新编高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第1讲坐标系知能训练轻松闯关理北师大版选修4

第第 1 1 讲讲 坐标系坐标系1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x12x，y13y后，曲线C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236 上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则x2x，y3y，所以 4x29y236，即x29y241.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆x29y241，其焦点坐标为( 5，0)2 (20 xx高考江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22 2sin(4)40， 求圆C的半径解： 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O， 以极轴为x轴的正半轴， 建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为22 222sin22cos40，化简，得22sin2cos40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为 6.3(20 xx扬州质检)求经过极点O(0，0)，A6，2 ，B6 2，94三点的圆的极坐标方程解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为 3 2，圆的直角坐标方程为(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，将xcos，ysin代入上述方程，得26(cossin)0，即6 2cos4 .4圆O1和圆O2的极坐标方程分别为4cos，4sin.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解：(1)xcos，ysin，由4cos得24cos，所以x2y24x，即x2y24x0 为O1的直角坐标方程同理，x2y24y0 为O2的直角坐标方程(2)由x2y24x0，x2y24y0，解得x10，y10或x22，y22.即O1，O2交于点(0，0)和(2，2)，过交点的直线的直角坐标方程为yx.5(20 xx高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆4sin和直线sina相交于A，B两点若AOB是等边三角形，求a的值解：由4sin，可得x2y24y，即x2(y2)24.由sina，可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24 的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示由对称性知OOB30，ODa.在 RtDOB中，易求DB33a，所以B点的坐标为33a，a.又因为B在x2y24y0 上，所以33a2a24a0，即43a24a0，解得a0(舍去)或a3.6(20 xx长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos3 1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos3 1，得12cos32sin1，从而曲线C的直角坐标方程为12x32y1，即x 3y2.0 时，2，所以M(2，0)2时，2 33，所以N2 33，2 .(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为0，2 33.所以点P的直角坐标为1，33 ，则点P的极坐标为2 33，6 ，所以直线OP的极坐标方程为6，(，)1(20 xx唐山统一考试)已知圆C：x2y24，直线l：xy2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程解：(1)将xcos，ysin代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：2，l：(cossin)2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(1，)，(，)，(2，)，则由|OQ|OP|OR|2，得122.又22，12cossin，所以2cossin4，故点Q轨迹的极坐标方程为2(cossin)(0)2(20 xx南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为2，3 .(1)求出以C为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程；(2)以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5， 3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程解：(1)设圆C上任意一点A(，)，则AOC3或3，由余弦定理得 424cos3 4，所以圆C的极坐标方程为4cos3 .(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1， 3)，设圆C上任意一点P.法一：P(12cos， 32sin)，又令M(x，y)，由Q(5， 3)，M是线段PQ的中点，所以M的参数方程为x62cos2，y2sin2x3cos，ysin(为参数)，所以点M的轨迹的普通方程为(x3)2y21.法二：点C的坐标为(1， 3)，圆的半径为 2，则圆的方程为(x1)2(y 3)24，设M(x，y)，P(x0，y0)，所以x02x5，y02y 3，P(x0，y0)在圆(x1)2(y 3)24 上，将式代入得(x3)2y21.3(20 xx东北三校模拟)已知点P的直角坐标是(x，y)以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系设点P的极坐标是(，)，点Q的极坐标是(，0)，其中0是常数设点Q的直角坐标是(m，n)(1)用x，y，0表示m，n；(2)若m，n满足mn1，且04，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程解：(1)由题意知xcos，ysin，且mcos（0），nsin（0），所以mcoscos0sinsin0，nsincos0cossin0，所以mxcos0ysin0，nxsin0ycos0.(2)由(1)可知m22x22y，n22x22y，又mn1，所以22x22y22x22y1.整理得x22y221.所以x22y221 即为所求方程4(20 xx哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x2cos，ysin(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3与曲线C2交于点D2，3 .(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B2，02 ，若A、B都在曲线C1上，求121122的值解：(1)因为C1的参数方程为x2cos，ysin，所以C1的普通方程为x24y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos(a为半径)，将D2，3 代入，得 22a12，所以a2，所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为 2，所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2cos242sin21，即244sin2cos2.所以2144sin20cos20，2244sin202 cos2024sin204cos20.所以1211224sin20cos2044cos20sin20454.