高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3讲基本不等式知能训练轻松闯关理北师大版81

高考数学精品复习资料2019.5第第 3 3 讲讲 基本不等式基本不等式1已知f(x)x1x2(x0)，则f(x)有()A最大值为 0B最小值为 0C最大值为4D最小值为4解析：选 C.因为x0，所以“a2b22ab”是“abba2”的必要不充分条件3已知a0，b0，a，b的等比中项是 1，且mb1a，na1b，则mn的最小值是()A3B4C5D6解析：选 B.由题意知ab1，所以mb1a2b，na1b2a，所以mn2(ab)4ab4.4(20 xx安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且1xyM恒成立，则M的最大值为()A1B2C3D4解析：选 A.因为正实数x，y满足xy2，所以xy（xy）242241，所以1xy1；又1xyM恒成立，所以M1，即M的最大值为 1.5(20 xx河北省五校联盟质量监测)设x，y满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则3a2b的最小值为()A.256B.83C.113D4解析：选 D.不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示由zaxby得yabxzb，当z变化时，它表示经过可行域的一族平行直线，其斜率为ab，在y轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以 4a6b12 即 2a3b6，所以3a2b2a3b63a2b16664ab9ba4，当且仅当a32，b1 时等号成立6(20 xx江西省五校联考)设a0，b1，若ab2，则2a1b1的最小值为()A32 2B6C4 2D2 2解析：选 A.由题意可知ab2，ab11，所以2a1b12a1b1 (ab1)22（b1）aab1132 2，当且仅当2（b1）aab1，即a2 2，b 2时取等号7已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab2ab2，当且仅当ab1 时取到等号；abab2214，当且仅当ab12时取到等号答案：2148(20 xx江西省八所中学联考)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(2，0)的距离相等，则 2x4y的最小值为_解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x2y3，所以 2x4y2 2x4y2 2x2y4 2，当且仅当x2y32时，等号成立，故 2x4y的最小值为 4 2.答案：4 29 某公司购买一批机器投入生产， 据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN N*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx18x25x，而x0，故yx182 258，当且仅当x5 时，年平均利润最大，最大值为 8 万元答案：5810(20 xx厦门模拟)若当x3 时，不等式ax2x3恒成立，则a的取值范围是_解析：设f(x)x2x3(x3)2x33，因为x3，所以x30，故f(x)2（x3）2x332 23，当且仅当x 23 时等号成立，所以a的取值范围是(，2 23答案：(，2 2311设a，b均为正实数，求证：1a21b2ab2 2.证明：由于a、b均为正实数，所以1a21b221a21b22ab，当且仅当1a21b2，即ab时等号成立，又因为2abab22abab2 2，当且仅当2abab时等号成立，所以1a21b2ab2abab2 2，当且仅当1a21b2，2abab，即ab42时取等号12(20 xx郑州质检)若正数x，y满足x2y44xy，且不等式(x2y)a22a2xy340 恒成立，求实数a的取值范围解：因为正实数x，y满足x2y44xy，即x2y4xy4，由不等式(x2y)a22a2xy340 恒成立，即(4xy4)a22a2xy340 恒成立，变形得 2xy(2a21)4a22a34 恒成立，即xy2a2a172a21恒成立又因为x0，y0，所以x2y2 2xy，所以 4xyx2y442 2xy，即 2(xy)2 2xy20，所以xy 2或xy22(舍去)，可得xy2.要使xy2a2a172a21恒成立，只需 22a2a172a21恒成立化简得 2a2a150，解得a3 或a52.故a的取值范围是(，352，.1(20 xx西安第一中学模拟)设x，yR R，a1，b1，若axby3，ab2 3，则1x1y的最大值为()A2B.32C1D.12解析：选 C.由axby3，得xloga3，ylogb3，则1x1y1loga31logb3lgalgblg 3lgablg 3.又a1，b1， 所以abab223， 所以 lgablg 3，从而1x1ylg 3lg 31，当且仅当ab 3时等号成立2(20 xx抚州一模)已知正数a，b，c满足abab，abcabc，则c的取值范围是_解析：因为正数a，b满足abab，所以ab2ab(ab)22ab0ab2ab4.由abab，abcabc，得cabab1ab11ab111ab1.因为ab4，所以ab13，所以 01ab113，所以 10，y0，且 2x5y20.求：(1)ulgxlgy的最大值；(2)1x1y的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.因为 2x5y20，所以 2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y时，等号成立因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时xy有最大值 10.所以ulgxlgylg(xy)lg 101.所以当x5，y2 时，ulgxlgy有最大值 1.(2)因为x0，y0，所以1x1y1x1y2x5y2012075yx2xy120725yx2xy72 1020.当且仅当5yx2xy时，等号成立由2x5y20，5yx2xy，解得x10 10203，y204 103.所以1x1y的最小值为72 1020.4 如图， 某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树， 已知角A为120，AB，AC的长度均大于 200 米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高 1 米，AQ段围墙高 1. 5 米，造价均为每平方米 100 元若围围墙用了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积S12xysin 12034xy.所以S34xy222 500 3.当且仅当xy，xy200，即xy100 时取“”(2)由题意得 100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短， 所以PQ2x2y22xycos 120 x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75y80072120 00070y4003，当y8007时，PQ有最小值200 217，此时x2007.