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1 1高三数学33个黄金考点总动员【考点剖析】1. 最新考试说明：（1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点（2）考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用（3）考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2. 命题方向预测：（1）考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.（2）公式逆用、变形应用是高考热点（3）题型以选择题、解答题为主.3. 课本结论总结：（1）同角三角函数的基本关系平方关系：sin2cos21；商数关系：tan .（2）诱导公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)，其中kZ.公式二：sin()，cos()， tan()tan .公式三：sin()，cos().公式四：sin()sin ，cos().公式五：，sin .公式六：，诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()：cos()；C()：cos()；S()：sin()；S()：sin()；T()：tan()；T()：tan().(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin 2；C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；T2：tan 2.4.名师二级结论：（1）有关公式的逆用、变形等tan tan ；cos2，sin2；1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，.（2）函数(a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定（3）三种方法在求值与化简时，常用方法有：弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.（4）三个防范利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化5.课本经典习题：(1)新课标A版第64 页，第 A8 题（例题）已知，计算：（1）；（2）；（3）【解析】，；(2) ;(3)【经典理由】弦化切的典型例题.(2) 新课标A版第 130 页，第 例4（3）题（例题）求值：【解析】【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.(3) 新课标A版第 137页，第A5题（例题）已知,求的值.【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围；2.注意用已知角表示所求角.6.考点交汇展示：(1)与三角函数的图像与性质的交汇【20xx高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(I); (II) ,.【考点定位】三角恒等变形、三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大值与最小值，体现数学思想与方法的应用. (2)与函数的奇偶性、单调性的交汇若,且则下列结论正确的是( ) （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：考察函数，首先它是偶函数，其次在时，与都是增函数，且均不小于0，因此可证在上也是增函数.由得，即，选D.考点：函数的单调性与奇偶性.(3)与一元二次方程的交汇已知锐角满足,则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】D考点：1.三角函数的恒等变换.2.二次函数的根的分布.3.构造二次函数模型解决最值问题.(4) 与平面向量的交汇【20xx高考广东，理16】在平面直角坐标系中，已知向量，（1）若，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1） ，且， ，又， ， 即， ；【考点定位】向量数量积的坐标运算，两角和差公式的逆用，知角求值，知值求角【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式的逆用，知角求值和知值求角等问题以及运算求解能力，属于中档题，解答本题关键在于由向量的垂直及其坐标运算得到运用两角和差公式的逆用合并为【考点分类】热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1. 【20xx高考新课标1，理2】 =( ) （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】原式= =，故选D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20与160之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2. 【20xx高考重庆，理9】若，则（）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C【解析】由已知，选C.【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用3. 【20xx江苏高考，8】已知，则的值为_.【答案】3【解析】【考点定位】两角差正切公式【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角4.【20xx全国1高考理第8题】设且则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C又因为，即.【方法规律】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan tan tan()(1tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.【解题技巧】在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时，要注意以下三个变换技巧：（） 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”，如：,等例：设为锐角，若，则 .【答案】.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其方法通常为“化切为弦”等，例：新课标A版第146 页，第 A5(2) 题（例题）计算.【解析】变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”（同上例中）【易错点睛】在化简与求值时，一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系，往往起到“事半功陪”的效果.例已知，则（ ） A-2 B-1 C D【答案】A【解析】可得，则，热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值1.已知，则（ ）A. B. C. D.【答案】C，所以选C.2.设，则的值是_.【答案】【解析】，又，所以，故填.3.已知函数.（I）若是第一象限角，且.求的值；（II）求使成立的x的取值集合.【方法规律】一、利用诱导公式化简求值时的原则1“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数2“大化小”，利用公式一将大于360的角的三角函数化为0到360的三角函数，利用公式二将大于180的角的三角函数化为0到180的三角函数3“小化锐”，利用公式六将大于90的角化为0到90的角的三角函数4“锐求值”，得到0到90的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地，对于余弦：cos 2cos2sin2 2cos2112sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现【解题技巧】(1)拆角、拼角技巧：2()()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等【易错点睛】(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”【第二次大联考数学新课标全国卷】已知是锐角，且，则的值为_.【答案】【解析】.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等【高三原创预测卷数学试卷2（安徽版）】设，则（ ） A B C D【答案】D【解析】由已知及倍角公式得(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等例新课标A版第138 页，第 A19(3)题（例题）化简：【解析】 【热点预测】1.【河南省安阳一中高三第一次月考6】函数的值域是 （ ）A4，0 B C D【答案】D考点：三角函数的值域2.【河北省唐山市20xx高三年级摸底考试5】已知，则sin2x的值为 A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：.选A【考点】三角函数恒等变换，二倍角公式3.已知，则( )A B CD【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：1.二倍角的余弦公式；2.诱导公式.4.已知，则( )A B CD【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：1.二倍角的余弦公式；2.诱导公式.5.若，且，则的值为（ ） A. B. C. D.【答案】D考点：1.两角差的正弦；2.二倍角；3.同角三角函数的基本关系6. 已知为钝角，sin（+）=，则sin（）= .【答案】【解析】试题分析：有题意可得cos（+）=,由因为为钝角，所以cos（+）=，所以sin（）=cos-（-）=cos（+）=.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式.7.已知 ,则 .【答案】.【解析】试题分析：对式子两边平方得，.考点：同角三角函数的基本关系（平方关系），二倍角的正弦公式.8.已知A是角终边上一点，且点的坐标为，则 【答案】考点：三角函数的定义与求三角函数值9.若，则_【答案】.【解析】试题分析：将两式平方相加得：.10.已知，则的值为 【答案】【解析】试题分析：因为，所以.考点：两角和与差正切11.【湖北省武汉市高三9月调研测试18】（本小题满分12分）已知函数（1）若，且，求的值；（2）当取得最小值时，求自变量的集合【答案】（1）；（2）.试题解析：（1），且，2分，4分；6分（2） 7分 ，8分当，即，时，取得最小值，10分此时自变量的集合为. 12分 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.12.【江苏省苏州市高三9月调研测试15】如图在平面直角坐标系中点均在单位圆上已知点在第一象限的横坐标是点在第二象限点 （1）设求的值； （2）若为正三角形求点的坐标【答案】（2）因为点在单位圆上根据三角函数定义有因此点的坐标为考点：三角函数定义，二倍角公式13.（本小题满分14分）已知均为锐角，且，（1）求的值； （2）求的值【答案】（1）（2）【考点定位】此题考查的是三角函数的化简和运算，正确的角的变换是解本题的关键和基础，也是三角变换中的技巧所在.14.如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记（）若，求；（）分别过作轴的垂线，垂足依次为记 的面积为，的面积为若，求角的值 【答案】（）（）
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