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1 1第四节数列求和考纲传真1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法 (对应学生用书第74页) 基础知识填充1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形：；.4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1BCDBan，S5a1a2a51.3(20xx开封模拟)已知等比数列an中，a2a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前9项和S9等于() 【导学号：00090174】A9B18C36D72Ba2a84a5，即a4a5，a54，a5b4b62b54，b52，S99b518，故选B4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.2n12n2Sn2n12n2.5321422523(n2)2n_.4设S345(n2)，则S345(n2).两式相减得S3.S334.(对应学生用书第74页)分组转化求和(20xx北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，)2分设等差数列an的公差为D因为a1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，).5分(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1.7分从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.12分规律方法分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练1(20xx浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解(1)由题意得则2分又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*.5分(2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.8分设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，所以Tn12分裂项相消法求和(20xx郑州模拟)若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)记cn，求cn的前n项和Sn.解(1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14.2分Ann23n，Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，当n1时，b1B18，当n2时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18适合上式，bn6n2.5分(2)由(1)知cn，7分Sn.12分规律方法1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项变式训练2(20xx全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和. 【导学号：00090175】解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，2分两式相减得(2n1)an2，所以an(n2).4分又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an.6分(2)记的前n项和为Sn.由(1)知，9分则Sn.12分错位相减法求和(20xx山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式； (2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.2分设数列bn的公差为D由即解得所以bn3n1.5分(2)由(1)知cn3(n1)2n1.7分又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，9分两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.12分规律方法1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练3(20xx天津高考)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12.而b12，所以q2q60，解得q3或q2.又因为q0，所以q2.所以bn2n.3分由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.6分所以，数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn.由a2n6n2，得Tn4210221623(6n2)2n，2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1.8分上述两式相减，得Tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216，10分所以Tn(3n4)2n216.所以，数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216.12分
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