高中数学知识点汇总易错、易混、易忘

育英辅导班内部资料 - 1 - 高中数学易错易混易忘题分类汇编高中数学易错易混易忘题分类汇编“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例 1、设，若，求实数 a 组成的集2|8150Ax xx|10Bx ax ABB合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极ABBBA易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。解析：集合 A 化简得，由知故（）当时，即方程 3,5A ABBBAB无解，此时 a=0 符合已知条件（）当时，即方程的解为 3 或 5，代入得10ax B10ax 或。综上满足条件的 a 组成的集合为，故其子集共有个。13a 151 10,3 5328【知识点归类点拔】 （1）在应用条件 ABAB时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合是空集 的情况优先进行讨论（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，22,|4Ax yxy，其中,若求 r 的取值范围。将集合所表 222,|34Bx yxyr0r AB达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4）为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练 1】已知集合、，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA则实数 a 的取值范围是 。答案：或。1a 1a 【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例 2、已知,求的取值范围22214yx 22xy【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略x、y 满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。22214yx 育英辅导班内部资料 - 2 -解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=22214yx 42y+因此当x=-1时x2+y2有最小值 1, 当 x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是1, 32838328328【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对 x、y 的限制，22214yx 显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3x-1，。此外本题还可通过三角换元22y 转化为三角最值求解。【练 2】 （05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为22214xyb0b 22xy（）（A）（B）（C）（D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：A【易错点 3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例 3、是 R 上的奇函数， （1）求 a 的值（2）求的反函数 2112xxaf x 1fx【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用（或）求得 a=1. 0f xfx 00f（2）由即，设,则由于故，1a 2121xxf x yf x211xyy 1y 121xyy，而所以112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知识点归类点拔】 （1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略） 。（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和1( )( )fbaf ab函数值要互换。【练 3】（2004 全国理）函数的反函数是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxx育英辅导班内部资料 - 3 -C、 D、 221yxx x221yxx x答案：B【易错点 4】求反函数与反函数值错位例 4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线 121xf xx yg x11yfx对称，则的解析式为（）yx yg xA、 B、 C、 D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为 yg x11yfx的反函数是则=而11yfx1yf x yg x1f x 1213211xxxx错选 A。解析：由得从而再求 121xf xx 112xfxx 11121211xxyfxx 的反函数得。正确答案：B11yfx 21xg xx【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示11yfx1yf x中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设则 1fx1yf x， 11fyx再将 x、y 互换即得的反函数为，故 11xfy1yf x 11yfx的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。1yf x11yfx【练 4】 （2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点 5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。育英辅导班内部资料 - 4 -例 5、判断函数的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函数的解析式知 x 满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，21022xx 1,00,1在定义域下易证即函数为奇函数。 2lg 1xf xx fxf x 【知识点归类点拔】 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内 x 的恒等式。 f x f xfx或 f xfx 常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练 5】判断下列函数的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例 6、函数的反函数为，证明是奇函数且 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx在其定义域上是增函数。【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性， 1fx 1fx f x只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。 f x解析：，故为奇函数从而为212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x 1fx奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数，21212121xtxx 1,2 1,22logty 故在和上分别为增函数。故分别在和上分别 f x1,2 1,2 1fx0,0为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。 （2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。 （3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函育英辅导班内部资料 - 5 -数。 （4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。1( )( )fbaf ab【练 6】 （1） （99 全国高考题）已知 ，则如下结论正确的是（）( )2xxeef xA、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数 f x f xC、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数 f x f x答案：A（2） （2005 天津卷）设是函数的反函数，则使成立的 1fx 112xxf xaaa 11fx的取值范围为（）A、 B、 C、 D、x21(,)2aa21(,)2aa21(, )2aaa( ,)a 答案：A （时，单调增函数，所以.）1a f x 21111112afxffxfxfa 【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例 7、试判断函数的单调性并给出证明。 0,0bf xaxabx【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于即函数为奇函数，因此只需判断函数在上的单调 fxf x f x f x0,性即可。设 ， 由于 故当120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 时，此时函数在上增函数，同理可12,bx xa 120f xf x f x,ba证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在为减函数，在 f x0,ba,0ba为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在,ba f x,ba ,ba和上分别为减函数.0,ba,0ba【知识归类点拔】 （1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。育英辅导班内部资料 - 6 -（2）单调性的定义等价于如下形式：在上是增函数，在 f x, a b 12120f xf xxx f x上是减函数，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两, a b 12120f xf xxx点连线的斜率都大于（小于）零。 1122,xf xxf x（3）是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中 0,0bf xaxabx不能说在上为增函数，在上为减函数, f x,ba ,ba0,ba,0ba在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“”和“或”，【练 7】 （1） （潍坊市统考题）（1）用单调性的定义判断函数在 10 xf xaxaax f x上的单调性。 （2）设在的最小值为，求的解析式。0, f x01x g a yg a答案：（1）函数在为增函数在为减函数。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）设且为 R 上的偶函数。 （1）求 a 的值（2）试判断函数在0a xxeaf xae上的单调性并给出证明。0,答案：（1）（2）函数在上为增函数（证明略）1a 0,【易错点 8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例 8、 （2004 全国高考卷）已知函数上是减函数，求 a 的取值范围。 3231f xaxxx【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程 0,fxxa b f x, a b中易误作是充要条件，如在 R 上递减，但。 3f xx 230fxx 解析：求函数的导数（1）当时，是减函数，则 2361fxaxx 0fx f x故解得。 （2）当时， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 育英辅导班内部资料 - 7 -易知此时函数也在 R 上是减函数。 （3）当时， 33218331339f xxxxx 3a 在 R 上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求 a 0fx3a f x的取值范围是。, 3 【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： f x与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数0)( xf)(xf0)( xf)(xf在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf条件。时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为0)( xf0)( xf)(xf0)( xf规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，0)( xf)(xf0)( xf0)( xf是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系:为增函数，0)( xf)(xf0)( xf)(xf)(xf一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数0)( xf)(xf0)( xf)(xf的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分3a 3a 条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练 8】 （1） （2003 新课程）函数是是单调函数的充要条件是（）2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：A（2）是否存在这样的 K 值，使函数在上递减，在 243221232f xk xxkxx1,2上递增？2,答案：。 （提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，12k 20f 20f 1,2在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出 K 值后要检验。 ）2, 20f 【易错点 9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。育英辅导班内部资料 - 8 -例 9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。a1b1错解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最a1b121a21bab2abab1a1b1小值是 8【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了基本不等式 a2+b22ab，第一次等号成立的条件是 a=b=,21第二次等号成立的条件 ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不是最小值。ab1解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4 =(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+)+4 由 ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4= (当且仅当 a=b=时，等号成立)(a+)2+(b+)2的最小值是。2122521a1b1225【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等” ，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练 9】 （97 全国卷文 22 理 22）甲、乙两地相距 s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为 b;固定部分为 a 元。（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1）（2）使全程运输成本最小，当c 时，行驶速度 v=20sybvavcvba；当c 时，行驶速度 v=c。baba【易错点 10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例 10、是否存在实数 a 使函数在上是增函数？若存在求出 a 的值，若不存在， 2logaxxaf x2,4说明理由。【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大。解析：函数是由和复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方 f x 2xaxx logxay法（1）当 a1 时，若使在上是增函数，则在上是增函 2logaxxaf x2,4 2xaxx2,4数且大于零。故有解得 a1。 （2）当 a1 使得函数在上是增函数 2logaxxaf x2,4【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于 1 还是小于 1） ，特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制） 。【练 10】 （1） （黄岗三月分统考变式题）设，且试求函数的的单调0a 1a 2log 43ayxx区间。答案：当，函数在上单调递减在上单调递增当函数在上单01a31,23,421a 31,2调递增在上单调递减。3,42（2） （2005 高考天津）若函数在区间内单调递增，则 3log0,1af xxaxaa1(,0)2的取值范围是（）A、 B、 C、 D、a1 ,1)43 ,1)49( ,)49(1, )4答案：B.（记，则当时，要使得是增函数，则需有 3g xxax 23gxxa1a f x恒成立，所以.矛盾.排除 C、D 当时，要使是函数，则需有 0gx 213324a01a f x恒成立，所以.排除 A） 0gx 213324a【易错点 11】 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性例 11、已知求的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易错点分析】此题学生都能通过条件将问题转化为关于的函数，进而利用换1sinsin3xysin x元的思想令将问题变为关于 t 的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成sintx错解，解析：由已知条件有且（结合）得1sinsin3yx1sinsin1,13yx sin1,1x ，而=令2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x22sinsin3xx育英辅导班内部资料 - 10 -则原式=根据二次函数配方得：当即2sin13txt222133ttt 23t 时，原式取得最大值。2sin3x 49【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。【练 11】 （1） （高考变式题）设a0，000 求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值2和最小值。答案：f(x)的最小值为2a 2a，最大值为22121202222 212222()()aaaa（2）不等式ax的解集是(4,b)，则a_，b_。x32答案：（提示令换元原不等式变为关于 t 的一元二次不等式的解集为）1,368abxt2, b【易错点 12】已知求时, 易忽略 n的情况nSna例 12、 （2005 高考北京卷）数列前 n 项和且。 （1）求的值及数 nans1111,3nnaas234,a a a列的通项公式。 na【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意 n 值都成立，忽略了对 n=1nsna1nnnass的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。 na解析：易求得。由得故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得又，故该数列从111112333nnnnnaassan1423nnaan11a 213a 第二项开始为等比数列故。2111 423 3nnnan 育英辅导班内部资料 - 11 -【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系：利用两者之间的关系nans1112nnnsnassn可以已知求。但注意只有在当适合时两者才可以合并否则要写分段函nsna1a12nnnassn数的形式。【练 12】 （2004 全国理）已知数列满足 na则数列的通项为 。112311,2312nnaaaaanan na答案：（将条件右端视为数列的前 n-1 项和利用公式法解答即可）nna11!22nnann【易错点 13】利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从 1 开始）例 13、等差数列的首项，前 n 项和，当时，。问 n 为何值时最大? na10a nslmmlssns【易错点分析】等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于 n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知=此函数是以 n 为变量的二次函ns 2111222n nddf nnadnan数，因为，当时，故即此二次函数开口向下，故由得当10a lmmlss0d f lf m时取得最大值，但由于，故若为偶数，当时，最大。2lmx f xnNlm2lmnns当为奇数时，当时最大。lm12lmnns【知识点归类点拔】数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从 1 开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的2nsanbn前 n 项和。此时由知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外nsanbn,nsnn形如前 n 项和所对应的数列必为一等比数列的前 n 项和。nnscac【练 13】 （2001 全国高考题）设是等差数列，是前 n 项和，且，则下 nans56ss678sss列结论错误的是（）A、B、C、 D、和均为的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点 14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。育英辅导班内部资料 - 12 -例 14、已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，求230 xxa230 xxb34的值。ab【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程34230 xxa的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间230 xxa230 xxb两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列，若，则； naqpmnqpmnaaaa对于等比数列，若，则；若数列是等比数列，是其前 n navumnvumnaaaa nanS项的和，那么，成等比数列；若数列是等差数列，是其前*Nk kSkkSS2kkSS23 nanSn 项的和，那么，成等差数列等性质要熟练和灵活应用。*Nk kSkkSS2kkSS23【练 14】 （2003 全国理天津理）已知方程和的四个根组成一个首项220 xxm220 xxn为的等差数列，则=（） A、1 B、 C、 D、14mn341238答案：C【易错点 15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比的情况例 15、数列中，数列是公比为（）的等比数列。na11a22a1nnaaq0q（I）求使成立的的取值范围；（II）求数列的前项的和32211nnnnnnaaaaaaqnan2nS2【易错点分析】对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列是公比为（）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数1nnaaq0q列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I）数列是公比为的等比数列，1nnaaqqaaaannnn121，由得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa育英辅导班内部资料 - 13 -，即（） ，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 q（II）由数列是公比为的等比数列，得，这表明数列1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是，又，当naq11a22a时，1qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaa，当时，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中是解题的关键，这种给出数列qaann2的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练 15】 （2005 高考全国卷一第一问）设等比数列的公比为 q，前 n 项和（1）求 q 的取值 na0ns 范围。答案： 1,00,【易错点 16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。例 16、 （2003 北京理）已知数列是等差数列，且 na11232,12aaaa（1）求数列的通项公式（2）令求数列前项和的公式。 nannnba xxR nb【思维分析】本题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式分析可知数列是一 na nb nb个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列” ，可用错项相减的方法求和。育英辅导班内部资料 - 14 -解析：（1）易求得2nan（2）由（1）得令（）则2nnbnxns 232462nxxxnx（）用（）减去（） （注意错过一位再相减）得23124212nnnxsxxnxnx当当231122222nnnx sxxxxnx1x 11211nnnxxsnxxx时1x 24621nsnn n综上可得：当当时1x 11211nnnxxsnxxx1x 24621nsnn n【知识点归类点拔】一般情况下对于数列有其中数列和分别为等差数列和 ncnnnca b na nb等比数列，则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练 16】 （2005 全国卷一理）已知1221nnnnnnuaabababb当时，求数列的前 n 项和,0,0nNabab nans答案：时当时.1a 21221221nnnnanaaasa1a 32nn ns【易错点 17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例 17、求nS321121111n3211【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前项和公式得，n2) 1(321nnn，取 ，就分别得到，)111(2) 1(23211nnnnnn1233211,211,11，nS)111(2)4131(2)3121(2)211 (2nn12)111 (2nnn【知识归类点拔】 “裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：育英辅导班内部资料 - 15 -求，方法还是抓通项，即nn216314212112222，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，)211(21)2(1212nnnnnn如：，求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式11nnann法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。【练 17】 （2005 济南统考）求和121222nS1414221616221)2(1)2(22nn答案：715115131131111nS1211211nn122nnn【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例 18、 （2004 年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项，公差，求满足的正整数 k；1a321 d2)(2kkSS ()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k 都有成立.2)(2kkSS 【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等2)(2kkSS 差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：（I）当时1,231dannnnndnnnaSn21212) 1(232) 1(由，即 又.22242)21(21,)(2kkkkSSkk得0) 141(3kk4, 0kk所以（II）设数列an的公差为 d，则在中分别取 k=1,2,得2)(2nnSS211211224211)2122(2344,)()(dadaaaSSSS即由（1）得 当. 1011aa或, 60)2(,01dda或得代入时若成立,21)(, 0, 0, 0, 0kknnSSSada从而则（1）（2）育英辅导班内部资料 - 16 -若故所得知由则216,324)( ,18),1(6, 6, 02331nnSSSnada,)(239Ss 数列不符合题意.当20,)2(64)2(,121dddda或解得得代入时若;)(, 1, 0, 1212成立从而则kknnSSnSada若.成立从而则221)(,) 12(31, 12, 2, 1nnnSSnnSnada综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即 0，0，0，；an : an=1，即 1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知识点归类点拔】事实上， “条件中使得对于一切正整数 k 都有成立.”就等价于关于 k 的2)(2kkSS 方程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。【练 18】 （1） （2000 全国）已知数列,其中,且数列为等比数列.求常数 nc23nnnc 1nncpcp答案：p=2 或 p=3（提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程，再说明 p 值对任意自然数n 都成立）【易错点 19】用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.例 19、已知双曲线，直线，讨论直线与双曲线公共点的个数224xy1yk x【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于 x 或 y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。解析：联立方程组消去 y 得到（1）当2214yk xxy22221240kxk xk时，即，方程为关于 x 的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一210k1k 个交点。 （2）当时即，方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交22104 430kk 2 33k 点（3）当时，方程组有两个交点此时且。 （4）22104 430kk 2 32 333k1k 当时即或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。22104 430kk 2 33k 2 33k 育英辅导班内部资料 - 17 -综上知当或时直线与双曲线只有一个交点，当且。时1k 2 33k 2 32 333k1k 直线与双曲线有两个交点，当或时方程组无解此时直线与双曲线无交点。2 33k 2 33k 【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法解答，并且这两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。【练 19】 （1） （2005 重庆卷）已知椭圆的方程为，双曲线的左右焦点分别为的左1c2214xy2c1c右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点。 （1）求双曲线的方程（2）若直线与2c1c:2lykx椭圆及双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点 A 和 B 满足，其中 O 为1c2c2c6lOA OB 原点，求 k 的取值范围。答案：（1）（2）2213xy133113131,115322315 （2）已知双曲线C： ，过点P（1，1）作直线l, 使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有_条。答案：4条（可知kl存在时，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-1422yx(1-k2)-4=0, 当4-k2=0即k=2时，有一个公共点；当k2时，由=0有，有一个切点另：当25kkl不存在时，x=1也和曲线C有一个切点综上，共有4条满足条件的直线）【易错点 20】易遗忘关于和齐次式的处理方法。sincos例 20、已知，求（1）；（2）的值.2tansincossincos22cos2cos.sinsin【思维分析】将式子转化为正切如利用可将（2）式分子分母除去即可。221sincossin解：（1）；2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos (2) 222222cossincos2cossinsincos2cossinsin育英辅导班内部资料 - 18 - .324122221cossin2cossincossin2222【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。2222(1sincossectantancot这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用【练 20】 （2004 年湖北卷理科）已知的值.)32sin(,2, 0cos2cossinsin622求答案：（原式可化为，）65 3132602tantan62223tan1tan2sin 231tan【易错点 21】解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答。例 21、如果能将一张厚度为 0.05mm的报纸对拆,再对拆.对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为米)84 10【易错点分析】对拆 50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项,易误理解为是比等比数列的前 n 项和。解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列，则数列是以nana米为首项，公比为 2 的等比数列。从而对拆 50 次后纸的厚度是此等比数列的第 51 项，31a =0.05 10利用等比数列的通项公式易得a51=0.0510-3250=5.631010,而地球和月球间的距离为41080，所以.猜测：当且仅当，*nN10abcx1abxc1xabab且时，每年年初鱼群的总量保持不变.cbax1 （）若 b 的值使得0，由 知 , 特nx*nN13nnnxxbx03nxb*nN别地，有. 即，而(0, 2)，所以，由此猜测 b 的最103xb103bx1x 1 , 0(b大允许值是 1. 下证 当(0, 2) ，b=1 时，都有(0, 2), 。 当 n=1 时，结论显1xnx*nN然成立.假设当 n=k 时结论成立，即(0, 2),则当 n=k+1 时，.又因kx120kkkxxx为.所以(0, 2)，故当 n=k+1 时结论也成立.2121112kkkkxxxx 1kx由、可知，对于任意的，都有(0,2).综上所述，为保证对任意(0, 2), 都有*nNnx1x0， ，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.nx*nN【知识点归类点拔】归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1(或 n )时成立，这是递0推的基础；第二步是假设在 nk 时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 nn 且 nN）结论都0正确” 。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是 nk1 时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。【练 34】 （2005 年全国卷统一考试理科数学）（）设函数，求的最小值；) 10( )1 (log)1 (log)(22xxxxxxf)(xf育英辅导班内部资料 - 33 -（）设正数满足，证明npppp2321,12321nppppnppppppppnn222323222121loglogloglog答案：（）（）用数学归纳法证明。112f （2） （2005 高考辽宁）已知函数设数列满足，).1(13)(xxxxfna)(, 111nnafaa数列满足nb).(|,3|*21NnbbbSabnnnn （）用数学归纳法证明； （）证明12) 13(nnnb.332nS【易错点 35】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用。易产生概念性错误。例 35、下列命题：|=|若则422|)()(aaabcacba)()(abababb ,c，则存在唯一实数 ，使若，且，则设acababcbcacoba 是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使21,eea成立。若|+|=|则=0。=0，则=或=真命题个数21eyexaa babababa 0b 0为（ ）A1B2C3D3 个以上【易错点分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换律产生一些错误的结论。解析：正确。根据向量模的计算判断。错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是2aaa因为根据数量积和数乘的定义表示和向量共线的向量，同理表示和向量共线的()a cb b()a bc c向量，显然向量和向量不一定是共线向量，故不一定成立。错误。应为bc()()a bca cb 错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 错误。应加aba b 条件“非零向量”错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量和向量在向量abb方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。错误。注意平面向量的基本定理的前提c育英辅导班内部资料 - 34 -有向量是不共线的向量即一组基底。正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相21,ee等，即四边形为矩形。故=0。错误。只需两向量垂直即可。ab答案：B【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知， 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律： (交换律)（）（）（） (数乘结合律)() (分配律)说明：（1）一般地，()（） （2），0（3）有如下常用性质：， （） （），()【练 35】 （1） （2002 上海春，13）若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）c=ac+bc C.m（a+b）=ma+mb D.（ab）c=a（bc）（2）(2000 江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（ab）c（ca）b=0 |a|b|0 的的aOAOB , fxxfxx取值范围.答案：，()4,2()43,2(xkZ【易错点 42】向量与解析几何的交汇例 42、 （03 年新课程高考）已知常数a0，向量c=（0，a） ，i=（1，0） ，经过原点 O 以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.【易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。解析：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P 到两定点距离的和为定值.i=（1，0） ，c=（0，a） ， c+i=（，a） ，i2c=（1，2a）因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数 ，得点的坐标满足axy axay2),(yxP育英辅导班内部资料 - 39 -方程.整理得 因为所以得：（i）当时，222)(xaayy. 1)2()2(81222aayx, 0a22a方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点220 a和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭)2,2121(2aaE)2,2121(2aaF22a圆，焦点和为合乎题意的两个定点.)21(21, 0(2aaE)21(21, 0(2aaF【知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。【练 42】 （1） （2005 全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点xF 的直线交椭圆于 A、B 两点，与共线。 （）求椭圆的离心率；（）设 M 为OBOA) 1, 3( a椭圆上任意一点，且，证明为定值。),( ROBOAOM22答案：（1）（2）=163e 22（2） （02 年新课程高考天津卷）已知两点 M（-1，0） ，N（1，0） ，且点 P使，,成公差小于零的等差数列（1）点 P 的轨迹是什么曲线？（2）若MPMN PM PNNM NP 点 P 坐标为（） ，记为与的夹角，求；答案：点 P 的轨迹是以原点为圆心，,ooxyPM PNtan为半径的右半圆tan=|y | 30（3） （2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：BOBOA4343【易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。例 43、已知椭圆 C：上动点到定点,其中的距离的最小值22142xyP,0M m02mPM为 1.（1）请确定 M 点的坐标（2）试问是否存在经过 M 点的直线 ,使 与椭圆 C 的两个交点 A、B 满足ll条件（O 为原点）,若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。OAOBAB l【思维分析】此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运OAOBAB 0OA OB 算再结合韦达定理解答。育英辅导班内部资料 - 40 -解析：设，由得故,p x y22142xy222 14xy2222 14xPMxm由于且故当时，22212 12242xxmm02m22x 022m的最小值为此时，当时，取得最小值为2PM221m1m 224m2x 解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时 M 的坐标为22421mm1,3m 1m （1，0） 。（2）由题意知条件等价于，当 的斜率不存在时， 与 C 的交点为OAOBAB 0OA OB ll，此时，设 的方程为，代入椭圆方程整理得61,20OA OB l1yk x，由于点 M 在椭圆内部故恒成立，由知2222124240kxk xk0 0OA OB 即，据韦达定理得，12120 x xy y222122110kx xkxk2122412kxxk代入上式得得不合21222412kx xk2222221244120kkkkkk24k 题意。综上知这样的直线不存在。【知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。【练 43】已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准2F1F线截的两段弧长之比 2:1,为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（2）若2,1P121PFPF 直线与椭圆交于如图两点 A、B，令。求函数10ykxk 120f kABF Fk 的值域答案：（1）（2） f k22142xy0,8易错点 44牢记常用的求导公式，求复合函数的导数要分清函数的复合关系.例 44、函数 的导数为 。1 cosxyx e易错点分析复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。xuxyyu育英辅导班内部资料 - 41 -解析： 1 cos1 cos1 cos1 cos1 cos1cosxxxxxyex eexexe 1 cossinxxex1 cos1sinxxx e【知识点