新版全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题5 导数及其应用含解析

1 1【走向高考】（全国通用）20xx高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题5 导数及其应用一、选择题1(文)曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1By3x1Cy3x1Dy2x1答案A解析ky|x0(exxex2)|x03，切线方程为y3x1，故选A.(理)(20xx吉林市质检)若函数f(x)2sinx(x0，)在点P处的切线平行于函数g(x)2(1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率()A1B.C. D. 2答案C解析f(x)2cosx，x0，f(x)2,2，g(x)2，当且仅当x1时，等号成立，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1，2cosx12且2，x10，x10，y10，x21，y2，kPQ.方法点拨1.导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f (x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf (x0)2求曲线yf(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf (x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程3若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由kf (x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程4(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上2已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)ef(0)，f(20xx)e20xxf(0)Bf(1)e20xxf(0)Cf(1)ef(0)，f(20xx)e20xxf(0)Df(1)ef(0)，f(20xx)e20xxf(0)答案A解析设F(x)，则F(x)，f(x)0，即F(x)在xR上为增函数，F(1)F(0)，F(20xx)F(0)，即，f(1)ef(0)，f(20xx)e20xxf(0)方法点拨1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，如果f (x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增如果f (x)0，f (x)0或f (x)0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递减，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.方法点拨1.在研究函数的性质与图象，方程与不等式的解，不等式的证明等问题中，根据解题的需要可以构造新的函数g(x)，通过研究g(x)的性质(如单调性、极值等)来解决原问题是常用的方法如在讨论f (x)的符号时，若f (x)的一部分为h(x)，f (x)的符号由h(x)所决定，则可转化为研究h(x)的极(最)值来解决，证明f(x)g(x)时，可构造函数h(x)f(x)g(x)，转化为h(x)的最小值问题等等2应用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题，是多元问题中的常见题型，常见的解题思路有以下两种：(1)分离变量，构造函数，将不等式恒成立、方程求解等转化为求函数的最值(或值域)，然后求解(2)换元，将问题转化为一次不等式、二次不等式或二次方程，进而构造函数加以解决3有关二次方程根的分布问题一般通过两类方法解决：一是根与系数的关系与判别式，二是结合函数值的符号(或大小)、对称轴、判别式用数形结合法处理4和函数与方程思想密切关联的知识点函数yf(x)，当y0时转化为不等式f(x)0.数列是自变量为正整数的函数直线与二次曲线位置关系问题常转化为二次方程根的分布问题立体几何中有关计算问题，有时可借助面积、体积公式转化为方程或函数最值求解5注意方程(或不等式)有解与恒成立的区别6含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略：(1)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最小值g(x)在c，d上的最大值(2)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的最小值(3)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最小值g(x)在c，d上的最小值(4)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的最大值g(x)在c，d上的最大值(5)x1a，b，当x2c，d时，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域与g(x)在c，d上的值域交集非空(6)x1a，b，x2c，d，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域(7)x2c，d，x1a，b，f(x1)g(x2)f(x)在a，b上的值域g(x)在c，d上的值域4(文)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()答案B解析本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系由导数的几何意义可得，yf(x)在1,0上每一点处的切线斜率逐渐变大，而在0,1上则逐渐变小，故选B.(理)(20xx石家庄市质检)定义在区间0,1上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0)、B(1，f(1)、C(x，f(x)为顶点的ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S(x)的大致图象为()答案D解析A、B为定点，|AB|为定值，ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大减小0增大减小，ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形；然后ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.方法点拨1.由导函数的图象研究函数的图象与性质，应注意导函数图象位于x轴上方的部分对应f(x)的增区间，下方部分对应f(x)的减区间，与x轴的交点对应函数可能的极值点，导函数的单调性决定函数f(x)增长的速度；2由函数的图象确定导函数的图象时，应注意观察函数的单调区间、极值点，它们依次对应f(x)的正负值区间和零点，图象上开或下降的快慢决定导函数的单调性5已知常数a、b、c都是实数，f(x)ax3bx2cx34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是()A B.C2D5答案C解析依题意得f(x)3ax22bxc0的解集是2，3，于是有3a0，23，23，b，c18a，函数f(x)在x3处取得极小值，于是有f(3)27a9b3c34115，a81，a2，故选C.二、解答题6(文)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0，所以g(x)0在(0，)上没有实根综上，g(x)在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点(理)已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2cex.分析(1)由导数的几何意义可求出a的值，再根据极值的定义求解；(2)构造函数g(x)exx2证明其在(0，)上的最小值大于0；(3)根据(2)的结论可知c1时结论成立，当c1，转化为证明x2lnxlnk成立构造函数h(x)x2lnxlnk求解解析(1)由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln2.当xln2时，f(x)ln2时，f(x)0，f(x)单调递增；所以当xln2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)无极大值(2)令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得，g(x)f(x)f(ln2)2ln40，即g(x)0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)10，所以当x0时，g(x)g(0)0，即x20时x20时，x2ce2，取x00当x(x0，)时恒有x2cex若0c1，要使不等式x2kx2成立，而要使exkx2成立，则只要xln(kx2)，只要x2lnxlnk成立，令h(x)x2lnxlnk，则h(x)1，所以当x2时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增取x016k16，所以h(x)在(x0，)内单调递增又h(x0)16k2ln(16k)lnk8(kln2)3(klnk)5k易知klnk，kln2,5k0，所以h(x0)0.即存在x0，当x(x0，)时，恒有x2cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x20.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解解析本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1lnxa)，所以g(x)2.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减，当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)由f(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx，令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx，则(1)10，(e)2(2e)0，于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)，由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0,1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0,1时，f(x)(xa0)22xlnx0，故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解(理)(20xx江苏，19)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR) (1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值解析考查利用导数求函数单调性、极值、函数零点(1)先求函数导数，通过讨论导函数零点求解；(2)通过构造函数，利用导数与函数关系求解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x(，0)时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fba3b0时，a3ac0，或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3)1，.综上c1.方法点拨用导数研究函数综合题的一般步骤：第一步，将所给问题转化为研究函数性质的问题若已给出函数，直接进入下一步第二步，确定函数的定义域第三步，求导数f (x)，解方程f (x)0，确定f(x)的极值点xx0.第四步，判断f(x)在给定区间上的单调性和极值，若在xx0左侧f (x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在xx0两侧f (x)不变号，则xx0不是f(x)的极值点第五步，求f(x)的最值，比较各极值点与区间端点f(a)，f(b)的大小，最大的一个为最大值、最小的一个为最小值第六步，得出问题的结论8济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距36km的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值解析(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y(0x36)(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，当x(0，)时，函数单调递减；当x(，)时，函数单调递增当x时，函数取得最小值，又此时x6，解得b25，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度b的值为25.方法点拨1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”转化为数学语言，抽象为数学问题，选择合适的求解方法而最值问题的应用题，写出目标函数利用导数求最值是首选的方法，若在函数的定义域内函数只有一个极值点，该极值点即为函数的最值点2利用导数解决优化问题的步骤审题，设未知数；结合题意列出函数关系式；确定函数的定义域；在定义域内求极值、最值；下结论9(20xx重庆理，20)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解析第一问主要考查了导数的几何意义，导数的求导公式以及极值问题，属于简单题型第二问属于主要考查了导数的求导公式以及单调性的应用，是高考常考题型，属于简单题型(1)对f(x)求导得f(x)， 因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1).从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，右侧f (x)0，则f(x0)为极大值，反之f(x0)为极小值，若在xx0两侧f(x)的值不变号，则xx0不是f(x)的极值点；(4)求最值，比较各极值点与区间a，b的端点值f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2已知f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况，则转化为方程f (x)0的根的大小或存在情况10(文)已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值解析(1)由f(0)1，f(1)0得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f (x)ax2(a1)xaex依题意须对于任意x(0,1)，有f (x)0时，因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上，而f (0)a0，所以须f (1)(a1)e0，即0a1；当a1时，对任意x(0,1)有f (x)(x21)ex0，f(x)符合条件；当a0时，对于任意x(0,1)，f (x)xex0，f(x)符合条件；当a0，f(x)不符合条件故a的取值范围0a1.(2)因为g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，()当a0时，g(x)ex0，g(x)在x0处取得最小值g(0)1，在x1处取得最大值g(1)e.()当a1时，对于任意x(0,1)有g(x)2xex0，g(x)在x0处取得最大值g(0)2，在x1处取得最小值g(1)0.()当0a0.若1，即0a时，g(x)在0,1上单调递增，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a，在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1，即a1时，g(x)在x处取得最大值g()2ae，在x0或x1处取得最小值，而g(0)1a, g(1)(1a)e，则当a时，g(x)在x0处取得最小值g(0)1a；当a0)，n为正整数，a、b为常数函数yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的最大值；(3)证明：f(x)0，故f(x)单调递增；而在(，)上，f (x)0)，则(t)(t0)在(0,1)上，(t)0，(t)单调递增故(t)在(0，)上的最小值为(1)0.所以(t)0(t1)，即lnt1(t1)令t1，得ln，即ln()n1lne，所以()n1e，即.由(2)知，f(x)，故所证不等式成立点评本题主要考查了导数的几何意义，通过导数求函数的最大值，判断函数的单调性，在判断单调性和求函数的最大值时一定要注意函数的定义域.