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最新版教学资料数学第十七章特殊三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.6.通过实例体会反证法的含义.1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.(4)在反证法一节中,除介绍反证法及证明命题的一般步骤外,还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明,体现了本套教材在内容上的完整性.同时对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理也用反证法给出了证明,使学生从中体会反证法的价值.【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.2.直角三角形的性质和判定.3.勾股定理、逆定理及其简单应用.4.反证法及其简单应用.【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.2.勾股定理及其逆定理的应用.1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.17.1等腰三角形2课时17.2直角三角形1课时17.3勾股定理3课时17.4直角三角形全等的判定1课时17.5反证法1课时回顾与思考1课时17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题.1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.第课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.【学生准备】长方形纸、剪刀.导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等. 让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题等腰三角形、等边三角形的性质定理.我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.设计意图通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形等腰三角形.设计意图从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.2.出示自制的测平仪,告诉学生含45角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.设计意图活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.过渡语刚才我们知道等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性质呢?现在我们就共同来研究它.探究一:等腰三角形的性质定理思路一【活动1】【课件1】如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ABC有什么特点? 【学生活动】学生动手操作,观察ABC的特点,可以发现AB=AC.【教师活动】让学生回顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. 如图所示,在ABC中,若AB=AC,则ABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,A是顶角,B和C是底角. 【活动2】【课件2】观察与思考:如上图所示,ABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)B和C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及A的平分线有怎样的关系?【学生活动】学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.【教师活动】引导学生归纳:性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).知识拓展等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗?【课件3】如图所示,在ABC中,AB=AC.求证B=C. 【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证B=C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ABD和ACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性. 证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD, 在ABD和ACD中,所以ABDACD(SSS),所以B=C.这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?由ABDACD,还可得出BAD=CAD,ADB=ADC=90.从而ADBC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.知识拓展等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.设计意图通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.【课件4】作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.小结:【课件5】填出等腰三角形各部分名称.归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.【课件6】问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角(简称“”);(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).3.你能证明以上性质吗?问题:(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在ABC中,AB=AC.求证:B=C;请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.【课件6】证明:如图所示,作BAC的平分线AD,=,在ABD与ACD中,ABDACD(),B=.4.受上述启发,能证明性质2吗?即证明BAC的平分线AD是ABC底边上的中线和高.证明:由ABDACD知BD=,BAD=,ADB=,ADB+ADC=,ADB=ADC=.因此BAC的平分线AD也是ABC底边BC上的中线和高.5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)设计意图通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.探究二:等边三角形的性质定理过渡语我们知道三边都相等的三角形是等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形,它有哪些性质呢?每位同学画一个等边三角形,并用量角器量一量每个内角的度数.结论:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60.【课件7】已知:如图所示,在ABC中,AB=BC=AC. 求证:A=B=C=60.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.证明:在ABC中,由AB=AC,得B=C.由AC=BC,得A=B.所以A=B=C.由三角形内角和定理可得A=B=C=60.知识拓展等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.设计意图让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.探究三:例题讲解【课件8】已知:如图所示,在ABC中,AB=AC,BD,CE分别为ABC,ACB的平分线. 求证:BD=CE.解析根据角平分线定义得到ABD=ABC,ACE=ACB,再根据等边对等角得到ABC=ACB,从而得到ABD=ACE,然后通过ASA证得ABDACE,就可以得到BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.【课件9】(补充例题)如图所示,在ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC中各角的度数. 解析根据等边对等角的性质,我们可以得到A=ABD,ABC=C=BDC,再由BDC=A+ABD,就可得到ABC=C=BDC=2A.再由三角形内角和为180,就可求出ABC的三个角的度数.如果设A为x,那么ABC,C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以ABC=C=BDC,A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x.在ABC中,A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得x=36.所以A=36,ABC=C=72.设计意图通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60.1.若等腰三角形的顶角为40,则它的底角度数为()A.40B.50C.60D.70解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40,所以其底角为=70.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17解析:当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3BE+CFB.EF=BE+CFC.EFBE+CFD.不能确定3.如图所示,O是ABC的ABC,ACB的平分线的交点,ODAB交BC于D,OEAC交BC于E,若ODE的周长为10 cm,则BC的长为() A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm4.已知等腰三角形ABC,A是顶角,且A等于C的一半,BD是ABC的角平分线,则该图中等腰三角形的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个5.下列推理错误的是()A.因为A=B=C,所以ABC是等边三角形B.因为AB=AC,且B=C,所以ABC是等边三角形C.因为A=60,B=60,所以ABC是等边三角形D.因为AB=AC,且B=60,所以ABC是等边三角形6.如图所示,在ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,若ABD的周长比BCD的周长多2厘米,则BD的长是() A.0.5厘米B.1厘米C.1.5厘米D.2厘米【能力提升】7.如图所示,请在下列四个等式中,选出两个作为条件,推出AED是等腰三角形,并予以证明.(写出一种即可)等式:AB=DC,BE=CE,B=C,BAE=CDE. 8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”,“求证”,她们对各自所作的辅助线描述如下(如图所示): 文文:“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”;彬彬:“作ABC的角平分线AD”.数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.”
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