专题五第二讲

第二讲 点、直线、平面之间的位置关系一、主干知识一、主干知识1.1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理：线面平行与垂直的判定定理、性质定理：定理定理符号表示符号表示图形表示图形表示线面平线面平行的判行的判定定理定定理_线面平线面平行的性行的性质定理质定理_线面垂线面垂直的判直的判定定理定定理_线面垂线面垂直的性直的性质定理质定理_a,baa b a,aa bb a,ba,babO lllaa bb 2.2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面平行与垂直的判定定理、性质定理: :定理定理符号表示符号表示图形表示图形表示面面垂面面垂直的判直的判定定理定定理_面面垂面面垂直的性直的性质定理质定理_aa caa,ac 定理定理符号表示符号表示图形表示图形表示面面平面面平行的判行的判定定理定定理_面面平面面平行的性行的性质定理质定理_a,ba,babO aa bb 二、重要关系的转化二、重要关系的转化1.1.平行关系的转化平行关系的转化: :2.2.垂直关系的转化垂直关系的转化: :线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直1.(20131.(2013杭州模拟杭州模拟) )下列四个命题中真命题是下列四个命题中真命题是( )( )A.A.垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行B.B.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条C.C.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱D.D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个过球面上任意两点的大圆有且只有一个【解析【解析】选选B.B.垂直于同一条直线的两条直线之间的关系可以平垂直于同一条直线的两条直线之间的关系可以平行、相交和异面行、相交和异面; ;过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线只有一条只有一条; ;正四棱柱的概念是底面是正四边形正四棱柱的概念是底面是正四边形, ,侧棱都与底面垂侧棱都与底面垂直直; ;过球面上任意两点的大圆不一定是唯一的过球面上任意两点的大圆不一定是唯一的, ,若所取的任意两若所取的任意两点与球心在同一直线的话点与球心在同一直线的话, ,就可以得到无数个大圆了就可以得到无数个大圆了. .故选故选B.B.2.(20132.(2013宁波模拟宁波模拟) )已知矩形已知矩形ABCDABCD，AB=1AB=1， 将将ABDABD沿沿矩形的对角线矩形的对角线BDBD所在的直线进行翻折，在翻折过程中所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )( )A.A.存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线ACAC与直线与直线BDBD垂直垂直B.B.存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直C.C.存在某个位置，使得直线存在某个位置，使得直线ADAD与直线与直线BCBC垂直垂直D.D.对任意位置，三对直线对任意位置，三对直线“ACAC与与BD”“ABBD”“AB与与CD”“ADCD”“AD与与BC”BC”均均不垂直不垂直BC2.【解题提示【解题提示】可取一长方形动手按照其要求进行翻折，观察其可取一长方形动手按照其要求进行翻折，观察其翻折过程翻折过程. .【解析【解析】选选B.B.分别取分别取ADAD，ACAC，BCBC的中点的中点E,F,GE,F,G，则，则EFCDEFCD，FGABFGAB，且，且EFEFFGFG 未翻折之前未翻折之前EGEG1 1，翻折过程中应有，翻折过程中应有EGEG 的时候，也即存在某个位置，使得直线的时候，也即存在某个位置，使得直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直. .12，223.(20133.(2013济南模拟济南模拟) )已知两条直线已知两条直线a,ba,b与两个平面与两个平面,b,b, ,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )( )若若aa, ,则则abab; ;若若abab, ,则则aa; ;若若bb, ,则则; ;若若, ,则则bb. .A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】选选A.A.结合线面垂直的性质可知结合线面垂直的性质可知正确正确. .中中, ,当当abab时时, ,也有可能为也有可能为a a, ,所以所以错误错误. .中垂直于同一直线的两个平中垂直于同一直线的两个平面平行面平行, ,所以正确所以正确. .中的结论也有可能为中的结论也有可能为b b, ,所以错误所以错误. .所所以命题正确的有以命题正确的有, ,选选A.A.4.(20134.(2013昆明模拟昆明模拟) )若若,是两个不同的平面是两个不同的平面, ,下列四个条下列四个条件件: :存在一条直线存在一条直线a,a,aa,a,a; ;存在一个平面存在一个平面,; ;存在两条平行直线存在两条平行直线a,b,aa,b,a,b,b,a,b,a,b; ;存在两条异面直线存在两条异面直线a,b,aa,b,a,b,b,a,b,a,b. .其中可以是其中可以是的充分条件的充分条件的有的有( )( )A.4A.4个个 B.3B.3个个 C.2C.2个个 D.1D.1个个【解析【解析】选选C.C.可以可以; ;,也有可能相交也有可能相交, ,所以不正确所以不正确; ;,也有可能相交也有可能相交, ,所以不正确所以不正确; ;根据异面直线的性质可根据异面直线的性质可知知可以可以, ,所以可以是所以可以是的充分条件的有的充分条件的有2 2个个, ,选选C.C.热点考向热点考向 1 1 空间位置关系命题真假的判断空间位置关系命题真假的判断【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013浙江高考浙江高考) )设设m,nm,n是两条不同的直线是两条不同的直线,是两个不同的平面是两个不同的平面( )( )A.A.若若m,nm,n, ,则则mnmnB.B.若若m,mm,m, ,则则C.C.若若mn,mmn,m, ,则则nnD.D.若若m,m, ,则则mm(2)(2013(2)(2013济南模拟济南模拟) )设设m,nm,n是空间两条直线是空间两条直线,是空间两个是空间两个平面平面, ,则下列选项中不正确的是则下列选项中不正确的是( )( )A.A.当当m m时时,“n,“n”是是“mnmn”的必要不充分条件的必要不充分条件B.B.当当m m时时,“m,“m”是是“”的充分不必要条件的充分不必要条件C.C.当当nn时时,“n,“n”是是“”成立的充要条件成立的充要条件D.D.当当m m时时,“n,“n”是是“mnmn”的充分不必要条件的充分不必要条件【解题探究【解题探究】(1)(1)根据线、面平行、垂直的定义与性质判断根据线、面平行、垂直的定义与性质判断. .(2)mn,m(2)mn,m,则则n n与平面与平面有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ?提示提示: :nn或或n n在平面在平面内内. .【解析【解析】(1)(1)选选C.AC.A选项中选项中m m与与n n还有可能相交或异面还有可能相交或异面;B;B选项中选项中与与还有可能相交还有可能相交;D;D选项中选项中m m与与还有可能平行或还有可能平行或m m. .(2)(2)选选A.A.对于选项对于选项A,A,当当mn,mmn,m时时nn或或n n在平面在平面内内, ,故故A A不正确不正确. .【方法总结【方法总结】求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路(1)(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断定定理和性质定理逐项判断. .(2)(2)借助空间几何模型借助空间几何模型, ,如从长方体模型、四面体模型等模型中如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系观察线面位置关系, ,结合有关定理结合有关定理, ,进行肯定或否定进行肯定或否定. .【变式训练【变式训练】(2013(2013杭州模拟杭州模拟) )如果直线如果直线l,m,m与平面与平面,满足满足: :l=,=,l,m,m和和mm, ,那么必有那么必有( () )A.A.且且lmm B. B.且且mmC.mC.m且且lm D.mm D.m且且lmm【解析【解析】选选A.A.因为因为m m和和mm, ,所以所以, ,因为因为l=, ,所以所以l. .又又mm, ,所以所以lmm. .热点考向热点考向 2 2 平行关系的证明平行关系的证明【典例【典例2 2】(2013(2013青岛模拟青岛模拟) )在如图所示的在如图所示的多面体多面体ABCDEABCDE中中,AB,AB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACD,ACD,且且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.AC=AD=CD=DE=2,AB=1.(1)(1)请在线段请在线段CECE上找到点上找到点F F的位置的位置, ,使得恰有使得恰有直线直线BFBF平面平面ACD,ACD,并证明并证明. .(2)(2)求多面体求多面体ABCDEABCDE的体积的体积. .【解题探究【解题探究】(1)(1)证明证明BFBF平面平面ACDACD的两个关键的两个关键: :由由ABAB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACDACD可得到结论可得到结论: :_根据根据AB= DEAB= DE及及ABAB与与DEDE的关系可联想到点的关系可联想到点F F的位置是的位置是: :_. .ABEDABED12点点F F是是CECE的中点的中点(2)(2)求多面体求多面体ABCDEABCDE体积的两个要点体积的两个要点: :多面体多面体ABCDEABCDE是规则图形吗是规则图形吗? ?提示提示: :多面体多面体ABCDEABCDE是以点是以点C C为顶点为顶点, ,平面平面ABEDABED为底面的四棱锥为底面的四棱锥. .多面体多面体ABCDEABCDE的高易求吗的高易求吗? ?提示提示: :ACDACD中中ADAD边的中线长就是多面体边的中线长就是多面体ABCDEABCDE的高的高. .【解析【解析】如图如图,(1),(1)由已知由已知ABAB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACD,ACD,所以所以ABED,ABED,设设F F为线段为线段CECE的中点的中点,H,H是线段是线段CDCD的中点的中点, ,连接连接FH,AH,FH,AH,则则FHFH ED, ED,所以所以FHFH AB,AB,所以四边形所以四边形ABFHABFH是平行四边形是平行四边形, ,所以所以BFAH,BFAH,又因为又因为BFBF 平面平面ACD,AHACD,AH平面平面ACD,ACD,所以所以BFBF平面平面ACD.ACD.12(2)(2)取取ADAD中点中点G,G,连接连接CG.CG.因为因为ABAB平面平面ACD,ACD,所以所以CGAB,CGAB,又又CGAD,ABAD=A,CGAD,ABAD=A,所以所以CGCG平面平面ABED,ABED,即即CGCG为四棱锥为四棱锥C-C-ABEDABED的高的高, ,求得求得CG=CG=所以所以3,C ABED121V233.32 【互动探究【互动探究】若本题条件不变若本题条件不变, ,试求直线试求直线CECE与平面与平面ABEDABED所成角所成角的正弦值的正弦值. .【解析【解析】连接连接EG,EG,由本题由本题(2)(2)解析知解析知CGCG平面平面ABED,ABED,所以所以CEGCEG即为直线即为直线CECE与平面与平面ABEDABED所成的角所成的角, ,设为设为,在在RtRtCEGCEG中中, ,有有CG36sin.CE42 2 【方法总结【方法总结】1.1.证明线线平行的常用方法证明线线平行的常用方法(1)(1)利用平行公理利用平行公理, ,即证明两直线同时和第三条直线平行即证明两直线同时和第三条直线平行. .(2)(2)利用平行四边形进行转换利用平行四边形进行转换. .(3)(3)利用三角形中位线定理证明利用三角形中位线定理证明. .(4)(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明利用线面平行、面面平行的性质定理证明. .2.2.证明线面平行的常用方法证明线面平行的常用方法(1)(1)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理, ,把证明线面平行转化为证明线线把证明线面平行转化为证明线线平行平行. .(2)(2)利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理, ,把证明线面平行转化为证明面面把证明线面平行转化为证明面面平行平行. .3.3.证明面面平行的方法证明面面平行的方法证明面面平行证明面面平行, ,依据判定定理依据判定定理, ,只要找到一个面内两条相交直线只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可与另一个平面平行即可, ,从而将证明面面平行转化为证明线面从而将证明面面平行转化为证明线面平行平行, ,再转化为证明线线平行再转化为证明线线平行. .【变式备选【变式备选】(2013(2013大连模拟大连模拟) )如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-ABC-ABC,BAC=90ABC,BAC=90,AB=AC= AA=1,AB=AC= AA=1,点点M M，N N分别为分别为ABAB和和BCBC的中点的中点. .(1)(1)证明：证明：MNMN平面平面AACC.AACC.(2)(2)求三棱锥求三棱锥A-MNCA-MNC的体积的体积. .( (锥体体积公式锥体体积公式 其中其中S S为底面面积，为底面面积，h h为高为高) )2,1VSh,3【解析【解析】(1)(1)连接连接ABAB，ACAC，由已知得，由已知得M M为为ABAB的中点，又的中点，又N N为为BCBC的中点，所以的中点，所以MNMN为三角形为三角形ABCABC的中位线，故的中位线，故MNACMNAC，又，又MNMN平面平面AACCAACC，ACAC平面平面AACCAACC，因此，因此MNMN平面平面AACC.AACC.(2)(2)连接连接BNBN，由题意知，平面，由题意知，平面ABCABC平面平面BBCCBBCC，ANBC,ANBC,又平面又平面ABCABC平面平面BBCC=BCBBCC=BC，所以所以ANAN平面平面BBCC,BBCC,即即ANAN平面平面NBCNBC，故故又又所以所以因为因为BAC=90BAC=90,AB=AC= ,AB=AC= 所以所以BC=BC=2BC=BC=2，所以所以A MNCN A MCA MC1VVSh,3 VA MCA BC1SS2VV，A MNCN A MCN A BCA NBCNBC1111VVVVSA N2223 Vg，2,NBC111SBC BB2 11,A NBC1,222 VgA MNC111V1 1.236 热点考向热点考向 3 3 垂直关系的证明垂直关系的证明【典例【典例3 3】(2013(2013黄冈模拟黄冈模拟) )如图如图, ,三棱柱三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的侧面的侧面AAAA1 1B B1 1B B为正方形为正方形, ,侧面侧面BBBB1 1C C1 1C C为菱形为菱形,CBB,CBB1 1=60=60,ABB,ABB1 1C.C.(1)(1)求证求证: :平面平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)若若AB=2,AB=2,求三棱柱求三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积. .【解题探究【解题探究】(1)(1)根据条件和面面垂直的判定定理可知根据条件和面面垂直的判定定理可知, ,要证平面要证平面AAAA1 1B B1 1BB平平面面BBBB1 1C C1 1C,C,只需证明什么只需证明什么? ?提示：提示：只需证明只需证明ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求三棱柱求三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1体积的两个关键：体积的两个关键：由平面由平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C C可求得点可求得点C C到平面到平面AAAA1 1B B1 1B B的距离为的距离为_, ,从而可求三棱锥从而可求三棱锥 的体积为的体积为_. .根据根据 知知, , 三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1与三棱锥与三棱锥C-ABBC-ABB1 1的体积的关系是的体积的关系是_. .31C ABBV2 3311BABCC ABBVV1111ABC A B CC ABBV3 V【解析【解析】(1)(1)由侧面由侧面AAAA1 1B B1 1B B为正方形为正方形, ,知知ABBBABBB1 1. .又又ABBABB1 1C,BBC,BB1 1BB1 1C=BC=B1 1, ,所以所以ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,又又ABAB平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,所以平面所以平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)由题意，由题意，CBCBCBCB1 1，设，设O O是是BBBB1 1的中点，连接的中点，连接COCO，则，则COBBCOBB1 1. .由由(1)(1)知，知，COCO平面平面AAAA1 1B B1 1B B，且，且连接连接ABAB1 1，则，则 因为因为故三棱柱故三棱柱ABC -AABC -A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积33COBCAB3.22112C ABBABB112 3VSCOAB CO.363Vgg11111B ABCC ABBABC A B C12 3VVV33，111ABC A B CV2 3.【方法总结【方法总结】1.1.证明线线垂直的常用方法证明线线垂直的常用方法(1)(1)利用特殊平面图形的性质利用特殊平面图形的性质, ,如利用直角三角形、矩形、菱形、如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直等腰三角形等得到线线垂直. .(2)(2)利用勾股定理逆定理利用勾股定理逆定理. .(3)(3)利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质, ,即要证明线线垂直即要证明线线垂直, ,只需证明一线垂只需证明一线垂直于另一线所在平面即可直于另一线所在平面即可. .2.2.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法(1)(1)利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理, ,把线面垂直的判定转化为证明线把线面垂直的判定转化为证明线线垂直线垂直. .(2)(2)利用面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理, ,把证明线面垂直转化为证明面面把证明线面垂直转化为证明面面垂直垂直. .(3)(3)利用常见结论利用常见结论, ,如两条平行线中的一条垂直于一个平面如两条平行线中的一条垂直于一个平面, ,则则另一条也垂直于这个平面等另一条也垂直于这个平面等. .3.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, ,即证明一个面过另一即证明一个面过另一个面的一条垂线个面的一条垂线, ,将证明面面垂直转化为证明线面垂直将证明面面垂直转化为证明线面垂直, ,一般先一般先从现有直线中寻找从现有直线中寻找, ,若图中不存在这样的直线若图中不存在这样的直线, ,则借助中点、高则借助中点、高线或添加辅助线解决线或添加辅助线解决. .【变式训练【变式训练】(2013(2013江西高考江西高考) )如图，直四棱柱如图，直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABCDABCD，ADABADAB，AB=2AB=2， AAAA1 1=3=3，E E为为CDCD上一点，上一点，DE=1DE=1，EC=3. EC=3. (1)(1)证明：证明：BEBE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求点求点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离的距离. . AD2，【解析【解析】(1)(1)过点过点B B作作CDCD的垂线交的垂线交CDCD于点于点F F，则则BF=AD= EF=AB-DE=1BF=AD= EF=AB-DE=1，FC=2.FC=2.在在RtRtBFEBFE中，中，BE=BE=在在RtRtCFBCFB中，中，BC=BC=在在BECBEC中，因为中，因为BEBE2 2+BC+BC2 2=9=EC=9=EC2 2, ,所以所以BEBC,BEBC,又由又由BBBB1 1平面平面ABCDABCD得得BEBBBEBB1 1, ,又又BBBB1 1BC=B,BC=B,故故BEBE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.2,3,6.(2)(2)连接连接EBEB1 1，在在RtRtA A1 1D D1 1C C1 1中，中，同理，同理，则则设点设点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为d d，则三棱锥，则三棱锥B B1 1-EA-EA1 1C C1 1的体积为的体积为V= V= 从而从而111111E A B C1A B C1VAA S2.3Vg22111111A CA DD C 3 2.2211ECECCC3 2，22211A EA AADDE2 3.11A C ES3 5.V11A C E1d S5d,3Vg g105d2,d.5【典例【典例】如图如图1,1,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,D,E,D,E分别为分别为AC,ABAC,AB的中的中点点, ,点点F F为线段为线段CDCD上的一点上的一点, ,将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到A A1 1DEDE的位置的位置, ,使使A A1 1FCD,FCD,如图如图2.2.(1)(1)求证求证:DE:DE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)求证求证:A:A1 1FBE.FBE.(3)(3)线段线段A A1 1B B上是否存在点上是否存在点Q,Q,使使A A1 1CC平面平面DEQ?DEQ?说明理由说明理由. .【解析【解析】(1)(1)因为因为D,ED,E分别是分别是AC,ABAC,AB的中点的中点, ,所以所以DEBC,DEBC,又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1CB,BCCB,BC平面平面A A1 1CB,CB,所以所以DEDE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)因为因为DEBC,ACBC,DEBC,ACBC,所以所以DEAC,DEAC,所以所以DEADEA1 1D,DECD.D,DECD.因为因为A A1 1DCD=D,DCD=D,所以所以DEDE平面平面A A1 1DC.DC.因为因为A A1 1F F平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1F.F.又因为又因为A A1 1FCD,CDDE=D,FCD,CDDE=D,所以所以A A1 1FF平面平面BCDE,BCDE,因为因为BEBE平面平面BCDE,BCDE,所以所以A A1 1FBE.FBE.(3)(3)存在存在. .取取A A1 1B B的中点的中点Q,AQ,A1 1C C的中点的中点P,P,连接连接DP,PQ,QE.DP,PQ,QE.则则PQBC,PQBC,所以所以PQDE.PQDE.由由(2)(2)知知DEDE平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1C,C,所以所以PQAPQA1 1C.C.因为因为A A1 1D=DC,D=DC,所以所以A A1 1DCDC是等腰三角形是等腰三角形. .又因为点又因为点P P为为A A1 1C C的中点的中点, ,所以所以A A1 1CPD.CPD.因为因为PDPQ=P,PDPQ=P,所以所以A A1 1CC平面平面PQED,PQED,即即A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.【方法总结【方法总结】1.1.解决折叠问题的关键点解决折叠问题的关键点(1)(1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变, ,抓住翻折前后不变抓住翻折前后不变的量的量, ,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. .(2)(2)把平面图形翻折后把平面图形翻折后, ,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥, ,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决. .2.2.求解探索性问题的一般步骤求解探索性问题的一般步骤(1)(1)假设其存在假设其存在, ,被探索的点一般为线段的中点、三等分、四等被探索的点一般为线段的中点、三等分、四等分点或垂足分点或垂足. .(2)(2)在假设下进行推理论证在假设下进行推理论证, ,如果通过推理得到了合乎情理的结如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设论就肯定假设, ,如果得到了矛盾结论就否定假设如果得到了矛盾结论就否定假设. .转化与化归思想转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题解决立体几何中的探索性问题【思想诠释【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)对平行或垂直关系的探索对平行或垂直关系的探索.(2).(2)对条件和结论对条件和结论不完备的开放性问题的探索不完备的开放性问题的探索. .2.2.解题思路：首先假设其存在解题思路：首先假设其存在, ,然后在这个假设下推理论证然后在这个假设下推理论证, ,如如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设, ,若推出了矛盾若推出了矛盾就否定假设就否定假设. .3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)解决此类问题的关键是通过条件与所求把要解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来探索的问题确定下来. .(2)(2)在转化过程中要有理有据在转化过程中要有理有据, ,不能凭空猜测不能凭空猜测. .【典例【典例】(14(14分分)(2013)(2013丽水模拟丽水模拟) )如图如图, ,直三棱柱直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,ACBC,AC=BC=CC,ACBC,AC=BC=CC1 1=2,M,N=2,M,N分别为分别为AC,BAC,B1 1C C1 1的中点的中点. .(1)(1)求线段求线段MNMN的长的长. .(2)(2)求证求证:MN:MN平面平面ABBABB1 1A A1 1. .(3)(3)线段线段CCCC1 1上是否存在点上是否存在点Q,Q,使使A A1 1BB平面平面MNQ?MNQ?说明理由说明理由. .【审题【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点切入点: :从证明从证明ACAC平面平面BCCBCC1 1B B1 1入手入手. .关注点关注点: :注意条件注意条件CCCC1 1平面平面ABCABC的应用的应用. .(2)(2)切入点切入点: :根据根据M,NM,N分别为分别为AC,BAC,B1 1C C1 1的中点的中点, ,联想到三角形中位线联想到三角形中位线, ,从而作出辅助线从而作出辅助线. .关注点关注点: :注意侧面注意侧面BCCBCC1 1B B1 1是正方形是正方形. .(3)(3)切入点切入点: :从确定点从确定点Q Q的位置入手的位置入手. .关注点关注点: :点点Q Q的位置确定后的位置确定后, ,以此为条件进行证明以此为条件进行证明. .【解题【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)连接连接CN.CN.因为因为ABC -AABC -A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱，是直三棱柱， 所以所以CCCC1 1平面平面ABCABC，所以，所以ACCCACCC1 1 3 3分分因为因为ACBCACBC，所以，所以ACAC平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .因为因为MC=1MC=1，所以所以MN= MN= 6 6分分2211CNCCC N5，6. (2)(2)取取ABAB中点中点D D，连接，连接DMDM，DBDB1 1. .在在ABCABC中，因为中，因为M M为为ACAC的中点，所以的中点，所以DMBCDMBC，DM= BC.DM= BC.在矩形在矩形B B1 1BCCBCC1 1中，因为中，因为N N为为B B1 1C C1 1的中点，所以的中点，所以B B1 1NBCNBC，B B1 1N= BCN= BC，所以，所以DMBDMB1 1N N，DM=BDM=B1 1N.N.所以四边形所以四边形MDBMDB1 1N N为平行四边形，所以为平行四边形，所以MNDBMNDB1 1. .9 9分分因为因为MNMN平面平面ABBABB1 1A A1 1，DBDB1 1平面平面ABBABB1 1A A1 1，所以所以MNMN平面平面ABBABB1 1A A1 1. .1010分分1212(3)(3)线段线段CCCC1 1上存在点上存在点Q Q，且，且Q Q为为CCCC1 1中点时，中点时，有有A A1 1BB平面平面MNQ.MNQ.证明如下：连接证明如下：连接BCBC1 1，NQNQ，MQ.MQ.在正方形在正方形BBBB1 1C C1 1C C中易证中易证QNBCQNBC1 1. .又又A A1 1C C1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C C，所以，所以A A1 1C C1 1QNQN，从而，从而QNQN平面平面A A1 1BCBC1 1. .1212分分所以所以A A1 1BQNBQN，同理可得同理可得A A1 1BMQBMQ，所以，所以A A1 1BB平面平面MNQ.MNQ.故线段故线段CCCC1 1上存在点上存在点Q Q，使得，使得A A1 1BB平面平面MNQ.MNQ.1414分分【点题【点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分点一失分点一求线段求线段MNMN的长时应先证明的长时应先证明处成立再计算处成立再计算失分点二失分点二不能把所求问题转化为不能把所求问题转化为处的结论导致无处的结论导致无法求解法求解失分点三失分点三题中题中处的结论想不到应用导致无法求解处的结论想不到应用导致无法求解【变题【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013北京模拟北京模拟) )在如图所示的几何体中在如图所示的几何体中, ,四边形四边形ABCDABCD是菱是菱形形,ADNM,ADNM是矩形是矩形, ,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,PABCD,P为为DNDN的中点的中点. . (1)(1)求证求证:BDMC.:BDMC.(2)(2)线段线段ABAB上是否存在点上是否存在点E,E,使得使得APAP平面平面NEC,NEC,若存在若存在, ,说明在什说明在什么位置么位置, ,并加以证明并加以证明; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .【解析【解析】(1)(1)连接连接AC,AC,因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,所以所以ACBD.ACBD.又又ADNMADNM是矩形是矩形, ,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,ABCD,所以所以AMAM平面平面ABCD.ABCD.因为因为BDBD平面平面ABCD,ABCD,所以所以AMBD.AMBD.因为因为ACAM=A,ACAM=A,所以所以BDBD平面平面MAC.MAC.又又MCMC平面平面MAC,MAC,所以所以BDMC.BDMC.(2)(2)当当E E为为ABAB的中点时的中点时, ,有有APAP平面平面NEC.NEC.取取NCNC的中点的中点S,S,连接连接PS,SE.PS,SE.因为因为PSDCAE,PS=AE= DC,PSDCAE,PS=AE= DC,所以四边形所以四边形APSEAPSE是平行四边形是平行四边形, ,所以所以APSE.APSE.又又SESE平面平面NEC,APNEC,AP 平面平面NEC,NEC,所以所以APAP平面平面NEC.NEC.12