学科竞赛上海市中学生历数学知识竞赛

上海市首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(19911992)首届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1991年10月举行决赛于1992年3月举行【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一十题，每题满分为10分；十一十五题，每题满分为16分满分为180分 一、小明家前面造了一幢高层楼房，小明在自己楼房的A层测得高层楼房CD的仰角为，俯角为；小明又在自己楼房的B层测得高层高层楼房与小明楼房之间的距离d二、筹建中的天然气管道网设计如图32所示，A，B，L表示压缩机站，流动主向用箭头表示，每个管道旁的数字表示管段长度现需要求该网络从起点A到终点L的最短通道，并确定沿最优路径相应的压缩机站所处的节点三、某厂1989年生产产值是1979年生产产值的8倍(即翻三番)，那么从1979年到1989年产值平均年增长率为多少？按这样速度发展，到了2000年的产值是1989年产值的几倍？(取整数)四、相距40公里的两个城镇A、B之间有一个圆形湖泊，它的圆心落在AB连线的中点O，半径为10公里，如图33所示现要修建一条连结两城镇的公路，问应如何选择公路的路线，使公路最短，并给出证明五、有一批1米长的合金钢材，现要截成长为23厘米和13厘米两种规格，用怎样方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率六、四种小商品A、B、C、D的价格分别为0.13元、0.17元、0.22元、0.35元，现在用2元钱恰好买了10件小商品，问买得小商品A、B、C、D各为多少？七、某工厂生产甲、乙两种产品，生产每一吨产品需要电力、煤、劳动力及相应产值如下表所示：该厂的劳动力满员是200人，根据限额每天用电不得超过160千度，用煤不得超过150吨问每天生产这两种产品各几吨时，才能创造最大的经济价值？八、用两根绳子牵引重为F1100kg物体，两根绳子拉力分别为F2、F3，保持平衡，如图34所示如果F280kg，F2与F3夹角135，求F3的大小和F3与F1的夹角值九、在一边长为9m，一边长为16m的长方形的土地内，任意种植49颗树，试证明其中总有两颗树之间的距离不大于2.5m十、仓库有一种堆垛方式，如图35所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12盒，第四层20盒，第五层30盒，当堆垛到第n层时，求出总的盒数十一、数学竞赛给出了A、B、C三道题目，有30个学生参加，每人至少解出一道题只解出A题的人数比其余解出A题的人数多3人；在没有解出A题的人中，解出B题人数是解出C题人数的3倍；在只解出一题的人中，解出A题的人数是没有解出A题的人数的一半，求至少解出两题的学生人数十二、根据下列三视图(如图36)，画出这个立体的直观图与展开图，并求出它的体积十三、A、B、C三个工厂， 它们之间的距离为AB13公里、BC14公里、CA15公里，要求寻找一个供应站点H，使得它到三个工厂的距离和HAHBHC为最短，并且求出这最短距离十四、某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m公里，B距铁路n公里，在铁路上要建造两火车站C、D，A地矿石先用汽车由公路运到火车站C，然后用火车运输到火车站D，再用汽车运到B地，如图37所示，且A、B在铁路MN上投影AB距离长l公里，若汽车速度每小时u公里，火车速度每小时v公里，这里vu，要使运输矿石的时间最短，火车站C，D应该建立在什么地方？十五、将一个母线为2a，底面半径为a的圆锥(有底)的铁皮模型，沿着母线剪开摊平作材料做一个圆柱形罐子(有底无盖)，试问材料如何剪裁，使做出的圆柱形罐子的体积为最大？(这里圆柱侧面不能用两块材料拼接，且不考虑裁剪损耗)【决赛试题】决赛试题共五题，其中一三题，每题满分为32分，四、五题，每题满分为42分，总共满分为180分一、如图38，有一块半径为a的圆铁皮，剪去一个圆心角，将它卷成一个圆锥(无底)，试问：(2)求出这个圆锥的体积最大值二、A、B、C三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖上那个厂的厂名，如果产品是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名今有一批产品，发现盖过A厂、B厂、C厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过A、B厂，B、C厂，C、A厂的产品，分别有12件、14件，16件，问这批产品的总数最多有几件？三、某项科学实验显示：实验结果y与实验时的温度t，呈现yat2bt(a0)关系，由实验条件限制，温度t取值范围为tc(c0)试问：当温度t取什么值时，实验结果y达到最小值，并求出其最小值四、已知某工程中的重点部位计划完工期为14天，预算总费用为63000元(包括每天的管理费1000元)若对某些工序增加一些费用的投入(如加班或技术改造等费用)，则它的完工时间可以缩短一个工序的最短完工时间，我们称为该工序的“极限时间”另外，如该重点部位的完工期能缩短，则相应的管理费可以节省，有关工序流程图与数据如图39所示注：赶工费用率为工序每提前一天耗用的加班或技术改造等费用试回答下列两个问题：(1)求这个重点部位工程的最低完工费用，并制定相应的施工方案(包括完工期)(2)求这个重点部位最短完工期，并制定相应的施工方案(包括费用)五、要对几种药品进行试验，每次选择3种药品作试验，要求这样来安排试验方案，使得任意两种药品都至少有一次被安排在同一次试验中，同时为了节省时间与费用，还要求试验次数尽可能少我们以C(n)表示对n种药品所作符合上述要求的最少试验次数例如：当n4，记所要作试验的药品为a1，a2，a3，a4，下面的分组试验方案(a1，a2，a3)，(a1，a2，a4)，(a2，a3，a4)，是符合要求的这个方案共进行了三次试验，因此，C(4)3问题：(1)证明C(4)3是不可能的(2)试确定C(6)的值，并给出证明(3)试给出C(n)的一个下界【初赛试题解答要点与参考答案】二、最短通道：ADEGJL4321414三、(1x)108，x23.11(平均年增长率)(10.2311)2189.4810(2000年产值是1989年产值的10倍)四、过A、B在AB同侧分别作O的切线AA、BB，则AA2)，则41322398，即截4段13厘米，2段23厘米，材料利用率为98 六、设购买A、B、C、D商品数分别为x、y、z、w，则w只可能取0、1、2、3，相应找出z、y、x非负整数值，得到解答列表如下：七、设甲、乙产品分别生产x、y吨，则由题意得：满足上述约束条件的点在下列五条直线2x8y160，3x5y150，5x2y200，x0，y0所围成的五边形内(包括边界九、将长方形土地平分成48块相等的小长方形，每块长为2m、宽为1.5m，总有一块小长方形土地有两颗树，它的距离不大于对角线：十一、画出集合图如图310，只解出A题x人，只解出B题y人，只解出C题z人，解出A、B题wt人，解出B题、C题ut人，解出A题、C题vt人，解出A题、B题、C题t人根据题意可列出方程： 所以 u5，y13，x7，z1即uvwt30xyz9(人)十二、直观图，展开图分别如图311，312V(2a)324a3十三、H点应取AHBBHCCHA120时，AHBHCH为最小，由Fermat-steiner最短线定理可证得(证略)十五、将圆锥侧面展开为半圆，半圆内裁出圆柱侧面，圆锥底改成圆柱底就可以(如图313所示)【决赛试题解答要点与参考答案】二、由题意得：m(A)18，m(B)24，m(C)30，m(AB)12，m(BC)14，m(CA)16当m(ABC)9或m(ABC)13时，与题意有矛盾，所以10m(ABC)12m(ABC)m(A)m(B)m(C)m(AB)m(BC)m(CA)m(ABC)30m(ABC)当m(ABC)12时，m(ABC)42(件)，故这批产品总数最多为42件四、从工程网络列表如下：C124003000600，C22400500100028006000700(1)最优费用方案：工序(1，3)减少3天，赶工费增加 2400，间接费用减少3000，总工期减少3天为11天完成总费用 C63000(24003000)62400(元)(2)最优时间方案：工序(1，3)减少3天，(3，6)，(5，6)各减少1天，(6，7)减少2天，总工期减少6天共为8天完成总费用C63000(2400500 1000 2800 6000) 63700(元)五、(1)设这4种药品为a1，a2，a3，a4由于每个组包含三种药品，而a1至少与a2，a3，a4相遇一次，因此至少有两个组包含a1，不妨设为a1a2a3，a1a2a4，但这里a3、a4没有相遇，因此，至少还应有一组，所以C(4)3(2)设这6种药品为a1，a2，a3，a4，a5，a6，对每一个1i6，固定i，则包含ai的每次试验，正好还包含两种不同于ai的药品，而每次试验包含3种药品，因此试验总次数不小于6336，即C(6) 6我们构造一个用6次试验的方案满足条件：a1a2a3，a1a4a5，a1a4a6，a2a3a4，a2a5a6，a3a5a6因此，C(6)6，综合之即得C(6)6(3)设n种药品为a1，a2，an，对任意取定ai(1in)，则ij时，ai与aj至少相遇一次，而每一个包含ai的组正好包含两个不32 上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1993)上海市第二届“金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1993年3月举行，决赛在9月举行【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一十题，每题满分为10分；十一十五题，每题满分为16分满分为180分一、为测量建造中的上海东方明珠电视塔已达到的高度小明在学校操场某一直线上选择三点A、B、C，且ABBC60米，分别在A、B、C三点观察塔的最高点，测得仰角为45，54.2，60，小明身高为1.5米，试问建造中的电视塔现在已达到的高度(结果保留一位小数)二、已知边长为a的正三角形铁皮材料，剪去三个全等的四边形，如图314所示，可制成无盖的正三棱柱的盒子试问如何剪裁才能使正三棱柱的体积最大？并求出体积最大值和此时材料利用率三、某布店的一页帐簿上沾了墨水，如下图所示：所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面三个数码7.28，但前面的三个数码看不清楚了，请您帮助查清这笔帐四、某出口加工区总公司与下属各子公司进行信息联网，已测得各子公司A、B、C、D、E、F、G、H、J之间与总公司S联网费用如图315所示(单位：千元)现拟设计一个联网优化方案，既要求各子公司之间与总公司都能连通，又要使联网费用最省，试问如何联网？费用是多少？五、在下乡劳动中，30个学生，每人拾了一篮稻穗放在田埂旁，每隔5米排成一列，不妨依次叫第1号、第2号、第30号，每人将篮中稻穗集中到第n号处(1n30)，放在一起，然后带着空篮走回原处，试求使大家所走路程总和最小的n值六、一半径R150mm球形工件，打一斜孔如图316(a)所示，为了准确测量斜孔两端半径r1和r2，用两精密量球(半径R2100mm和R280mm)以如图316(b)所示方式测量，测得两球外端水平距离L1651.40mm；再将右端量球换为半径R380mm，左端量球不变仍为R280mm，又测得L2610.17mm(1)求r1和r2(结果保留两位小数)；(2)求小孔的斜角的值(结果保留分)七、A、B两个产地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价表如下：怎样确定调运方案，使总的运费为最小？八、在机械设计中，已知ABACa，CDBD，CAD(图317)，当为何值时，BDC面积最大，并求出最大值九、某一信托投资公司，考虑投资1600万元建造一座涉外宾馆，经预测，该宾馆建成后，每年底可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为10，若需要在三年内收回全部投资，每年至少应收益多少万元？(结果保留一位小数)十、在正方形铁皮上任意划9条直线，如果每一条直线都将正方形分成两部分面积之比为mn(m， nN)，那么这样9条直线中至少有3条直线交于一点，对吗，为什么？十一、五种商品价格如下：现在用60元恰好选购10件商品，试问有哪几种选购方式？十二、根据图318所示零件的视图，画出它的直观图、展开图(并要留出做成模型的粘贴处)，并求出这个零件的表面积与体积一个供应站H的位置，使它到四个工厂距离和HAHBHCHD为最小，说明道理，并求出最小值十四、一个零件模具的底面由甲、乙、丙三个边长均为a的正方形按如下要求叠合而成：甲的一个顶点落在乙的中心上，乙的一个顶点落在丙的中心上，丙的一个顶点落在甲的中心上求这个模具底面的面积十五、一煤粉炉球磨机衬板为圆台的侧面，上底半径R1270 mm，下底半径R21147 mm，轴截面母线夹角为154，这圆台侧面是由18块相同的扇环形钢板焊接而成。库房仅有宽度为910mm的钢板，在这种钢板上怎样剪裁，使所用钢板材料长度为最短？并求长度最小值【决赛试题】决赛试题共五题，其中一三题，每题为32分，四、五题，每题为42分，满分共为180分一、某厂生产2mm厚钢带，由机械缠绕成卷状出厂若每卷钢带的内半径为50 cm，外半径为80cm，试求每卷钢带的长度(钢带卷是“紧密”的，不考虑空隙)二、某种平面连杆摆动机构如图319所示，摆杆OQ绕O摆动，通过连杆PQ带动滑块P水平往复运动设摆杆长OQr，连杆长PQl，摆角中心O到滑轨OP的距离为h，且lhlr试求：(1)P的位移x与摆角的函数关系；(2)摆角的变化范围；(3)滑块P的行程(即滑动的最大距离)三、将底面半径为a，母线为3a的铁皮圆锥，沿圆锥侧面的一条母线剪开、摊平，以它为材料剪一个长方形为圆柱侧面，使圆柱侧面积最大，试问如何剪法？并算出圆柱侧面积的最大值四、图320表示某小区的煤气管道网络系统，每一条边上所注的数字表示该段管道单位时间的最大通过能力(单位m3/小时)(1)试求从S到T单位时间的最大流通量(2)若有一笔资金可用于改造网络中一段管道，你认为应该投向哪一段管道才能对提高整个网络的最大流通量最为有效五、要对n种化学试剂作分组试验，试验方案应满足下列条件：每一组安排4种试剂，并且任意两种试剂都恰好有两次被安排在同组中进行试验(1)如果这样的试验方案存在，则共有多少个组？(2)具体排出n7的试验方案(3)证明：当n9，这样的试验方案不存在【初赛试题解答要点与参考答案】一、塔现达高度为158.3(米)三、设购买数量为x(米)，金额前三位数为y，则4936x1000y728所以 t11，即x98，y483四、联网方案：SDEFG，SHJ，SABC，联网方案不唯一，最小费用是唯一的，为14(千元)五、当n15或16时，Smin2250(米)六、r110.06mm，r229.98mm，350七、设从A运到D为x，从A运到E为y，则根据题意列出下表：约束条件：目标函数：f3xy100约束条件区域如图321所示从A运到D8千吨、从A运到F 4千吨、从B运到E 6千吨、从B运到F2千吨九、设每年底收益为A，利率为R，利用等比级数不难推得n年后收益总额Q的现值为十、这是一个条件命题(1)如果所划直线只与正方形对边相交(即分成两个四边形)，那么命题成立如图322，在正方形ABCD划一直线MN，过中位线EF上一点G1，由于梯形ANMD，BNMC高相等，于是 这样G1把中位线分成mn，由正方形为对称图形，具有这样性质的点共有4个G1、G2、G3、G4如果划出9条直线中每一条必通过这四点中的一个，那么至少有三条直线通过这四点中的某一点(2)如果所划直线允许与正方形邻边相交(即分成三角形与五边形)，那么命题就不成立连接G1G2，交正方形邻边于K、J，设边长为a，则十一、应用方程的整数解可得四种购物方式：十二、画出立体图、展开图如图323所示十三、根据题意作图有两种情况：(1)凸四边形如图324，连接AC、BD其交点H为所求供应站的位置，不妨任取一点H，就有HAHCACHAHC，HBHDBDHBHD，两式相加得：HAHBHCHDHAHBHCHD所以，H点到A、B、C、D距离和为最小所以(HAHBHCHD)minBDAC(2)凹四边形如图325，连接AC，H点与C点重合，即C点为所求供应站的位置不妨任取一点H，若H在DC、AC延长线所夹的角内，就有HAHDACCD，HBHCCB故得：HAHBHCHDACCDCBHAHBHCHD若H在AC、BC延长线或BC、DC延长线所夹的角内，或在AC、BC、CD的延长线上，均可证得上述结论所以，C点为所求的H点位置十四、如图326，由题意得：所以ABC为正三角形因为BABACACBC15，所以BABACACBC所以ABC为正三角形将甲、乙、丙面积记作S甲、S乙、S丙；甲乙、乙丙、丙甲重合部分面积记作S甲乙、S乙丙、S丙甲；甲乙丙重合部分面积记作S甲乙丙，则由计数公式可得：SS甲S乙S丙S甲乙S乙丙S丙甲S甲乙丙 十五、如图327，设扇环形钢板中心角为，圆台侧面展开角为，圆台母线为l，小圆锥母线为x，则OBx，ODxl1177.171 L2a17b4621.26(mm)用一正一反，大圆弧紧靠钢板边的排列，如图所示，这样所用钢板材料长度为最短，长度最小值Lmin4621.26mm【决赛试题解答要点与参考答案】一、题中未说明钢带缠绕的具体情形和具体的测量位置，需分几种情形加以讨论设R，r分别表示测得的钢带卷的外径和内径，t表示钢带的厚度，L表示总长度(1)设钢带缠绕是首尾对齐的，测量采用量首不量尾的方式(见图328)设钢带共缠n圈，n(Rr)对本题的测量数据，r50cm，R80cm，n150，所以L612.3m(导出钢带卷总长度公式还有一简便的方法设S为钢带卷的截面积，S(R2r2)，LS/tn(Rr)(2)设钢带缠绕不规则，即首尾不一定对齐仍从钢带首部所在位置测量内外径(见图329)此时(n1)(Rrt)Ln(Rr)即607.28mL612.3m(3)设钢带缠绕不规则，随意选择测量点此时，两种极端的情形分别如图330(a)和(b)所示所以应有(n1)(Rrt)L(n1)(Rrt)即 607.28mL615.43m二、如图331，(1)设OPx，则(xrocs)2(hrsin)2l2，作扇形内接矩形ABCD，OH为对称轴，交圆弧于H，交AD于L，交BC于G，连接OD，设CDx，DLy，DOH，则yLD3asin，xCDLGOLOG将扇形中心角四等份，圆周上得分点A、H、D，连接AD，作它的垂线交半径于B、C，连接A、B、C、D为所求圆柱侧面，经计算AD3a，因此这种排法是唯一的。四、(1)用FordFulkeen标号法可得从S到T单位时间的最大流通量为14，如图333所示。(2)将弧段改造成流通量为7，则最大流量提高到18，如图334所示五、(1)如果这样的试验方案存在，那么共有b个组，此处：(2)设7种试剂的编号为0，1，2，3，4，5，6，则下述试验方案满足要求共有七组：0，2，3，4，1，3，4，5，2，4，5，6，3，5，6，0，4，6，0，1，5，0，1，2，6，1，2，3(3)当n9，取定一种试剂A，则包含A的组共有： 33 上海市第三届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1994)上海市第三届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1994年5月举行，决赛于1994年9月举行【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一十题，每题满分为10分；十一十五题，每题满分为16分，总共为180分一、某露天仓库有水泥电线杆100根，用卡车运往公路旁安装第一根电线杆距仓库3公里，以后每间距50米安装一根，一辆卡车每次限运三根试求：(1)若用一辆卡车从仓库出发，直到运完回库，共行了多少公里？(2)若有甲、乙两辆卡车从仓库出发，依次轮流运送直到运完回库，两车各行了多少公里？的圆心为BC的中点O，半径为2m，AB、CD均垂直于BC，且ABCD1m现要截一块矩形板，若不计损耗，求材料的最大利用率(精确到0.001)三、如图336所示，表示某区域的交通网络，各条边旁所注的数字表示通过该公路所估计行驶的时间(单位：小时)，试问从S到T估计至少要行驶多少小时？并写出最短路径四、已知汽车从刹车到停车所滑行的距离与时速平方及汽车的总重量成正比某辆卡车不装货物，以时速50公里行驶时，从刹车到停车滑行20米。如果这辆卡车装着等于车重1.5倍重的货物行驶时，发现前面大约20米处有人(假设卡车从发现人到刹车需经过0.8秒钟)，为了行驶安全，车必须在离人5米处停住，试问这时最大限制时速应是多少？(答案只要保留一位小数)五、某仓库如图337所示堆放一批零件：第一层4盒，第二层10盒，第三层18盒，第四层28盒，能否求出堆了n层零件总盒数的公式？然后算出第38层的盒数与堆了38层零件总盒数六、某工厂生产A、B两种产品，分别需要原材料每件2千克、3千克；消耗能源每件1百元、6百元；劳动力每件需要4个人工、2个人工；获利每件5千元、6千元。但库存原材料有1750千克；能源消耗总额不超过2405百元；全厂满员2500人试问怎样安排生产任务使获得利润最大？并求出最大利润额七、如图338所示，窗架上部分为半圆，下部分是宽为x，长为相应的最大值与最小值2r，接头长边为b、短边为a(ab)(1)画出弯管接头的展开图；(2)选择适当坐标系，推导出接缝展开曲线的方程九、如图340所示的一块均匀薄片，由于工艺设计要求，试确定薄片的重心位置十、设甲、乙两地相距2千公里，计划将甲地的电视节目用微波传送到乙地由于微波是沿直线传播的，因而必须在甲、乙间设立若干个微波接力站，将信号从上一站传送到下一站假设每个站的天线高度都是100米，且暂不考虑信号强度在空中传播时的衰减因素，问甲、乙两地之间至少需要设立几个微波接力站？十一、有一批136cm长的合金材料，需要截出13cm、18cm、25cm的三种规格，每种规格都要有，试找出所有使材料利用率在97以上的落料方案十二、有两块长和宽分别为a、b的矩形(ab)，四块上、下底分别为a、b，底角为60的等腰梯形厚纸板，拼接成一个封闭的几何体模型(1)画出这个模型的直观图、三视图、展开图；(2)求出这个模型的体积十三、某宾馆大楼现有三种可行的空调安装方案，每种方案的初期投资K与每年初投入的经营费用C，如下页表所示若三种方案的使用寿命n均为10年，年利率R为10(复利)，问哪一种方案最优？(写出具体计算步骤，答案保留一位小数)十四、某公交车队停车场内有15辆车，从上午7时正开始发车，每一辆车出发后，每隔6分钟再开出一辆车。第一辆车开出后3分钟有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场进场车在原有15辆车之后依次再出车(1)到几点钟时，场内已无车辆？(2)如果将发车6分钟间距改为7分钟，其他条件不变，下午3时左右场内是否还有车可发？到几点钟时，场内已无车辆？十五、需对13种化学试剂作分组试验，每组安排4种试剂，为了对试剂的相互作用进行比较，要求任何两种试剂都正好有一次被安排在同一组中，问共需进行多少次试验？并设计出这样的一个试验方案。【决赛试题】决赛试题共五题，其中一、二、三题，每题为32分，四、五题每题为42分，总共180分一、在一块正方形田里，对7个水稻品种，按7个不同的密植指标进行试验，以确定选用哪个品种并按哪个密植指标种植才能使产量最高，为此将试验田划分成77个面积相同的正方形子块(见图341)，要求这样来安排试验，使得在同一行(或同一列)上试验的水稻品种各不相同，密植指标也各不相同，并且还要求每一个品种都曾按7种不同的密植指标进行过试验试求出这样的一个试验方案二、越江隧道内既是交通拥挤地段，又是事故易发地段，为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d正比于速度v(公里/小时)的平方与车身长(米)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假设车身长均为l(米)，当车速为60(公里/小时)时，车距为1.44个车身长，在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可使隧道的车流量最大三、A、B、C是三个产地，D、E、F、G是四个销售地，它们的需求量与运价表如下：试找出一个使总运费最小的调运方案并求出运费的最小值四、要建造一个通讯卫星外壳，它由正三角形合金材料八块，正方形合金材料六块(边长均为a)，所围成一个每相邻面的图形都不一样的封闭几何模型(1)画出它的直观图；(2)画出它的三视图；(3)画出它的展示图；(4)求它的表面积与体积五、某房地产开发公司对一投资开发项目，需要作可行性研究，据分析有以下数据可供参考：征地、拆迁等前期费用约合每亩60万元，动拆迁周期约半年每亩地可建1000m2的商品住宅，住宅建设费用约950元/m2，其中8为设计费用，设计周期约三个月，其余部分为造价，大致可分三期支付，其中50需要开工时交付，30半年后交付，20在竣工时结算，施工周期约需9个月所建的商品房可在施工图出来后，即动工时开始预售，这时的价格约为2000元/m2，以后可望逐月递增5，并可望在正式竣工交付时售完假设税金等其他开支为售价的20，每个月售出面积相同，试问该项目每亩可获利多少？并计算投资回报率(总利润和实际投入资金之比，而后期施工费用已无需垫支)，银行贷款利率月息15(按单利计)【初赛试题解答要点与参考答案】一、若按每次运三根，最后一次运一根计算，则两个问题的回答如下：(1)2(3000502)(3000505)(3000508)(300050(i2i1) (300050(332331)30005099 378900(米)378.9(公里)(2)第一辆车的行程为2(3000502)(3000508)(30005098)187(公里)；第二辆车的行程为2(3000505)(30005011)(30005095)191.9(公里)若按第一次运一根，以后每次运三根计算，则两个问题的回答如下：(1)23000(3000503)(3000506)(3000509)(300050(i2i)(300050(33233)372.3(公里)。(2)第一辆车的行程为23000(3000506)(30005012)(30005096)183.6(公里)；第二辆车的行程为2(3000503)(3000509)(30005099)188.7(公里)二、所截最大矩形必为如图342所示位置按所给数据，知所截矩形面积为S2rcosrsin4sin2Smax4(m2)三、由戴斯特拉算法，最短路径为SV3V5V6V4T，行驶时间6小时四、设滑行距离为S，时速为V，车重P1，货重P则SkV2五、设第n层的盒数为an，n层总盒数为Sn，则ann(n3)n23n，Sna1a2an (131)(2232)(n23n)(1222n2)3(12n)第38层盒数为a381558，38层总盒数为S3863726六、设安排生产A种产品x件，B种产品y件，获利为S千元据题意，应有以下不等式成立满足以上条件的点(x，y)在x0，y0，2x3y1750，x6y2405，4x2y2500这五条直线的五边形内而S5x2500的交点时，S能取的最大值即当x500，y250时，Smax4000；时即当生产A种产品500件，B种产品250件时，获利最大，为4000千元七、(1)求最大值设窗框材料长度为a则(11)y9xl(11)y9x最小值此时窗框用料最少将前一表达式代入此式，得八、弯管截口显然为椭圆若以椭圆的长轴为x轴，短轴为y(1)展开图(2)展开图曲线方程也就是要找出截口高度H与展开水平长度九、如图344所示建立坐标系总质量M10242故重心为(12.61，2.58)十、如图345所示，地心为O可近似地求得两相邻微波接力站A，C之距离为约为226公里，故相距为2000公里的甲、乙两地至少需设立9个微波接力站十一、把此题理解为找出每根材料都要截出三种规格，且使每根材料的利用率在97以上的落料方案所有这样的方案如下表十二、(1)故知采用乙种方案最优十四、(1)如上面的示意图，824时，原场内的15辆车已全部开出而当823时，从场外已开进11辆车按题意此时这11辆车始可开出每48分钟开进6辆，开出8辆，即场内每48分钟减少2辆；到1224场内只剩一辆车再过6分钟，到1230场内已无车(2)如示意图，1950时，场内无车下午300左右场内有车可发十五、共需进行13次试验因为每种试剂至少出现四次，才能与其他12种试剂一一作用而13种试剂每种出现四次，须有13次试验若每种试剂用113中的一个数字表示，则13次试验可排列如下：【决赛试题解答要点与参考答案】一、实际上本题是寻找一对7阶正交拉丁方的问题用a、b、c、d、e、f、g表示7个品种，1、2、3、4、5、6、7表示7个密植指标，于是给出这个问题的一个解二、设车身长l为定量(m)，车距为d，又dkv2l，三、调运方案：运费最小值Smin533元如上，展开图(略) 五、按每平方米建筑费用来计算支出：1征地、拆迁等费用：60万元/1000m2600元/m22设计费用：950元/m2876元/m2(三个月后)3施工费用：a)950元/m29250437元/m2(六个月后)；b)950元/m29230262.2元/m2 (十二个月后)；c)950元/m29220174.8元/m2(十五个月后)开支60072.73400.92222.20142.691438.54元/m2销售收入(扣除税金)：2000元/m280，逐月递增5，10个月内均衡发售(从6个月到15个月后)160(0.91470.95020.98441.01991.05701.09551.13571.17751.22101.2664)1732元/m2利润每平方米293.46元，即每亩获利293460元回报率：34 上海市第四届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1995)上海市第四届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1995年5月举行，决赛于1995年9月举行【初赛试题】初赛试题共有十五题，其中一十题，每题满分为10分；十一十五题，每题满分为16分，总共满分为180分一、上海地铁一号线全长16.1公里，共13个车站，每站停靠30秒(1)现知末班车在晚上900自新客站发出，于928到达终点站锦江乐园试问列车行驶的平均速度是多少？(精确到0.1公里/小时)；(2)假设每相邻两站间的距离都相等，问列车在相邻两站间需要行驶几分钟？二、如图348(A)所示的家具，能否通过图348(B)中的长廊搬入房间？说明你的理由(搬运过程中不准拆卸家具，不准破坏墙壁)三、如图349有一非整圆的内凹图，采用如图的测量方法，取圆柱的半径r14mm，现测得尺寸x120mm，x255mm，求此凹圆半径OC四、长与宽分别为3a、2a的矩形镀锌铁皮，现要制造一个有底有盖的圆柱罐头(1)使罐头体积最大，试问如何剪裁材料，并求出材料的利用率；(2)使罐头的表面积最大，试问如何剪裁材料？并求出这时的体积大小五、某顾客欲购一套商品房，房产商允许顾客从以下两种付款方式中选择一种：(1)先付3万元，然后每过一年付款2.7万元，10次付清；(2)先付4万元，然后每过一年付款1.9万元，15次付清试问顾客采取哪一种付款方式比较合算，为什么？(设年利率为10，复利)六、黄浦江江面宽为a，一艘艘宽度为b的轮船(ba)在江心由北向南以等速v直线行驶，每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离是c，一艘对江轮渡由浦东A点出发，如图350驶向浦西岸边B点求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需要的时间(黄浦江的一段两岸，江岸线可视为平行的两直线l1、l2，且不考虑水流的速度与方向，轮渡的宽度、长度忽略不计)七、一大厅1510m2，需要铺设边长为10cm的正六边形地砖，如果在拼接角落，不足半块的，按半块计算超过半块的按整块计算如图351所示，地砖按AC分半块的，称为横半块，按BD分半块的，称为直半块如果要完成铺设工作，不考虑拼接时，实际间隔膨胀，试估算一下，需要整块地砖、直半块地砖、横半块地砖各几块？(精确到整数)八、铁路AB段为抛物线，A点恰好在两条互相垂直道路MN、EF交点上，B点到EF、MN距离分别为9公里、6公里，某村庄C点到EF、MN距离分别为3公里，10公里，而道路MN正好是抛物线的对称轴如图352所示，现要求在铁路AB线上设一个中转站D点，使CD距离为最短，求出中转站D点的位置与CD距离的最小值九、花布设计师设计一种图形，在面积为6的正方形内，画出面积为3的3个正方形(不重合)想使这3个正方形中总能找出两个正方形公共面积小于1，这个想法是否合理，能否画出图形？为什么？十、长为360cm的铜棒，要截成十段材料，规格是12cm、23cm、37cm、46cm四种，每种规格都要有的，试找出材料利用率在97以上的落料方案十一、根据下列三视图，画出相应位置的立体图、展开图，并求出它的体积与表积面十二、某厂有一批废料，是由边长为a的正方形内裁去半径为a的54所示，试问当x取多大时，S1S2面积最大？并求出这块材料的利用率(计算结果保留两位小数)十三、某公司筹划建化肥厂，若建大厂需要投资1000万元若建小厂需投资200万元，根据以往情况，效益值(万元)如表：若市场预测(10年内)销路好的概率为0.65，销路差的概率为0.35，为在10年内尽可能多获利润，应决策筹建大厂还是小厂？十四、经调查某地区一种商品价格和需求的关系如下表：试问价格上涨到0.99元时，销售量为多少？十五、一艘货船可装货物30吨，装载体积是14立方米，现有五件货物待运，它们的重量、体积和获利如下表：试问装运哪几件才能获利最多？【决赛试题】决赛试题共五题，其中一、二、三题每题满分32分，四、五题每题满分为42分，共180分一、有一种变压器，铁芯的截面是正十字形，如图355所示，为保证所需的磁通，需要一定的截面积如果要求十字形面积为4cm2，应如何设计正十字形长y及宽x，才能使正十字形外接圆周长最短(从而可使绕在铁芯的铜线最省)？二、一艘货船可装货物100吨，现有六种货物待运，它们的重量和运价如下表：试用分枝定界算法求出轮船公司应承接哪些货物，才能使获利最大三、某林场的树林每10年规划一次，或让其继续生长，或砍伐重栽，假设某种树林在其生长期的第一、第二、第三和第四个10年中，平均年生长率分别为15、10、5、1，以后的生长忽略不计，木材价格每年升值率为7，银行贷款年利率12，试问怎样确定砍伐周期，能使投资回报率最高？四、某厂准备制造一批雕塑物的装饰底座平台，平台用合金铁皮组成，平台上底、下底分别是边长为a的正方形、正八边形，侧面是边长为a的正方形、正三角形交叉排列，平台是十面体(1)画出平台的直观图；(2)画出平台的三视图；(3)画出平台的展开图；(4)求出平台的表面积与体积(画图时a取2cm)五、如图356，一进口零件有两处缺损，现需复制，由于其精确轮廓线未知，只能由若干实测点数据来推算缺损处的准确位置现测得五个点的极坐标(r，)如下：A(2，0)、B(1.915，10)、C(1.721，20)、D(1.336，40)、E(1.204，50)试估计30和60两处轮廓线P1，P2的位置(极径r1，r2以及对应的直角坐标(x1，y1)和(x2，y2)用两种方法进行计算【初赛试题解答要点与参考答案】一、(1)42.9(公里/小时)；(2)1.9(分)二、如图357所示，可搬入 1.271.3三、OC31.5mm四、从四种方案中找出(1)Vmax0.824a3，利用率p89.6；(2)Smax5.38a3，V0.824a3，剪裁方法如图358所示五、第一方案现值为七、铺设方案：八、设MN、EF分别为x轴，y轴，则D(5.34，4.62)，CDmin5.87(公里)九、假设SAB、SBC、SCA均小于1则覆盖面积：SSASBSCSABSBCSCASABC 9(SABSBCSCA)SABC6(矛盾)十、十一、立体图、展开图如图360、362所示 十二、x0.21a，(S1S2)max0.12a2 十三、S110000.652000.35105800万元，S21500.65100.3510940万元所以，应筹建大厂十四、设需求量y与价格x间函数关系为yf(x)用形如yaxb拟合，取对数lnylnablnx，用最小二乘法得：f(0.99)115.3(吨)十五、可行解为(1，0，0，1，1)，(0，0，1，1，1)求得目标函数值： z(1，0，0，1，1)9 z(0，0，1，1，1)7所以当装运第1，4，5号货物，利润最大为9(千元)【决赛试题解答要点与参考答案】一、设圆直径为d，面积为S，则有 二、可行解为(011001)，z130公司应承运编号为2，3，6的货物，获利为130千元三、10年回报率为1.5623， 20年回报率为1.7915，30年回报率为1.4952因此，每20年重栽一次的方案使投资回报率最高四、设高h， 三视图(图362)立体图(图363)，展开图略 x20.536，y20.928(2)二次插入和外推 r11.528，x11.323，y10.762 r21.112，x20.556，y20.963(3)r ab阿基米德螺线 r 1.9610.0136 r11.554，x11.346，y10.777 r21.144，x20.573，y20.992(4)r aeb等角螺线 r 2.003e0.00927(5)r11.517，x11.314，y10.758 x20.574，y20.99435 上海市第五届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛(1996)上海市第五届“浦东金桥杯”中学生数学知识应用竞赛初赛于1996年6月举行，决赛于1996年9月举行【初赛试题】初赛试题共有15题，前10题每题满分为10分，后5题每题满分为16分，总共满分为180分一、某人身高为a，在黄浦江边测得东方明珠塔尖的仰角为，而在黄浦江的倒影中测得塔尖俯角为，求东方明珠塔电视塔高h(写出计算公式)如果具体测得75.5，75.6，1.77米，那么塔高是多少米(保留一位小数)？二、某股份公司向社会公开发行4170万股股票，共有1652158人申购，每人申购1000股，现由计算机按申购先后次序给每个申购者一个编号，并在公众监督下摇号决定中签号码，申购者的编号末位数和中签号相同者可以购买股票，问应摇出几个不同的一位数，几个不同的二位数几个不同的七位数？三、A、B两镇相距50公里，A镇位于一直线形河岸边，B镇离河岸BD30公里，两镇在此河边C处合设一个水厂取水，如图365所示，从水厂C到A镇和B镇水管费用每公里分别为500元和700元，问此水厂应设在何处，才能使水管费用最省，求出水管费用的最小值四、在长为60cm、宽为40cm的矩形铁皮中要切成长为10.2cm、宽为9.3cm的长方形单件，怎样截法才能使材料的利用率最高，具体画出落料方案图，并求出材料利用率的最大值五、一块矩形截去1/4圆的均匀的金属片，尺寸如图366所示，试确定它的重心位置六、某学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应如何分组(一组制作课桌，另一组制作椅子)能使完成全部任务最快七、用量球测量锥形套筒零件的上下底的内直径，已知套筒的高为30mm，先用半径r15mm，r215mm两个量球分别放入上、下底量出两端距离L166mm，如图367所示然后将r310mm代替r1，再量出L276.5mm，试求出套筒零件上、下底的内直径(结果保留一位小数)八、某零件厂需要合金材料圆棒，长度13cm、18cm、25cm三种规格按