带宽带宽以及以及滤波滤波、调制调制和和频分复用频分复用等重要概念。等重要概念。 意义意义将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合。将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合。l 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径不同信号之间进行比较提供了途径。l从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的响应，从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后的变化都可看的总响应，而且每个正弦分量通过系统后的变化都可看得很清楚。得很清楚。第4-4页信号与系统教案1l本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。里叶变换，建立信号频谱的概念。l通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。l对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。l本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。主要内容主要内容第4-5页信号与系统教案1（1）掌握周期信号的傅里叶级数展开；）掌握周期信号的傅里叶级数展开；（2）掌握信号频谱的概念，了解实信号频谱的特点；）掌握信号频谱的概念，了解实信号频谱的特点；（3）掌握傅里叶变化及其基本性质；）掌握傅里叶变化及其基本性质；（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法；）掌握系统对信号响应的频域分析方法；（5）掌握系统的频域传输函数的概念；）掌握系统的频域传输函数的概念；（6）掌握理想低通滤波器特性；）掌握理想低通滤波器特性；（7）掌握线性系统的不失真传输条件；）掌握线性系统的不失真传输条件；（8）掌握连续信号的理想取样模型及抽样定理。）掌握连续信号的理想取样模型及抽样定理。本章教学基本要求本章教学基本要求第4-6页信号与系统教案14.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交正交的定义：的定义：其其内积为内积为0，即，即31V V0Txyxiyiiv v 由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。第4-7页信号与系统教案1 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，在信号空空间，在信号空间找到若干个间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数例如：例如：对于一个三维空间的矢量对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用上，可以用上面的三维正交矢量集面的三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。分量的线性组合表示。即即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz第4-8页信号与系统教案1二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 21*12( )( )d0ttttt (两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21*0,( )( )d0,tijtiijtttKij 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4-9页信号与系统教案13. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数 (t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：在：在(t0，t0+T) (T=2/)上上三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型完备正交函数集。是两组典型完备正交函数集。21( )( )d0titttt ( i =1，2，n)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4-10页信号与系统教案1三、信号的正交分解三、信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正个正交函数的线性组合来近似，可表示为交函数的线性组合来近似，可表示为 如何选择各系数如何选择各系数Ci使使f(t)与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值内为最小。通常使误差的方均值(称为称为均方均方误差误差)最小。均方误差定义为最小。均方误差定义为 21221211 ( )( ) dntjjtjf tCtttt 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数11221( )( )( )( )( )nnnjjf tCtCtCtt K 第4-11页信号与系统教案1为使上式最小为使上式最小21221 ( )( ) d0ntjjtjiif tCttCC 展开上式中的被积函数，并求导。上式中展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不只有两项不为为0，写为，写为 2122 2( )( )( )d0tiiiitiC f ttCttC 即即 221122( )( )d2( )d0ttiiittf tttCtt所以系数所以系数2212112( )( )d1( )( )d( )dtittiittiitf tttCf tttKtt 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4-12页信号与系统教案1代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差212221211( )d0ntjjtjfttC Ktt 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。大，则均方误差越小。当当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零。集），均方误差为零。此时有此时有 21221( )dtjjtjfttC K 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4-13页信号与系统教案1上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式。表明：表明：在区间在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 1( )( )jjjf tCt 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和:4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数第4-14页信号与系统教案1l三角函数的傅里叶级数三角函数的傅里叶级数l函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系l指数函数形式的傅里叶级数指数函数形式的傅里叶级数l两种傅里叶级数的关系两种傅里叶级数的关系4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-15页信号与系统教案1 是一个完备的正交函数是一个完备的正交函数集集 由积分可知由积分可知1.1.三角函数集三角函数集一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数1, cos(nt)，sin(nt)，n=1,2 22cossin()0TTn tmt dt 22,02coscos,00,TTTmnn tm t dtTmnmn 22,sinsin20,TTTmnn tm t dtmn 第4-16页信号与系统教案12.2.周期信号展开为傅里叶级数的条件周期信号展开为傅里叶级数的条件周期信号周期信号f(t)应满足应满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件，即条件，即（1）在一个周期内绝对可积，即满足）在一个周期内绝对可积，即满足 22( ) dTTf tt 注意：注意：条件（条件（1）是充分条件但不是必要条件；）是充分条件但不是必要条件； 条件（条件（2）（）（3）是必要条件但不是充分条件。）是必要条件但不是充分条件。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数（2）在一个周期内只有有限个有限的不连续点；）在一个周期内只有有限个有限的不连续点； （3）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。 第4-17页信号与系统教案13.3.级数形式级数形式周期信号周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄狄里赫利里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数条件时，它可分解为如下三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t 系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 222( )cos()dTTnaf tn ttT 222( )sin()dTTnbf tn ttT 可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-18页信号与系统教案101( )cos()2nnnAf tAn t 式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2, 4.4.余弦形式余弦形式4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数物理意义物理意义：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。第4-19页信号与系统教案1其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； n=1项，项，A1cos( t+ 1)称为称为基波分量或一次谐波分量基波分量或一次谐波分量，它的角频率与原周期信号相同；它的角频率与原周期信号相同； n=2项，项，A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波分量二次谐波分量，它的频率是，它的频率是基波的基波的2倍；倍；Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波分量次谐波分量。 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-20页信号与系统教案1二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标220224( )cos()d( )cos()d0TTTnaf tn ttf tn ttTT 222( )sin()d0TTnbf tn ttT 傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。傅里叶级数中不含正弦项，只含直流项和余弦项。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数( )()f tft00a 第4-21页信号与系统教案12 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点 只含正弦项，展开为正弦级数。只含正弦项，展开为正弦级数。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数( )()f tft 2021( )d0TTaf ttT 222( )cos()d0TTnaf tn ttT 204( )sin()d0Tnbf tn ttT 第4-22页信号与系统教案1实际上，实际上，任意函数任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分分，即，即 由于由于4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数()()()( )( )odevodevftftftftft ( )( )( )odevf tftft 所以所以( )()( )2odf tftft ( )()( )2evf tftft 第4-23页信号与系统教案13 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t)t0TT/2偶次谐波分量为偶次谐波分量为0，只含奇次谐波分量，只含奇次谐波分量 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数( )()2Tf tf t 00a 2,4,6n Kn0nab时时1,3,5n K时时204( )cos()dTnaf tn ttT 204( )sin()dTnbf tn ttT 第4-24页信号与系统教案14 . .f(t)为偶谐函数为偶谐函数奇次谐波分量为奇次谐波分量为0，只含偶次谐波分量，只含偶次谐波分量4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数( )()2Tf tf t1,3,5n Kn0nab时时2,4,6n K时时204( )cos()dTnaf tn ttT 204( )sin()dTnbf tn ttT 第4-25页信号与系统教案14.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例1： 利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶利用奇偶性判断下图所示各周期信号的傅里叶级数中所含的频率量。级数中所含的频率量。偶、奇谐函数偶、奇谐函数包含奇次余弦包含奇次余弦分量分量奇函数，包含奇函数，包含正弦分量正弦分量第4-26页信号与系统教案14.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数偶、偶谐函数偶、偶谐函数包含偶次余弦包含偶次余弦分量分量奇谐函数，包奇谐函数，包含奇次的正弦、含奇次的正弦、余弦分量余弦分量第4-27页信号与系统教案1三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用感不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用三角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数()()01ee22nnj n tj n tnnAA 01111eeee222nnjjjn tjn tnnnnAAA 01( )cos()2nnnAf tAn t 第4-28页信号与系统教案1上式中上式中第三项第三项的的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 01111eeee222nnjjjntjntnnnnAAA 令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 1( )ee2njjn tnnf tA 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-29页信号与系统教案1令复数令复数1ee2nnjjnnnAFF 称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称，简称傅里叶系数傅里叶系数。 111(cossin)()222njnnnnnnnnFA eAjAajb 22222211( )cos()d( )sin()d1( )edTTTTTjn tTf tn ttjf tn ttTTf ttT 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-30页信号与系统教案1( )ejn tnnf tF 任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为可分解为(-,+)区间上的虚指数信号区间上的虚指数信号 的线性组合。的线性组合。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数物理意义：物理意义：221( )ed0, 1, 2,Tjn tTnFf ttnT Lejn t 第4-31页信号与系统教案1四两种傅里叶级数系数之间的关系四两种傅里叶级数系数之间的关系4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数j01( )e)d(Tn tF nf ttT 0011( )cosdj( )sindTTf tn ttf tn ttTT 1j2nnab 0011( )()cosdj( )sindTTf tn ttf tn ttTTFn 1j2nnab是复数)(),(nFnFnnFnFje)( 第4-32页信号与系统教案1An An 是实函数，是实函数，Fn Fn 一般是复函数一般是复函数222121nnnnnbaAFF nnnAFF *nnFF nnnaFF nnnbFFj )()arctan(nnnab nnnAa cos nnnAb sin )(21nnjnnjbaeFFn 4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数第4-33页信号与系统教案14.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例2： 用直接计算傳里叶系数的方法，求下图所示周用直接计算傳里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傳里叶系数（三角形式或和指数形式）。期函数的傳里叶系数（三角形式或和指数形式）。 解：首先计算周期函数的周期解：首先计算周期函数的周期24,2TT 第4-34页信号与系统教案14.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数再根据公式计算傅里叶级数的系数再根据公式计算傅里叶级数的系数（1）三角形式）三角形式222221( )cos()( )cos()22TTnn taf tn t dtf tdtT 1112cos()sin(),0,1,2222Ln tndtnn 222( )sin()0,1,2TTnbf tn t dtnT L22111( )()sin(),0, 1, 222Tjn tTnnnnFf t edtajbnTn L（2）指数形式）指数形式第4-35页信号与系统教案14.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 周期信号周期信号 可以分解为不同频率的虚指数信号之和。可以分解为不同频率的虚指数信号之和。( )f t( )ejn tnnf tF 不同的时域信号，只是不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数 不同，因不同，因此，通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的频域特性。此，通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的频域特性。nF 是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为和相位随频率变化的规律，称为频谱函数频谱函数。nF第4-36页信号与系统教案14.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 |Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也为实数，也可直接画可直接画Fn 。 An和和 n的关系，因为的关系，因为n0，称这种频谱为，称这种频谱为单边谱单边谱。 直接画出信号各次谐波对应的直接画出信号各次谐波对应的 线状分布图形，线状分布图形，这种图形称为信号的这种图形称为信号的频谱图频谱图。nFjennnFF 幅度频幅度频谱谱相位频相位频谱谱第4-37页信号与系统教案14.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第4-38页信号与系统教案14.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例例1：画出信号：画出信号 的频谱图。的频谱图。00( )32cos4cos2f ttt 例例2：已知连续周期信号的频谱如图，试写出傅里叶级数：已知连续周期信号的频谱如图，试写出傅里叶级数的信号表示式。的信号表示式。第4-39页信号与系统教案1例例3：周期信号周期信号试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。121( )1cossin243436f ttt 解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，写出标准的的表达式，写出标准的 傅里叶级数形式，即傅里叶级数形式，即121( )1coscos2434362f ttt 显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱1121coscos243433tt第4-40页信号与系统教案11cos243t 的周期的周期T1 = 812cos433t 的周期的周期T2 = 6 所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率基波角频率=2/T = /12221 11 13712 22 432P 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 第4-41页信号与系统教案11cos243t 是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 12cos433t 是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图:(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n14.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第4-42页信号与系统教案1二、周期矩形脉冲的频谱二、周期矩形脉冲的频谱例例：有一幅度为：有一幅度为1，脉冲宽度，脉冲宽度为为 的周期矩形脉冲，其周期的周期矩形脉冲，其周期为为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122222211( )ededTjn tjn tTnFf tttTT sin22nnT 令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数取样函数） 22sin()1 e22jn tnTjnTn 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第4-43页信号与系统教案1()()2nnnFSaSaTTT , n = 0 ,1，2， Fn为实数为实数，可直接画成一个频谱图。设，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为2nm 所以所以2mn ，m为整数。为整数。Fn022441特点特点： (1)周期信号的频谱由间隔为周期信号的频谱由间隔为的谱线组成的谱线组成 。谱线。谱线位置是基频位置是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减一般具有收敛性。总趋势减小。小。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第4-44页信号与系统教案1谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系： (c)如果周期如果周期T无限增长无限增长（这时就成为非周期信号），（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于于无穷小无穷小。 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱(a) T一定，一定， 变小变小，此时，此时 （谱线间隔）不变。两零点（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：之间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。 (b) 一定，一定，T越大越大，间隔，间隔 越小，越小， 则谱线越密；则谱线越密； 反之，反之， T越小越小，间隔，间隔 越大，越大， 则谱线越疏。则谱线越疏。第4-45页信号与系统教案1周期信号的频带宽带（带宽）周期信号的频带宽带（带宽）：在允许一定失真的条件：在允许一定失真的条件下，信号可以用某段频率范围的信号表示，此频率范围下，信号可以用某段频率范围的信号表示，此频率范围称为信号带宽。一般把第一个零点作为信号带宽。称为信号带宽。一般把第一个零点作为信号带宽。 1B 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号的带宽与信号时域的持续时间信号的带宽与信号时域的持续时间 成反比，成反比，即即 越大，越大，B越小；越小； 越小，越小，B越大。越大。 第4-46页信号与系统教案1 物理意义物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号的绝大部：在信号的有效带宽内，集中了信号的绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成份，不分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成份，不会对信号产生明显影响。会对信号产生明显影响。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 说明说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须 “匹配匹配”。 第4-47页信号与系统教案1三、周期信号的功率三、周期信号的功率Parseval等式等式222200111( )()|22TnnnnAft dtAFT 直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱第4-48页信号与系统教案1一、一、 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大趋近于无穷大时，谱线间隔时，谱线间隔 趋趋近于无穷小近于无穷小，从而信号的频谱变为，从而信号的频谱变为连续频谱连续频谱。各频率。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度频谱密度的的概念。概念。4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换第4-49页信号与系统教案14.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换令令 ()limlim1/nnTTFF jF TT (单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为为频谱密度函数频谱密度函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数22( )edTjn tTnF Tf tt 1( )ejntnnf tF TT 第4-50页信号与系统教案1考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而1d22T 同时，同时， 于是于是()lim( )edjtnTF jF Tf tt 1( )()ed2jtf tF j 傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-51页信号与系统教案1也可简记为也可简记为如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率如果上述变换中的自变量不用角频率而用频率 ,则则上述变换对可写为上述变换对可写为f2()( )jftF jff t edt 2( )()jftf tF jf edf 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换() ( )F jF f t 1( )()f tFF j ( )()f tF j 第4-52页信号与系统教案1F(j)的物理意义：的物理意义： （1）单位频率上信号所具有的频谱；）单位频率上信号所具有的频谱； （2）是连续谱；）是连续谱； （3） F(jw)包含了从包含了从0 0到无限高频的所有频率分量，到无限高频的所有频率分量，分量的频率不成谐波关系。分量的频率不成谐波关系。4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换F(j)一般是复函数一般是复函数， 可写为可写为()()()jF jF je ( )( )RjX 第4-53页信号与系统教案11( )()2j tf tF jed ()1()2jtF jed 1() sin( )2jF jtd 1() cos( )2F jtd 01() cos( )F jtd f(t)的三角形式：的三角形式：4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-54页信号与系统教案1 函数函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件的傅里叶变换存在的充分条件:( ) df tt 上式表明：上式表明： （1）非周期信号可看作不同频率分量的余弦分量）非周期信号可看作不同频率分量的余弦分量 组成；组成； （2）频率从）频率从0到无穷大；到无穷大； （3）振幅为无穷小。）振幅为无穷小。（绝对可积）（绝对可积）4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-55页信号与系统教案1用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分(0)( )Ff t dt 1(0)()d2fF j 如果引入广义函数的概念，奇异函数也能满足上述如果引入广义函数的概念，奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换。4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换()d2(0)F jf 第4-56页信号与系统教案1例例1 1：如图所示信号如图所示信号 的傅里叶变换记为的傅里叶变换记为 ， 试求试求 和和 。 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换( )f t()F j (0)F()F jd 第4-57页信号与系统教案1二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数()001ed1()eetjtjtF jtjj 2. 偶对称双边指数函数偶对称双边指数函数f(t) = et , 0 002211()e e2deedjttjttF jttjj 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-58页信号与系统教案13. 奇对称双边指数函数奇对称双边指数函数00()e edeedjttjttF jtt 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换,0( )(0),0ttetf tet 22112jjj ( )0R 222( )X 3,02( ),02 第4-59页信号与系统教案14. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)1,2( )0,2tg tt 22/2/2ee()edjjj tF jtj 2sin()2Sa()2 5. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)( )( )ed1jtttt 0d( )( )ededjtjtttttjt 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换( )( )()nntj第4-60页信号与系统教案16. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为( )lim( )nnf tft ()lim()nnF jFj 这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-61页信号与系统教案1构造构造 f (t)=e- -t ， 0 222()Fj 0( )1lim( )f tft 所以所以22000,02()lim()lim,0F jFj 又又22200022limlimlim2arctan21dd 1212( ( ) )4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换 时域无限宽，频域无限窄时域无限宽，频域无限窄第4-62页信号与系统教案1 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有1ed( )2jtt 将将 tt，tt- - 1ed()2jtt 再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得1ed2()2( )jtt 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-63页信号与系统教案17. 符号函数符号函数1,0sgn( )1,0ttt e ,0( )0e,0tttftt 0sgn( )lim( )tft 22112( )()jftFjjj 220022sgn( )lim()limjtFjj 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-64页信号与系统教案18. 阶跃函数阶跃函数 (t)111( )sgn( )( )22ttj 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换9. 三角函数三角函数21( )20ttftelse 2()()24F jSa 第4-65页信号与系统教案1归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t) 1( )j e - - t (t) 1j g(t) 2Sa sgn (t) 2j e |t|222 1 12()1( )()ed2jtf tF j ()( )edjtF jf tt 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换第4-66页信号与系统教案14.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性性质一、线性性质如果如果 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)那么那么证明证明: F a f1(t) + b f2(t)12( )( )edjtaf tbftt 11a( )edb( )edjtjtf ttf tta f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 12()()aFjbFj 第4-67页信号与系统教案1例例1：求右图所示信求右图所示信号的傅里叶变换。号的傅里叶变换。解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()- -4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-68页信号与系统教案1二、时移性质二、时移性质如果如果 f (t) F(j) 那么那么00()e()jtf ttF j 证明证明: 0()edjtf ttt 00( )edet tjtjf 0e()jtF j 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0 ()F f tt 第4-69页信号与系统教案1例例2： F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =56Sa(3 )ej 52Sa( )ej 56Sa(3 )2Sa( )ej +4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-70页信号与系统教案1三、对称性质三、对称性质 若若 f (t) F(j) 证明证明:1( )()ed2jtf tF j （1）把把 (1) 式中式中 t ，t 则则1( )()ed2jtfF jtt （2）把把(2) 式中式中 - - 则则1()()ed2jtfF jtt F(j t) 2f () 则则 F( jt ) 2f ()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-71页信号与系统教案1例例3： 求下列信号的傅里叶变换。求下列信号的傅里叶变换。21( )1f tt 2223( )22ttf ttt 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )f tSa t ( )f tt 1( )f tt 1( )f tt 例例3： 求下列信号的傅里叶变换。求下列信号的傅里叶变换。(1)(2)(1)(3)(5)(3)(4)(6)第4-72页信号与系统教案1四、频移性质四、频移性质 f (t) F(j) 证明证明:0()0 ()( )edjtF jf tt mm0( )edjtj tf t et 00e( ) ()jtf tF j m解解: 例例4：（1）4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3( )()?j tf teF j 12( ) 312(3)j te 3( )j tet 1第4-73页信号与系统教案1（2）（3）4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0cost 00 ()() 应用：通信中调制与解调、频分复用等。应用：通信中调制与解调、频分复用等。0sint 00 ()()j ( )()f tF j 0( )cosf tt 0( )sinf tt 001 () ()2F jF j 001 () ()2j F jF j第4-74页信号与系统教案1五、尺度变换性质五、尺度变换性质 f (t) F(j) 证明证明:()()djtF f atf at et a 0时时 ,11 ( )( )ed()atjaF f atfF jaaa a 0时时 ,11 ( )( )ed( )edatjjaaF f atffaa 1Fjaa 1()|f atFjaa 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-75页信号与系统教案1所以所以1()|f atFjaa 特殊情况特殊情况：a = - -1,f (- t ) F( - -j) 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例5：已知已知 f (t)F( j), 求求 f (at b) ?1|jbaeFjaa 2(21)?jteft 思考：思考：第4-76页信号与系统教案1例例6：解解:1e( )1ttj 12 e()1jt 12 e( )1jt 应用对称性应用对称性尺度变换性质尺度变换性质 a = - -1所以所以4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1( )()?1f tF jjt 第4-77页信号与系统教案1六、卷积性质六、卷积性质时域卷积定理：时域卷积定理：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)则则 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)频域卷积定理：频域卷积定理：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)则则12121( )( )()*()2f t f tF jF j 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-78页信号与系统教案1例例7：求三角脉冲：求三角脉冲 的频谱函数。的频谱函数。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质21,2( )0,2ttftt 2( )()24ftSa 第4-79页信号与系统教案1例例8：2sin()?tF jt 解解:2( )2Sa( )g t 利用对称性：利用对称性：22Sa( )2()tg 2Sa( )( )tg22222sin1( )*( )( )*( )22tggggt 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-80页信号与系统教案1例例9：( )tfd 解解:时域卷积：时域卷积：1() ( )F jj 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( ) ()( )( )tfdftdf tt ()(0) ( )F jFj 第4-81页信号与系统教案1例例10：求线性时不变系统的响应。：求线性时不变系统的响应。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )( )y tf th t()()()Y jF jH j 1( ) ()y tFY j 将时域求响应转化为频域求响应。将时域求响应转化为频域求响应。第4-82页信号与系统教案1例例11：一个：一个LTI系统的频率响应系统的频率响应若输入信号若输入信号 ，求该系统的输出，求该系统的输出 。4.8 LTI4.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析( )cos(2 )f tt ( )y t2()2jH jj 第4-83页信号与系统教案1七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分若若 f (t) F(j) 则则( )( )()()nnftjF j ()( )d(0) ( )tF jf xxFj 0(0)()( )dFF jf tt 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-84页信号与系统教案1例例12：解解:2sgn( ) tj 22 sgn()jt1sgn( )jt d1()sgn( )sgn( )djjtt 21sgn( )|t 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质21( )()?f tF jt 对称性：对称性：时域微分：时域微分：第4-85页信号与系统教案1例例13： 已知已知 证明证明：11d ( )1d ( )( )()d()d( )dd1() ( )() ( )tf tf tf tftF jttjtF jffj 证明：证明：4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质1( )()ftFj 11( )() ()() ( )f tFjffj 第4-86页信号与系统教案111()2() ( )() ( )() ( )F jfFjffj 所以所以11()() ( )() ( )F jFjffj 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )()nnftFj ()( )0ff ()( )()()nnFjf tF jj 特殊情况特殊情况: :且且若若第4-87页信号与系统教案1例例14： 求：求：分析：分析：4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )()?f tF j 第4-88页信号与系统教案1解解:2222()22cos(2 )()4( )()FjF jSaj 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )(2)2 ( )(2)ftttt2()( )FjF ft 222jjee 2cos(2 )2 第4-89页信号与系统教案1八、频域的微分和积分八、频域的微分和积分若若 f (t) F(j) 则则 频域微分：频域微分： 1(0) ( )( )()dftf tF jxxjt 1(0)()d2fF j 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )()( )()nnjtf tFj 频域积分：频域积分： 第4-90页信号与系统教案1 例例15： 1( )( )tj 解解:d1( )( )djttj 21( )( )ttj 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )()?f tttF j 注意注意: 不能利用时域卷积性质计算。不能利用时域卷积性质计算。第4-91页信号与系统教案1例例16：求：求：sin()da 解解:22sin()( )aagt 212sin()1sin()( )eded2jtjtaaagt21sin()(0)d1aag sin()da (0)a 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质0sin()d2a 第4-92页信号与系统教案1九、帕斯瓦尔关系九、帕斯瓦尔关系221( ) d() d2Ef ttF j 证明证明:2*( ) d( )( )dEf ttf t ftt *1( )()edd2jtf tFjt *1()( )edd2jtFjf tt *211()()d|()| d22FjF jF j|F(j)|2 称为称为f(t)的能量谱密度，单位频率上的信号能的能量谱密度，单位频率上的信号能量量 (能量密度谱能量密度谱）Js4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质第4-93页信号与系统教案1例例17：求信号求信号 的能量。的能量。 sin52cos(997 )ttt 解解:10sin5( )tgt 1010sin52cos(997 )(997)(997)ttggt 21110() d(1010)22EF jt 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例例18：2( )dSatt 第4-94页信号与系统教案1十、奇偶性十、奇偶性1. 是实函数是实函数()( )ed( )cos()d( )sin()djtF jf ttf tttjf ttt 22|()|( )( )F jRX( )( )arctan( )XR 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )RjX ( )f t( )( )cos()Rf tt dt ( )( )sin()Xf tt dt 是是的偶函数的偶函数是是的奇函数的奇函数第4-95页信号与系统教案14.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )()RR ( )()XX ()()F jFj( )() 结论：结论：（1 1）( )()f tft若若，( )0,X （2 2）()( )F jR ( )()f tft 若若，( )0,R ()( )F jjX 第4-96页信号与系统教案12. 是虚函数，是虚函数，()( )ed()( )( )jtggF jf ttjG jj RjX 4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质( )( )ggXjR ( )f t( )( )gRX ( )( )gXR 是是的奇函数的奇函数是是的偶函数的偶函数( )( )f tjg t *()()()ftFjFj 第4-97页信号与系统教案1傅里叶变换性质的补充例题傅里叶变换性质的补充例题1.若若 ， 求求 ( )()f tF j (12 )ft21()22jFje 2. 2(2 )j tft e 12()22F j 3. 2( )( )2( )tf ttet 212j 4. 2( )(1)tf tet 22jej 5. 3(1)( )(1)tf tet (3)jje 6. 112( )tfd 2(2 )(0) ( )jFjFej 第4-98页信号与系统教案1傅里叶变换性质的补充例题傅里叶变换性质的补充例题7. 2()(1)jF jge (1)1(1)j tSa te 8. 1102( )()cosf tSatt 第4-99页信号与系统教案14.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱一、能量谱一、能量谱221( ) d() d2Ef ttF j 称为称为f(t)的能量谱密度，单位频率上的信号的能量谱密度，单位频率上的信号能量能量 (能量密度谱能量密度谱）Js2( )()F j 1( )d2 ()dff 第4-100页信号与系统教案1二、功率谱二、功率谱/222/2111lim( ) dlim() d2TTTTTPf ttFjTT 称为称为f(t)的功率谱密度，单位频率上的功率谱密度，单位频率上的信号功率的信号功率 Ws21( )lim()TTpFjT 1( )d2p ()dp ff 4.6 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱第4-101页信号与系统教案1周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？与傅里叶级数的关系？TftF n 傅傅里里叶叶级级数数- - 离离散散谱谱( )()f tF j 傅傅里里叶叶变变换换连连续续谱谱4.7 4.7 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换第4-102页信号与系统教案1一、正、余弦信号的傅