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1第二十一章一次函数1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.3.能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k0)探索并理解k0和k0时,图像的变化情况.4.体会一次函数与二元一次方程的关系.5.能用一次函数解决简单的实际问题.6.进一步发展学生的数学抽象能力,强化数学的应用意识.1.结合具体情境体会和理解一次函数及正比例函数的意义,能根据已知条件运用待定系数法确定一次函数的表达式.2.逐步学会运用函数的观点观察、分析问题,预测实际问题中的变量的变化规律.1.通过讨论一次函数与方程(组)的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程(组)及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.2.通过本章的学习,要让学生感受数学的价值,培养和提高学生的应用意识.3.注重对学生情感态度的评价,在学生学习活动中,培养学生自信、自强的性格,记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中所表现出来的创新精神.1.本章的内容、地位和作用.本章的知识内容主要包括:一次函数,一次函数的图像和性质,用待定系数法确定一次函数表达式,一次函数的应用,一次函数与二元一次方程的关系.这些内容彼此关联,依次递进.一次函数是在学习了一般的函数概念之后,进一步研究的第一类特殊函数,它不仅是现实生活中极为广泛的一类数量关系的抽象模型,有着广泛的应用,而且在整个函数知识的学习中,起着承上启下的重要作用,这主要表现为:第一,通过一次函数的学习,使学生对“函数”这一抽象的核心概念的理解更加深入,对“函数模型”的理解逐步走向深入与深刻、丰满与充实,对“函数”这一系统知识的认识与掌握进一步强化和提升;第二,一次函数的学习,不仅从变量关系类型上为二次函数、反比例函数的学习提供了对照与类比,更从研究方法(如“利用函数图像研究函数的性质”“借助待定系数法求函数表达式”等)上,展示了普遍的意义和作用.2.本章内容的呈现方式及特点.(1)一次函数的意义同样是比较抽象的,教科书中采用了这样的研究过程:从小学已认识的“成正比例的量”入手,先引入“正比例函数”,再扩展到“一次函数”.这样编排的目的,一是从学生已有的“数学现实”出发,使新知识的引入比较自然;二是采用“由特殊到一般”的归纳方式,符合学生的认知规律,有利于数学活动经验的积累.(2)对于学生来说,无论是“正比例函数”还是“一次函数”,其概念认识的形成,都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境,通过归纳、抽象才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃.(3)对于一次函数性质的研究,教科书中突出了“数形结合”,即由图像特征引发出函数随自变量变化的增、减性质,因此,图像的绘制与观察,便起着铺垫与引导的重要作用.(4)教科书紧紧抓住“一点在函数的图像上”与“该点的坐标满足函数的表达式”的对应及一致性,导出用待定系数法求一次函数的表达式,意在突出“形与数”的统一与相互转化,并显示“方程”的广泛应用.随后,又专项研究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联性.(5)所有内容的呈现,一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间.【重点】1.理解和掌握一次函数的图像和性质,能用待定系数法确定一次函数的表达式.2.一次函数的应用,一次函数与二元一次方程的关系.【难点】1.一次函数的图像和性质.2.一次函数的应用.1.本章之前,刚刚学习了第二十章“函数”,学生对于函数的意义和图像已有了初步的认识,对于相应知识的探究过程及方法,也有了初步的经验积累;另一方面,一次函数源于现实中极为广泛存在的“匀速”变化情境里的数量关系,这样的背景早在此前的许多“算术”应用题和“方程”应用题中以多种“特值”形式反复出现过.这些都是开始本章学习的“数学现实”,教学正是应当从这样的现实出发,用好这样的现实,以优化的过程取得优良效果.2.正比例函数是“成正比例的量”的一般化和发展,一次函数又是正比例函数的一般化和发展,许多数学知识就是沿着这样的途径扩展与增长出来的,教学中就要引导学生遵循这样的线索去探究,去再发现,构筑良好的知识系统,并借此提高学生的学习能力.3.一次函数的图像是直角坐标系里的一条直线(不与坐标轴平行),这正是函数对于自变量“匀速”变化的直观(形)反映,事实上,在确定的直角坐标系里,这样的直线与一次函数表达式是“一一对应”的.恰是基于这种对应,图像(直线)的倾斜情况就反映了一次函数对于自变量变化的增减情况(以及增减速度),一次函数的性质就是借此被“形象”地看出来的;另一方面,用待定系数法确定一次函数的表达式,也是以上述“一一对应”为根据的.因此,在教学中,引导学生通过画图像与研讨,感悟一次函数与其图像的关系便是十分重要的了.4.一次函数的应用的教学,应当特别关注两个方面,一是怎样将实际问题或数学问题转化为一次函数问题;二是通过广泛应用,进一步体会一次函数“匀速”变化的本质特征.5.从两个方面引导学生感悟一次函数与二元一次方程的联系,一是直接从表达式的相互转换进行引导,二是从它们对应于确定的直角坐标系里的同一条直线进行引导.由此使学生体会函数与方程的又一种沟通方式.21.1一次函数2课时21.2一次函数的图像和性质2课时21.3用待定系数法确定一次函数表达式1课时21.4一次函数的应用2课时21.5一次函数与二元一次方程的关系1课时回顾与反思1课时21.1一次函数1.结合具体情境,了解正比例函数与一次函数的关系和意义.2.掌握一次函数的一般形式,并能写出实际问题中正比例函数关系与一次函数关系的表达式.1.通过对具体实例的分析,发现函数的共同点,抽象出一次函数的概念.2.再一次感悟函数模型,培养学生的抽象能力.经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性.【重点】一次函数的概念,会写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的表达式.【难点】能正确写出正比例函数和一次函数的表达式.第课时1.初步理解正比例函数的概念.2.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系.3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.1.通过对问题的研究,体会数学模型的思想.2.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊到一般的辩证关系.经历利用正比例函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点逐步认识世界的意识和能力.【重点】理解正比例函数的意义及解析式的特点.【难点】能列(或求)函数表达式,并正确地加以判断.【教师准备】课件18.【学生准备】复习成正比例的量.导入一:【课件1】一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.1.这只燕鸥大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)?2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系?3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米?我们来共同分析:一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600(304+7)200(千米).若设这只燕鸥每天飞行的路程为200千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=200x(0x127).这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值,即y=20045=9000(千米).以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?我们这节课就来学习.设计意图以现实生活中人们对鸟类的研究,抽象出数学问题,从而使学生对本节课的学习内容产生深厚的兴趣.导入二:【课件2】阿甘正传是一部励志影片.片中阿甘曾跑步绕美国数圈.假设他从德州到加州行进了21000千米,耗费了他150天的时间.(1)阿甘大约平均每天要跑步多少千米?(2)阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系?(3)阿甘一个月(按30天计算)的行程大约是多少千米?变式:(1)如果把150天改成300天,那么阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系?(2)如果阿甘再按这个速度跑步两个月(一个月按30天计算),行程大约是多少千米?设计意图通过情境导入,激发学生的学习兴趣,体会变量之间的对应关系,为下文的学习做好铺垫.活动1新知探究过渡语函数可以用来刻画变量之间的关系,我们在小学就认识了成正比例的量,并能从实际问题中判断成正比例的两个量.请看下面的问题.思路一1.出示教材“观察与思考”.【课件3】小刚骑自行车去上学,行驶时间和路程之间的关系如下表:时间/min1234517.5路程/km0.20.40.60.813.5提出问题:小学我们学过正比例关系,什么是正比例关系?对于刚才的表格中的时间和路程成正比例吗?为什么?教师引导学生得出:通过观察与计算可以发现小刚离开家的路程与时间的比值等于0.2,即这两个量成正比例关系,也就是一个量在增加,另一个量也在增加;一个量在减少,另一个量也相应地减少.如果用s表示路程,用t表示时间,你能写出它们之间的函数关系式吗?学生思考后得到函数关系式为s=0.2t.2.出示教材“做一做”.【课件4】1.小亮每小时读20页书.若读书时间用字母t(h)表示,读过书的页数用字母m(页)表示,则用t表示m的函数表达式为.2.小米去给学校运动会买奖品,每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示,花钱的总数用w(元)表示,则用n表示w的函数表达式为.3.拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05 mL.设t min后,水龙头滴水V mL,则用t表示V的函数表达式为.教师让学生讨论结果,分别写出它们的函数表达式.1.m=20t2.w=0.5n3.V=5t想一想:上面的函数表达式有什么共同特点?引导学生总结:上面的式子都能写成y=kx(k为常数,且k0)的形式.我们把形如y=kx(k为常数,且k0)的函数,叫做正比例函数.其中,非0常数k叫做比例系数.那么怎么判断一个函数是否为正比例函数呢?分析:正比例函数满足的条件是:(1)自变量的指数是1;(2)自变量在一次单项式中.设计意图从小学已熟悉的“成正比例的量”出发,由“匀速”行驶过程中行驶时间与所行路程的关系,抽象出正比例函数.思路二【课件5】下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;(2)铁的密度为7.8 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化;(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0 物体,使它每分钟下降2 ,物体的温度T(单位: )随冷冻时间t(单位:分钟)的变化而变化.认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和自变量的函数.【课件6】填写下表:函数解析式常数自变量自变量的函数(1)l=2r2rl(2)m=7.8V7.8Vm(3)h=0.5n0.5nh(4)T=-2t-2tT观察(1)中l与r的不同取值之间有什么共同之处?(1)中l与r的对应值的比值(l/r)总是一个常数(2).因为2是不变的,圆的周长l与半径r的比值是一定的,我们说l与r成正比例.学生模仿练习说明(2)(3)(4)中有没有成正比例的.(2)中m与V的比值是7.8,是一个常量,所以m与V成正比例;(3)中h与n的比值是0.5,是一个常量,所以h与n成正比例;(4)中T与t的比值是-2,是一个常量,所以T与t成正比例.这些函数有什么共同点?发现:它们都是常数与自变量的乘积的形式.总结正比例函数的定义:一般地,如果变量x,y有关系y=kx(k是一个不等于0的常数),那么变量x,y成正比例,函数y=kx(k0)叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数,自变量x的取值范围是一切实数,比例系数不能为零.学生模仿练习说出(1)(2)(3)(4)中的比例系数.设计意图由实际生活入手,列举实际问题,感悟数学与生活的实际联系;另外通过探究函数关系式中的两个变量的正比例关系,让学生体会正比例函数的一般形式.知识拓展正比例函数的判别:(1)自变量的指数是1次;(2)自变量的系数不为0;(3)不含有常数项.活动2例题讲解过渡语判断一个函数是否为正比例函数时,要注意自变量的指数是1,系数不为0,常数项为0这三个条件.【课件7】下列函数中,哪些是正比例函数?请指出其中正比例函数的比例系数.(1)y=3x;(2)y=2x+1;(3)y=-;(4)y=;(5)y=x;(6)y=-x.让学生独立完成,并说明理由.教师注意指导,强调判断的方法.解:(1),(3),(5),(6)是正比例函数,比例系数分别是3,-,-.(2)和(4)不是正比例函数.练一练:下列函数中哪些是正比例函数?请指出其中正比例函数的比例系数.(1)y=-2x;(2)y=;(3)y=-;(4)v=;(5)y=x-1;(6)y=2r;(7)y=2x2.指名回答,得出(1)(4)(6)是正比例函数,比例系数分别是-2,2.【课件8】有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.(1)求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式.(2)求收割完这块麦田需用的时间.引导学生思考完成,小组可以互相交流.解:(1)y=0.5x.(2)把y=10代入y=0.5x中,得10=0.5x,解得x=20,即收割完这块麦田需要20 h.想一想:y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系是正比例函数吗?比例系数是多少?这个比例系数代表的意义是什么?强调:这个比例系数是每小时收割的量,收割机每工作1小时,收割麦田0.5公顷.实际问题中的比例系数是单位量中增加或减少的值.设计意图使学生理解和掌握正比例函数的一般形式,能正确地加以判断,培养学生解决问题的能力,巩固所学的知识.一般地,如果变量x,y有关系y=kx(k是一个不等于0的常数),那么变量x,y成正比例,函数y=kx(k0)叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数,自变量x的取值范围是一切实数,比例系数不能为零.1.下列问题中,是正比例函数的是()A.矩形面积固定,长和宽的关系B.正方形面积和边长之间的关系C.三角形的面积一定,底边和底边上的高之间的关系D.匀速运动中,速度固定时,路程和时间的关系解析:A.S=ab,矩形的长和宽的积是定值,不是正比例函数;B.S=a2,自变量的次数是2,不是正比例函数;C.S=ah,三角形的面积一定,底边和底边上的高的积是定值,不是正比例函数;D.s=vt,速度固定时,路程和时间是正比例关系,故本选项正确.故选D.2.下列函数中,y是x的正比例函数的是()A.y=2x-1B.y=xC.y=2x2D.y=kx解析:A.y=2x-1,不是正比例函数,故本选项错误;B.y=x,符合正比例函数定义,故本选项正确;C.y=2x2,自变量次数不为1,故本选项错误;D.y=kx,k有可能为0,故本选项错误.故选B.3.函数y=(a+1)是正比例函数,则a的值是()A.2B.-1C.2或-1D.-2解析:函数y=(a+1)是正比例函数,a-1=1,且a+10,解得a=2.故选A.4.若函数y=(3-m)是正比例函数,则常数m的值是()A.-B.C.3D.-3解析:由正比例函数的定义,可得m2-8=1,且3-m0,解得m=-3.故选D.5.关于x的一次函数y=x+5m-3,若要使其成为正比例函数,则m=.解析:根据正比例函数的定义,可得5m-3=0,解得m=.故填.6.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的正比例函数?如果是正比例函数,指出比例系数.(1)小红去商店买笔记本,每个笔记本2.5元,小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.解析:(1)根据每个笔记本2.5元,可得出小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;(2)根据圆的面积公式即可得出圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.解:(1)由题意得y=2.5x,y是x的正比例函数,比例系数是2.5.(2)由题意得y=x2,y不是x的正比例函数.第1课时活动1新知探究1.关系式:y=kx(k为常数,且k0).2.满足的条件:(1)自变量的指数是1;(2)自变量在一次单项式中.活动2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第85页练习第1,2题.2.教材第86页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第86页习题B组.二、课后作业【基础巩固】1.下面函数中,是正比例函数的是()A.y=6xB.y=C.y=x2+6xD.y=3x-12.已知y=(m+1),若y是x的正比例函数,则m的值为()A.1B.-1C.1,-1D.03.若函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,则k的值为()A.0B.1C.1D.-14.下列说法正确的是()A.三角形的面积一定时,它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系B.长方形的面积一定时,它的长和宽满足正比例关系C.正方形的周长与它的边长满足正比例关系D.圆的面积和它的半径满足正比例关系【能力提升】5.函数y=x中自变量x的取值范围是.6.若x,y是变量,且函数y=(k+1)x|k|是正比例函数,则k=.7.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数,则m=,该函数的解析式为.8.已知y是x的正比例函数,当x=3时,y=-2,那么y与x之间的比例系数是.【拓展探究】9.当k为何值时,y=(k2+2k)x是正比例函数?10.已知y是x的正比例函数,且当x=-3时,y=6.(1)写出y与x的函数关系式;(2)当x=-6时,求对应的函数值y;(3)当x取何值时,y=?【答案与解析】1.A(解析:根据正比例函数y=kx的定义条件:k为常数且k0,自变量次数为1,即可得出A中y=6x是正比例函数.)2.A(解析:由题意得解得m=1.)3.B(解析:函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,解得k=1.)4.C(解析:分别利用三角形、长方形、圆的面积和正方形的周长公式得出函数关系,进而判断得出即可.)5.全体实数(解析:自变量在整式中,所以自变量的取值范围为全体实数.)6.1(解析:根据题意得|k|=1,且k+10,解得k=1.)7.2y=2x(解析:由题意得m0,2-m=0,m=2,该函数的解析式为y=2x.)8.-(解析:设y与x之间的函数关系式是y=kx,把x=3,y=-2代入,得-2=3k,解得k=-.)9.解:根据题意得k2-3=1,k2+2k0.由得k=2.当k=-2时,k2+2k=0,y=0不是正比例函数;当k=2时,k2+2k=8,y=8x是正比例函数.当k=2时,函数y=(k2+2k)x是正比例函数.10.解:(1)设正比例函数解析式为y=kx,把x=-3,y=6代入,得-3k=6,解得k=-2,所以此函数的关系式是y=-2x.(2)把x=-6代入解析式,可得y=12.(3)把y=代入解析式,可得x=-.本堂课的重点是对正比例函数的概念的理解.难点是能正确判断正比例函数,并确定比例系数.通过教师的引导,启发调动学生的积极性,让学生自主地去分析发现函数的定义及规律.教师的主导作用与学生的主体地位达到了统一,使本课时的重点得到了突出,难点得到了突破;对学生学习中的情况进行了指导,作出了反馈;培养了学生的归纳概括和解决问题的能力.本课时的教学注重由传授单一的知识技能,转为学生“自主探索发现总结规律”,使学生对新的知识与数学思想方法更容易理解和掌握.(1)在探索正比例函数概念的过程中没有让学生充分地说理.(2)在应用新知这一环节中对学生习题的反馈情况了解得不够全面.(3)课堂内容较简单,教师在教学过程中没有呈现发展学生思维能力的补充例题,以满足不同学生的需要.(1)要充分相信学生总结规律的能力,在学生总结规律过后给予肯定,不必加以过多的语言进行重复,给学生足够的空间思考回答问题.(2)在学生明确正比例函数的概念后,应用新知反馈练习时,可以采取课堂小测验等方法进行,这样教师可以更准确地掌握学生对新知识的掌握情况.(3)在问题探讨及新课导入的过程中出现的问题串让学生自己读题后解决,教师不必帮助读题,这样可以更加集中学生的注意力,激发学习兴趣.(4)适当增加稍微难一点的例题,帮助学生分析,锻炼学生的思维能力.练习(教材第85页)1.解:(1)具有.(2)不具有.(3)不具有.(4)不具有.2.(1)9(2)4(3)-5习题(教材第86页)A组1.解:(1)是正比例函数,比例系数为-4.(2)不是正比例函数.(3)是正比例函数,比例函数为.(4)不是正比例函数.(5)是正比例函数,比例系数为-0.9.(6)是正比例函数,比例系数是-1.2.解:(1)y=4x.(2)当x=5时,y=45=20.(3)解方程4x=5,得x=.3.解:(1)V=8S.(2)当S=64时,V=648=512.B组1.解:x和y成正比例,设x=my(m为常数,且m0).y和z成正比例,设y=nz(n为常数,且n0).x=my=mnz.m,n为常数,且m0,n0,mn为常数,且mn0.x是z的正比例函数.2.解:根据题意得解得m=-3.一次函数是在对一般“函数”概念有了初步认识之后,继续学习的第一类特殊函数.本节内容就是深入地认识一次函数,按照“成正比例的量”“正比例函数”“一次函数”这一递升次序安排的,这样做的目的主要有两个:一是更好地体现事物“由简单到复杂”“由特殊到一般”的发展规律;二是成正比例的量在小学已较为熟悉,由此抽象出正比例函数,进而由正比例函数扩展到一次函数,可更好地借用学生已有的数学知识,有效地展现知识的“抽象”生成过程,使一次函数概念的形成更自然、更深刻,更好地体现模型思想.希望教师充分注意上述立意.义务教育数学课程标准(2011年版)指出:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.”一次函数就是最为重要的数学模型之一,这一要求的实现要靠切实有效的教学活动.1.首先引导学生回忆上一章刚学习过的函数的意义,为本节的学习铺垫好进一步抽象的基础.其次,回忆小学时学习过的成正比例的量.实际上,成正比例的量是函数的最早雏形,也是学生最为熟悉的正比例函数的实例.2.对于“观察与思考”和“做一做”活动中的问题情境,应努力引导学生通过思考与解答,体会出如下两点:第一:每一对成正比例的量之间都是一种函数关系,并且都可以表示成函数是自变量某一确定“倍数”的形式这正是正比例函数形式定义的基础.第二:每一对成正比例的量构成的函数,函数对于自变量的变化都是“匀速”的.这正是正比例函数及一次函数的本质特征.3.对于正比例函数的定义,应强调k既可以是正数也可以是负数,因此,正比例函数是成正比例的量的拓展与再抽象.第课时1.理解一次函数的概念,以及一次函数与正比例函数之间的关系.2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.经历利用一次函数、正比例函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点增强认识现实世界的意识和能力.【重点】1.一次函数的概念.2.根据已知信息写出一次函数表达式.【难点】理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.【教师准备】课件19.【学生准备】复习正比例函数的定义.导入一:【课件1】问题:某登山队大本营所在地的气温为15 ,海拔每升高1 km气温下降6 .登山队员由大本营向上登高x km时,他们所处位置的气温是y .试用解析式表示y与x的关系.分析:从大本营向上,当海拔每升高1 km时,气温从15 就减少6 ,那么海拔增加x km时,气温从15 减少6x .因此y与x的函数关系式为y=15-6x(x0).当然,这个函数也可表示为y=-6x+15(x0).当登山队员由大本营向上登高0.5 km时,他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-60.5+15=12().这个函数与我们上课时所学的正比例函数有何不同?它又是什么函数呢?我们这节课将学习这些问题.设计意图为完善认识与深刻理解一次函数做准备,促使学生对一次函数的特征进行思考.导入二:1.知识回顾.(1)什么是正比例函数?(2)函数有哪些表示方法?(3)你能举出几个正比例函数的例子吗?2.思考.【课件2】列出下列函数关系式.(1)已知等腰三角形的周长为30,底边长为y,腰长为x,试写出y与x之间的函数关系式;(2)小红的爸爸把10000元存入银行,如果年利率是1.98%,x年后取出的本息和为y(元)(不计利息税),试写出y与x之间的函数关系式;(3)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x分钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y与x之间的函数关系式;(4)某种商品每件的进价是100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为y(元),试写出y与x之间的函数关系式.前面我们学习了函数的基本概念,以及函数的表示和正比例函数,本课时我们将学习一种最基本的函数一次函数.设计意图通过复习,让学生进一步巩固上课时所学的内容;利用函数表达式,培养学生列函数表达式的能力,同时也为引出下面的内容奠定基础.活动1新知探究过渡语函数可以用来刻画数量之间的关系,一次函数是一种重要的函数,现在我们就来探究一次函数.思路一1.一起探究.【课件3】在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中,小刚家到学校的路程为3.5 km,小刚骑车的速度为0.2 km/min.设小刚距学校的路程为s km,离开家的时间为t min.一起探究:(1)写出s与t之间的函数关系式,并指出其中的常量与变量.(2)写出t的取值范围.(3)对比正比例函数,它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点?分清已知量与未知量之间的相互关系,再用变量(字母)表示未知量是探究函数关系的关键.引导学生利用图示法进行分析,合理确定自变量的取值范围.一般地,解决行程类的问题时,常常借助如下图示来分析.分析上图,容易得出s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中3.5,0.2是常量,s与t是变量.因为3.5-0.2t0,解得t17.5.所以t的取值范围为0t17.5.2.做一做.【课件4】1.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.60元/平方米;有汽车的房主再交车库使用费,每月80元.设有车房主的住房面积为x m2,每月应缴物业管理与车库使用费的总和为y元,则用x表示y的函数表达式为.2.向一个已装有10 dm3水的容器中再注水,注水速度为2 dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为.3.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,减常数105,所得差是G的值.用h表示G的函数表达式为.提出问题:上面情境中,可以用怎样的关系式表示?请与你的同桌交流.引导学生分析得出:1.y=1.6x+802.y=2x+103.G=h-105说明:教学中应引导学生注意,在这三个问题里,函数表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的.3.大家谈谈.想一想:这些函数表达式的形式有什么共同特点?与同学交流你的看法.引导学生从关系式的形式上找共同点.师生共同归纳得其特点:它们的形式一样,函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.总结:一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k0)的函数,叫做一次函数.提问:当b=0时,一次函数会变成什么样的函数?对于一次函数y=kx+b,当b=0时,它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式.思考:一次函数和正比例函数的联系与区别分别是什么?归纳:一次函数解析式y=kx+b的结构特征:k0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx的解析式中,比例系数k是常数,k0,自变量的次数为1.正比例函数是特殊的一次函数.设计意图通过问题的探究,使学生理解一次函数的形式以及它与正比例函数的关系,进一步理解“从特殊到一般”解决问题的方法.知识拓展(1)一次函数中,自变量的次数是1.(2)形如x=a或y=b(a,b是常数)的函数称为常数函数,如x=1,y=2等.(3)正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b=0,因此正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.思路二【课件5】弹簧下端悬挂重物,弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数,已知一根弹簧在不挂重物时长6厘米.在一定的弹性限度内,每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米,求这个函数关系式.学生独立尝试后,和同桌交流.明确:这里涉及物重和弹簧长度两个变量,变量与变量之间的关系为:弹簧总长度=弹簧伸长长度+弹簧原长.当挂x千克重物时,弹簧长度y=0.3x+6.师:观察下面6个函数:y=30-2x;y=10000+100001.98%x=10000+198x;y=20-0.2x;y=10020%x=20x;s=570-95t;y=0.3x+6.它们具有怎样的共同特征?你能用一个表达式表示这个共同特征吗?学生交流讨论,逐个举手回答.明确:师生共同归纳可得上述函数的关系式都是关于自变量的一次整式,这样的关系式为一次函数,可统一表示为y=kx+b的形式,其中k,b为常数,且k0.特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k0)也叫正比例函数.教师利用多媒体演示幻灯片.【课件6】判断正误.(1)一次函数是正比例函数;()(2)正比例函数是一次函数;()(3)x+2y=5是一次函数;()(4)2y-x=0是正比例函数.()学生独立尝试后,和同桌交流结果,逐个举手回答.教师利用多媒体点击答案,验证学生解答的正确性.明确:根据一次函数和正比例函数的概念可知正比例函数是一次函数的特例,因此正比例函数一定是一次函数,当一次函数关系式中的常数项为0时,一次函数才是正比例函数;一个函数关系式能够转化成y=kx+b(k0)的形式,它就是一次函数;一个函数关系式能够转化成y=kx(k0)的形式,它就是正比例函数.【课件7】已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时,y是x的一次函数?当m取什么值时,y是x的正比例函数?学生独立尝试后,推选代表上黑板板演,然后再全班互评.明确:师生共同归纳学生板演的结果,并总结.解:要使此函数是一次函数,必须满足m+10,即m-1;要使此函数是正比例函数,必须满足解得m=1.设计意图通过情境的设置,让学生能列出实际问题中的函数关系式,并通过观察函数的特点,总结出一次函数的特点,而且在教学过程中边讲边练,加深学生对新知识的理解和掌握.活动2巩固新知过渡语根据一次函数的特点,我们可以判断一个函数是否为一次函数.1.做一做.【课件8】在下列函数中,哪些是一次函数?请指出一次函数中的k和b的值.(1)y=3x+6;(2)y=-x+2;(3)y=;(4)y=-0.4t;(5)w=-2z;(6)y=2x2+6x-9.引导学生根据一次函数的定义进行判断,并确定k和b的值.指名回答.得出:(1)(2)(4)(5)是一次函数.(1)k=3,b=6;(2)k=-,b=2;(4)k=-0.4,b=0;(5)k=-2,b=.2.例题讲解.【课件9】(教材第88页例3)如图所示,ABC是边长为x的等边三角形.(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗?如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.(2)当h=时,求x的值.(3)求ABC的面积S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗?分析:(1)根据等腰三角形三线合一的性质,求得BD=x,然后再利用勾股定理表示出高,再进行判断;(2)把h=代入函数关系式中求得x的值.(3)直接利用三角形的面积公式求出S的值,然后加以判断.引导学生分析之后,学生自主完成.解:(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线,所以BD=x.在RtABD中,由勾股定理,得:h=AD= =x,即h=x.所以h是x的一次函数,且k=,b=0.(2)当h=时,有=x.解得x=2.(3)因为S=ADBC=xx=x2,即S=x2,所以S不是x的一次函数.设计意图通过“做一做”进一步巩固一次函数的有关知识,培养学生的判断能力;通过例题的讲解,使学生能够利用所学知识解决实际问题.1.一次函数的定义:一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k0)的函数,叫做一次函数.2.学习一次函数要注意的问题:(1)函数为一次函数其关系式为y=kx+b(k,b是常数,且k0)的形式;(2)一次函数关系式的结构特征:k0;自变量的次数是1;常数项b为任意实数.(3)一般情况下自变量的取值范围是任意实数.1.(2016武汉中考)下列函数:y=x;y=;y=;y=2x+1.其中一次函数的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:y=x是一次函数,故符合题意;y=是一次函数,故符合题意;y=中自变量次数不为1,故不是一次函数,故不符合题意;y=2x+1是一次函数,故符合题意.综上所述,是一次函数的个数有3个.故选C.2.一次函数y=x+2中,当x=9时,y值为()A.-4B.-2C.6D.8解析:把x=9代入y=x+2,得y=9+2=8.故选D.3.下列函数中,既是一次函数,又是正比例函数的是()A.y=-3x2-1B.y=2x-1C.y=D.y=-2x解析:A.自变量为2次,不是一次函数,故此选项错误;B.符合一次函数定义,是一次函数,但不是正比例函数,故此选项错误;C.自变量在分母中,不是一次函数,故此选项错误;D.符合正比例函数定义,是正比例函数,故此选项正确.故选D.4.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是图中的()ABC D解析:根据函数的定义,知一次函数和正比例函数都属于函数的范畴;一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k0,自变量次数为1.当b=0时,则成为正比例函数y=kx,所以正比例函数是一次函数的特殊形式.故选A.5.已知y=(m-3)+1是一次函数,则m的值是()A.-3B.3C.3D.2解析:由y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数,得解得m=-3(m=3不符合题意,要舍去).故选A.6.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是()A.S是R的一次函数B.S是R的正比例函数C.S与R2成正比例关系D.以上说法都不正确解析:由题意得S=R2,所以S与R2成正比例关系.故选C.7.已知函数y=2x-1中,若x=a时的函数值为1,则a的值是()A.-1B.1C.-3D.3解析:将x=a,y=1代入,得2a-1=1,解得a=1.故选B.8.已知一次函数y=2x-3.(1)当x=-2时,求y;(2)当y=1时,求x;(3)当-3y0时,求x的取值范围.解析:(1)直接把x=-2代入y=2x-3可得答案;(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,再解方程即可;(3)由题意可得不等式组-32x-30,再解不等式组即可.解:(1)把x=-2代入y=2x-3中,得y=-4-3=-7.(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,解得x=2.(3)-3y0,-32x-30,解得0x.9.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数,是否为正比例函数.(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).解析:(1)根据路程=速度时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积公式可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高月数.解:(1)y=60x,y是x的一次函数,也是正比例函数.(2)y=x2,y不是x的一次函数,不是正比例函数.(3)y=50+2x,y是x的一次函数,不是正比例函数.第2课时活动1新知探究1.一起探究2.做一做3.大家谈谈一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k0)的函数,叫做一次函数.活动2巩固新知1.做一做2.例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第88页练习第1,2题.2.教材第89页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第89页习题B组.二、课后作业【基础巩固】1.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是()A.路程一定时,时间y和速度x的关系B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形C.正方形的面积y与它的边长xD.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x2.如果y是x的正比例函数,x是z的一次函数,那么y是z的()A.正比例函数B.一次函数C.正比例函数或一次函数D.不构成函数关系3.已知函数y=3x+1,当自变量增加3时,相应的函数值增加()A.10B.9C.3D.84.若一次函数y=kx-5,当x=-2时,y=7,则k的值是()A.6B.-1C.-6D.15.y=kx+b是一次函数,则k为()A.一切实数B.正实数C.负实数D.非零实数【能力提升】6.将一次函数y=3(x-2)+1写成y=kx+b的形式,则()A.k=3,b=1B.k=-2,b=1C.k=3,b=-5D.k=3,b=-27.若y=(m-3)x|m|-2+m+n是一次函数,则m=;若它为正比例函数,则m=,n=.8.我们知道,海拔高度每上升1 km,温度下降6 .某时刻测量我市地面温度为20 .设高出地面x km处的温度为y ,则y与x的函数关系式为,yx的一次函数(填“是”或“不是”).9.函数:y=-x;y=x-1;y=;y=x2+3x-1;y=x+4;y=3.6x.其中一次函数有;正比例函数有.(填序号)10.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数?是否为正比例函数?(1)某种大米的单价是2.2元/kg,当购买x kg的大米时,花费为y元;(2)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球,其速度每秒增加3 m,小球的速度y(m/s)与时间t(s)之间的关系;(3)周长为10 cm的长方形的一边长为x cm,其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系.【拓展探究】11.已知y=(k-1)x|k|+(k2-4)是一次函数.(1)求k的值;(2)求x=3时,y的值;(3)求y=0时,x的值.12.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?【答案与解析】1.B(解析:A.设路程是s,则根据题意知s=xy,时间y和速度x不是一次函数关系,故本选项错误;B.根据题意,知10=2(x+y),即y=-x+5,符合一次函数的定义,故本选项正确;C.根据题意,知y=x2,自变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误;D.根据题意,知x2+y2=25,变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误.)2.C(解析:由题意得y=kx,x=k1z+b,则y=kk1z+kb.当b0时,y是z的一次函数.当b=0时,y是z的正比例函数.综上所述,y是z的一次函数或正比例函数.)3.B(解析:因为y=3x+1,所以当自变量增加3时,y1=3(x+3)+1=3x+1+9,相应的函数值增加9.)4.C(解析:依题意,得-2k-5=7,解得k=-6.)5.D(解析:根据一次函数的定义,可知若y=kx+b是一次函数,则k0.)6.C(解析:y=3(x-2)+1=3x-6+1=3x-5,所以k=3,b=-5.)7.-3-33(解析:y=(m-3)+m+n是一次函数,|m|-2=1,m-30,m=-3,若为正比例函数,则m+n=0,得-3+n=0,即n=3.)8.y=-6x+20是(解析:高出地面x km处的温度为y ,则y与x的函数关系式为y=-6x+20,y是x的一次函数.)9.(解析:根据一次函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx+b(k0,k,b是常数)的函数是一次函数,可知y=-x,y=x-1,y=x+4,y=3.6x是一次函数,根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数,知y=-x,y=3.6x是正比例函数.)10.解:(1)由题意,得y=2.2x,y是x的一次函数,且是正比例函数.(2)由题意,得y=3x,y是x的一次函数,且是正比例函数.(3)由题意,得y=x(5-x),y不是x的一次函数,也不是正比例函数.11.解:(1)由题意可得|k|=1,k-10,解得k=-1.(2)当x=3时,y=-2x-3=-9.(3)当y=0时,0=-2x-3,解得x=-.12.解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=1.又m+10即m-1,当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.(2)根据正比例函数的定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=1,n=-4,又m+10即m-1,当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.本课时是在学习了正比例函数的概念之后进行一次函数的概念学习,学生还是比较有信心学好的.根据教材的安排,通过设计经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;通过思考题来不断细化教材,达到层层铺垫、分层递进的目的.1.理解一次函数和正比例函数的概念.通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法的多样性.2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步.3.本课时重点讲授了运用函数的关系式来表达实际问题,通过引导分析,感觉学生收获比较大.教学中让学生积极主动参与知识的形成过程,体验到新知识往往建立在旧知识的基础上,并且与一些旧知识还存在着紧密的联系,放手让学生运用转化的思想方法进行操作,使学生有效地理解和掌握一次函数的概念和应用,同时让他们获得了数学思想方法,并培养了学生探索问题的能力,不断提高完善.1.本课时放得还不够开,可能是由于课堂容量较大,担心任务是否能按时完成,因而部分题没有留出充分思考、交流的空间,显得处理问题有些着急.2.小组的合作学习尚且还处于形式化倾向,学生小组间的对学、群学体现不明显.1.尽可能放手,留给学生充分的思考、交流的空间,使学生能在知识的生成上获得发展.2.加强小组间的实质性合作,尽可能做到对学、群学相结合,实现兵教兵、兵练兵,使学生真正成为课堂的主人、知识的主人.3.小组展示中尽可能让学生小组成员都积极参与,培养他们的团体意识.练习(教材第88页)1.解:(1)是一次函数,k=-1,b=2.(2)不是一次函数.(3)是一次函数,k=0.03,b=8.(4)是一次函数,k=,b=0.(5)是一次函数,k=,b=-3.(6)不是一次函数.2.解:S=x,S是x的一次函数.习题(教材第89页)A组1.解:(1)是一次函数,k=-1,b=.(2)是一次函数,k=2,b=0.(3)不是一次函数.(4)是一次函数,k=0.5,b=.2.解:(1)解方程-2x+3=0,得x=,即当x=时,y=0.(2)当x=0时,y=-20+3=3,即当y=3时,x=0.3.解:(1)y=3x+2.(2)当x=7.8时,y=37.8+2=25.4.B组解:(1)y1=310.7x=21.7x.(2)y2=20x1+11
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