新编全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题26 函数与方程的思想、分类讨论的思想含解析

【走向高考】（全国通用）20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题26 函数与方程的思想、分类讨论的思想（含解析）一、选择题1(文)方程mx有解，则m的最大值为()A1B0C1 D2答案A解析mx，令t0，则x1t2，m1t2t(t)21，故选A(理)已知对于任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A1x3Bx3C1x2 Dx2答案B解析将f(x)x2(a4)x42a看作是a的一次函数，记为g(a)(x2)ax24x4.当a1,1时恒有g(a)0，只需满足条件即解之得x3.方法点拨1.函数与方程的关系函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0，通过方程进行研究2应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决2(文)(20xx哈三中二模)一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1处，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A(1)(2) B(1)(3)C(2)(4) D(3)(4)答案C解析爬行路线为时正视图为(2)；爬行路线是时，正视图为(4)，故选C方法点拨若几何图形的位置不确定时，常常要对各种不同情况加以讨论(理)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是()A(0，) B(1,2)C(，) D(0,2)答案A解析若构成三棱锥有两种情形一种情形是三条长为2的线段围成三角形作为棱锥的底面，过BC的中点M作与BC垂直的平面，在平面内，以A为圆心AP2为半径画圆，点P在此圆周上，且不在平面ABC内时，构成三棱锥PABC，此时PBPCa，易求得aa，0a2，取两者的并集得，0a0且a1，指数运算中对底数的限制，不等式两边同乘以一个正数(负数)，排列组合中的分类计数(4)由图形的不确定性引起的讨论，如图形的类型、位置，角的终边所在象限、点线面位置等，点斜式(斜截式)直线方程适用范围，直线与圆锥曲线的位置关系(5)由参数的变化引起的分类讨论：含参数的问题(方程、不等式、函数等)，由于参数的不同取值会导致结果不同或不同的参数求解、证明的方法不同等(6)由实际问题的实际意义引起的分类讨论3(文)圆锥曲线1的离心率e，则a的值为()A1 BC1或 D以上均不正确答案C解析因焦点在x轴上和y轴上的不同，离心率e关于a的表达式发生变化，故需分类当焦点在x轴上时，e2，解得a；当焦点在y轴上时，e2，解得a1.故选C(理)将1,2,3,4,5排成一列a1a2a3a4a5(如43215中，a14，a23，a32，a41，a55)，则满足a1a3，a3a5的排列个数是()A10 B12C14 D16答案D解析a3a2，a3a1，a2a3入手讨论)，(1)当a33时，a2，a4只能是4,5，共有AA种；(2)当a32时，a2，a4可以为3,4,5，a5a4，a11，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)答案B解析e2()21(1)2，因为当a1时，01，所以2e25，即e.5如图所示，在AOB中，点A(2,1)，B(3,0)，点E在射线OB上自O开始移动设OEx，过E作OB的垂线l，记AOB在直线l左边部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象是()答案D解析当0x2时，f(x)xxx2，是开口向上的抛物线，且f(2)1；当23时，f(x)是确定的常数，图象为直线二、填空题6如图，正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点设(，R)，则的取值范围是_答案3,4解析建立如图所示的直角坐标系，设正六边形边长为2，则C(2,0)，A(1，)，B(1，)，D(1，)，E(1，)，F(2,0)，设P(x，y)可得(x1，y)，(2,0)，(1，)，则xy2，当点P在如图阴影部分所示的平面区域内时，可作平行直线系xy2z，当直线过点E或C时，取得最小值，()最小值2023；当直线过点D时，取得最大值，()最大值124，则的取值范围是3,4方法点拨和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数关系的方法加以解决，引进空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切(5)(理)函数f(x)(abx)n(nN*)与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题及求和问题7(文)若关于x的方程cos2x2cosxm0有实数根，则实数m的取值范围是_分析将方程变形为mcos2x2cosx，则当方程有实数根时，cos2x2cosx的取值范围就是m的取值范围答案解析原方程可化为mcos2x2cosx.令f(x)cos2x2cosx，则f(x)2cos2x12cosx22，由于1cosx1，所以当cosx时，f(x)取得最大值，当cosx1时，f(x)取得最小值3，故函数f(x)的值域为，即m.方法点拨本题若令cosxt，则可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程将非常繁琐，而通过分离参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简单地求得参数m的取值范围(理)如果方程cos2xsinxa0在(0，上有解，则a的取值范围是_答案(1,1分析可分离变量为acos2xsinx，转化为确定的相关函数的值域解析解法1：把方程变为acos2xsinx.设f(x)cos2xsinx(x(0，)显然当且仅当af(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2x)sinx(sinx)2，且由x(0，知，sinx(0,1f(x)的值域为(1,1，a的取值范围是(1,1解法2：令tsinx，由x(0，可得t(0,1把原方程变为t2t1a0，依题意，该方程在(0,1上有解，设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x，在区间(0,1的左侧，如下图所示因此f(t)0在(0,1上有解，当且仅当，即，1.因为M是线段AB的中点，所以因为P(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以，所以，即2k.因为k，所以2k2，当且仅当k时等号成立，所以2，则a0.三、解答题9(文)设函数f(x)lnxp(x1)，pR.(1)当p1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)xf(x)p(2x2x1)对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围解析(1)当p1时，f(x)lnxx1，其定义域为(0，)所以f (x)1.由f (x)10得0x1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)(2)由函数g(x)xf(x)p(2x2x1)xlnxp(x21)，得g(x)lnx12px.由(1)知，当p1时，f(x)f(1)0，即不等式lnxx1成立当p时，g(x)lnx12px(x1)12px(12p)x0，即g(x)在1，)上单调递减，从而g(x)g(1)0满足题意；当p0，12px0，从而g(x)lnx12px0，即g(x)在(1，)上单调递增，从而存在x0(1，)使得g(x0)g(1)0不满足题意；当p0时，由x1知g(x)xlnxp(x21)0恒成立，此时不满足题意综上所述，实数p的取值范围为p.(理)已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a0，故f(x)在(0，)单调递增；当a1时，f (x)0，故f(x)在(0，)单调递减；当1a0；x时，f (x)0.故f(x)在单调递增，在单调递减(2)不妨假设x1x2.而a1，由(1)知f(x)在(0，)单调递减，从而x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于x1，x2(0，)，f(x2)4x2f(x1)4x1令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4.等价于g(x)在(0，)单调递减，即2ax40.从而a2.故a的取值范围为(，2方法点拨导数在近几年来已逐渐成为高考命题中的压轴题，导数作为研究函数性质的工具，具备广泛适用性，可以分析各种函数，而且容易与参数结合命题，尤其在问题转化、构造新函数解决问题等方面体现明显因此我们在平日训练时要注意分类讨论思想转化与归纳思想，函数与方程思想等方面的训练，加强对问题的分析，以及处理问题和解决问题的能力10(文)(20xx安徽文，16)设ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b3，c1，ABC的面积为，求cosA与a的值分析已知b、c和ABC的面积易求sinA，由平方关系可求cosA，但要注意开方时符号的选取及讨论，再结合余弦定理可求a的值解析由三角形面积公式，得S31sinA，sinA，因为sin2Acos2A1.所以cosA.当cosA时，由余弦定理得a2b2c22bccosA32122138，所以a2.当cosA时，由余弦定理得a2b2c22bccosA3212213()12，所以a2.(理)已知函数f(x)sinxcosxm(sinxcosx)(1)若m1，求函数f(x)的最值；(2)若函数f(x)在区间，上的最小值等于2，求实数m的值解析(1)当m1时，f(x)sinxcosx(sinxcosx)，设sinxcosxt，则sinxcosx，所以f(x)h(t)t2t(t1)21.由于tsinxcosxsin(x)，所以t.于是当t时函数f(x)取得最大值；当t1时函数f(x)取得最小值1.(2)设sinxcosxt，则sinxcosx，所以f(x)g(t)t2mt(tm)2m2，又因为x，tsinxcosxsin(x)，所以1t.当m时，g(t)在1，上单调递减，当t时，g(t)取得最小值，得m2，所以m，与m矛盾；当1m时，g(t)在tm处取得最小值，得m22，所以m25，无解综上，当函数f(x)在区间，上的最小值等于2时，实数m的值等于2.11(文)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a.(aR)，设数列的前n项和为Sn且，成等比数列(1)求数列an的通项公式及Sn；(2)记An，Bn，当n2时，试比较An与Bn的大小解析设等差数列an的公差为d，由()2，得(a1d)2a1(a13d)因为d0，所以da1a.所以anna，Sn.(2)因为()，所以An(1)因为a2n12n1a，所以Bn(1)，由n2时，2nCCCn1，即10时，AnBn；当aBn.(理)已知f(x)，数列an满足a1，an1f(an)(nN*)，(1)求证：数列是等差数列；(2)记Sn(x)(x0)，求Sn(x)分析(1)找出an与an1关系；(2)用错位相减法求和解析(1)由已知得an1，3.3.是首项为3，公差为3的等差数列(2)由(1)得33(n1)3n，Sn(x)3x6x29x33nxn.x1时，Sn(1)3693n；x1时，Sn(x)3x6x29x33nxn，xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，(1x)Sn(x)3x3x23xn3nxn1，Sn(x).综上，当x1时，Sn(1)n(n1)，当x1时，Sn(x).方法点拨一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论12(文)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)求函数f(x)的单调区间，需判断f (x)的正负，因为含参数a，故需分类讨论；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa.若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f (x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.方法点拨本题考查导数的应用及参数的取值范围的求法利用导数求参数的取值范围时，经常需将参数分离出来，转化为恒成立问题，最终转化为求函数的最值问题，求得参数的取值范围(理)设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解析f(x)3x22kx1.(1)当k1时f(x) 3x22x1，41280，f(x)在R上单调递增即f(x)的单调递增区间为(，)，f(x)没有单调递减区间(2)当k0时，f(x)3x22kx1，其开口向上，对称轴x ，且过(0,1)(i)当4k2124(k)(k)0，即k0，即k时，令f(x)3x22kx10解得：x1，x2，注意到kx2x1k，从而kx2x10，f(x)的最小值mf(k)k，f(x2)f(k)xkxx2(2k3k)(x2k)(x2k)2k210，f(x)的最大值Mf(k)2k3k.综上所述，当kb0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|2.(1)若椭圆E的离心率为，求椭圆E的方程；(2)设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|.解析(1)设c，由题意得a2b24，且，解得a，b1，c，所以椭圆E的方程为y21.(2)证明：由题意得a2b24，所以椭圆E的方程为1，则F1(c,0)，F2(c,0)，c.设P(x0，y0)，由题意知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P，所以直线F2P的方程为y(xc)，当x0时，y，即点Q(0，)，所以直线F1Q的斜率为kF1Q，因为以PQ为直径的圆经过点F1，所以PF1F1Q，所以kF1PkF1Q1，化简得yx(2a24)，又因为P为椭圆E上一点，且在第一象限内，所以1，x00，y00，联立，解得x0，y02a2，所以|OP|2xy(a22)22，因为a2b242，所以|OP|.(理)(20xx新课标理，20)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由立意与点拨考查直线的斜率、椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系(1)问中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解；(2)根据(1)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xP2xM以及直线l过点(，m)列方程求k的值解析(1)设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP.由得x，即xP .将点(，m)的坐标代入直线l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2.解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形