高中数学人教A版选修44教学案： 第一讲 第4节 第2课时 球坐标系 Word版含答案

第 2 课时球坐标系核心必知1球坐标系建立空间直角坐标系 O xyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角.这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，)，其中 r0，0，02在测量实践中， 球坐标中的角称为被测点 P(r，)的方位角， 90称为高低角2空间直角坐标与球坐标的转化空 间 点 P 的 直 角 坐 标 (x ， y ， z) 与 球 坐 标 (r ，) 之 间 的 变 换 关 系 为xrsincos，yrsinsin，zrcos.问题思考1在球坐标系中，方程 rr0(r0为正常数)表示什么图形？提示： 在空间的球坐标系中， 方程 rr0(r0为正常数)表示球心在原点， 半径为 r0的球面2在球坐标系中，方程0(002)表示什么图形？提示：在球坐标系中，方程0(00，y0)，从而知 M 点的球坐标为(2，4，4)由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标为(r，)，再利用变换公式xrsincos，yrsinsin，zrcos求出 r、代入点的球坐标即可；也可以利用 r2x2y2z2，tanyx，coszr.特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误2设点 M 的直角坐标为24，64，22 ，求它的球坐标解：由变换公式得r x2y2z2216616241，由 rcosz22得 cos22，34.又 tanyx 3(x0，y0)，得3.M 的球坐标为(1，34，3)在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建立坐标系有 A、B 两个城市，它们的球坐标分别为 A(R，4，6)，B(R，4，23)，飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程精讲详析本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离问题解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法如图所示，因为 A(R，4，6)，B(R，4，23)，可知AOO1O1OB4，O1AOO1BO4.又EOC6，EOD23，COD2362.AO1BCOD2.在 RtOO1B 中，O1BO4，OBR，O1BO1A22R.AO1B2，ABR.在AOB 中，ABOBOAR，AOB3.故飞机经过 A、B 两地的大圆，航线最短，其路程为3R.我们根据 A、B 两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过 A、B 两地的大圆飞行时，飞机最快，求所飞行的路程实际上是要求我们求出过 A、B 两地的球面距离3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A8，4，A、B8，34，B，求出这两个截面间的距离解：由已知，OAOB8，AOO14，BOO134，在AOO1中，OO14 2.在BOO2中，BOO24，OB8，OO24 2，则 O1O2OO1OO28 2.即两个截面间的距离 O1O2为 8 2.本课时考点在近几年的高考中未出现过 本考题以空间两点间的距离为载体考查了空间直角坐标与球坐标的转化考题印证在球坐标系中 A2，4，4 和 B(2，34，34)的距离为_命题立意本题考查空间球坐标与直角坐标的转化及空间两点间的距离公式解析A、B 两点化为直角坐标分别为：A(1，1， 2)、B(1，1， 2)|AB| 1（1）2（11）2 2（ 2）22 3.答案：2 3一、选择题1已知一个点的球坐标为2，34，4 ，则它的高低角为()A4B.34C.2D.3解析：选 A34，它的高低角为24.2已知一个点的球坐标为1，6，3 ，则它的方位角为()A.3B.6C.23D.56解析：选 A3，即它的方位角为3.3点 P 的球坐标为1，2，则它的直角坐标为()A(1，0，0)B(1，1，0)C(0，1，0)D(1，0，0)解析：选 Dxrsincos1sin2cos 1，yrsinsin1sin2sin 0，zrcos1cos20，它的直角坐标为(1，0，0)4在直角坐标系中，点 P 的坐标为1，33，2，则其球坐标为()A.4 33，3，6B.4 33，6，6C.2 33，3，3D.2 33，6，3解析：选 Br x2y2z212（33）2224 33coszr24 3332.6.tanyx33又 y0，x0，6.球坐标为(4 33，6，6)二、填空题5以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为 xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为 z 轴正向，本初子午线所在平面为 zOx 坐标面，如图所示，若某地在西经 60，南纬45，地球的半径为 R，则该地的球坐标可表示为_解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为(R，34，53)答案：(R，34，53)6已知点 M 的球坐标为4，4，34，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案：(2，2，2 2)(2 2，34，2 2)7设点 M 的直角坐标为(1，1， 2)，则它的球坐标为_解析：由坐标变换公式，得 r x2y2z2 1122，coszr22，4.tanyx111，又x0，y0，54.M 的球坐标为(2，4，54)答案：(2，4，54)8在球坐标系中，方程 r1 表示_，方程4表示空间的_解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状答案：球心在原点，半径为 1 的球面顶点在原点，轴截面顶角为2的圆锥面三、解答题9如图，请你说出点 M 的球坐标解：由球坐标的定义，记|OM|R，OM 与 z 轴正向所夹的角为，设 M 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为.这样点 M 的位置就可以用有序数组(R，)表示M 点的球坐标为：M(R，)10已知点 P 的球坐标为2，34，76，求它的直角坐标解：根据坐标变换公式xrsincos，yrsinsin，zrcos，得x2sin34cos76222（32）62，y2sin34sin76222（12）22，z2cos342（22） 2，点 P 的直角坐标为(62，22， 2)11如图建立球坐标系，正四面体 ABCD 的棱长为 1，求 A、B、C、D 的球坐标(其中 O 是BCD 的中心)解：O 是BCD 的中心，则 OCODOB33，AO63.C(33，2，0)，D(33，2，23)，B(33，2，43)，A(63，0，0)最新精品资料