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第1讲三角函数的图象与性质考情解读(1)以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性(2)考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点1三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)同角关系：sin2cos21，tan .(3)诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”2三角函数的图象及常用性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(k，k)(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(，0)(kZ)3.三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(A0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0).热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_(2)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(4,3)，则的值为_思维启迪(1)准确把握三角函数的定义(2)利用三角函数定义和诱导公式答案(1)(，)(2)解析(1)设Q点的坐标为(x，y)，则xcos，ysin.所以Q点的坐标为(，)(2)原式tan .根据三角函数的定义，得tan ，所以原式.思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等(1)如图，以Ox为始边作角(00，cos 0，0，|)的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为_(2)若函数ycos 2xsin 2xa在0，上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为_思维启迪(1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x”即可(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数答案(1)ysin(2x)(2)(2，1解析(1)由图知，A1，故T，所以2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，得sin()1，又|，故.则f(x)sin(2x)向右平移后，得到ysin2(x)sin(2x)(2)由题意可知y2sin(2x)a，该函数在0，上有两个不同的零点，即ya，y2sin(2x)在0，上有两个不同的交点结合函数的图象可知1a2，所以20，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向(1)如图，函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为_(2)若将函数ytan(x)(0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ytan(x)的图象重合，则的最小正值为_答案(1)(2)解析(1)由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M(，)，由两点间距离公式得，PM 2，解得a8，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，从而f(0)Asin()8，得A.(2)ytan(x)的图象向右平移，得到ytan(x)的图象，与ytan(x)重合，得k，故6k，kZ，所以的最小正值为.热点三三角函数的性质例3设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x0，时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的对称轴方程思维启迪先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a，则f(x)的最小正周期T，且当2k2x2k(kZ)时f(x)单调递增，即kxk(kZ)所以k，k(kZ)为f(x)的单调递增区间(2)当x0，时2x，当2x，即x时，sin(2x)1.所以f(x)max1a2a1.由2xk，得x(kZ)，故yf(x)的对称轴方程为x，kZ.思维升华函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题已知函数f(x)2sin xcos x2sin2x(0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数yg(x)的图象；若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值解(1)由题意得f(x)2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin(2x)，由周期为，得1，得f(x)2sin(2x)，函数的单调增区间为2k2x2k，kZ，整理得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调增区间是k，k，kZ.(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y2sin 2x1的图象，所以g(x)2sin 2x1，令g(x)0，得xk或xk(kZ)，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4.1求函数yAsin(x)(或yAcos(x)，或yAtan(x)的单调区间(1)将化为正(2)将x看成一个整体，由三角函数的单调性求解2已知函数yAsin(x)B(A0，0)的图象求解析式(1)A，B.(2)由函数的周期T求，.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求.3函数yAsin(x)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点4求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，进而结合三角函数的性质求解(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解5特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.真题感悟1(20xx辽宁改编)将函数y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的单调增区间为_答案k，k，kZ解析y3sin(2x)的图象向右平移个单位长度得到y3sin2(x)3sin(2x)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，则y3sin(2x)的单调增区间为k，k，kZ.2(20xx北京)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性，T.ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.押题精练1已知函数f(x)sin xcos x，g(x)sin xcos x，有下列四个命题：将f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)的图象；yf(x)g(x)是偶函数；f(x)与g(x)均在区间上单调递增；y的最小正周期为2.其中真命题的个数是_答案3解析f(x)sin(x)，g(x)sin xcos xsin(x)，显然正确；函数yf(x)g(x)sin2xcos2xcos 2x，其为偶函数，故正确；由0x及x0都可得x，所以由图象可判断函数f(x)sin(x)和函数g(x)sin(x)在，上都为增函数，故正确；函数ytan(x)，由周期性定义可判断其周期为，故不正确2已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间0，上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到ysin(4x)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin(2x)的图象所以g(x)sin(2x)令2xt，因为0x，所以t.g(x)k0在区间0，上有且只有一个实数解，即函数g(t)sin t与yk在区间，上有且只有一个交点如图，由正弦函数的图象可知k或k1.所以0且|)在区间，上单调递减，且函数值从1减小到1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为_答案解析依题意知，所以T，所以2，将点(，1)代入ysin(2x)得sin()1，又|0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且0，则A_.答案解析由题中图象知，所以T，所以2.则M，N由0，得A2，所以A，所以A.5已知函数f(x)sin(2x)，其中|，若f(x)|f()|对xR恒成立，且f()f()；f(x)是奇函数；f(x)的单调递增区间是k，k(kZ)答案解析由f(x)|f()|恒成立知x是函数的对称轴，即2k，kZ，所以k，kZ，又f()f()，所以sin()sin(2)，即sin 0，得，即f(x)sin(2x)，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数的单调递增区间是k，k(kZ)6已知A，B，C，D，E是函数ysin(x)(0,00,0)一个周期内的图象上的五个点，A(，0)，由题意得T4()，所以2，因为A(，0)，所以f()sin()0,00，0，|0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么当x0，时，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，310给出命题：函数y2sin(x)cos(x)(xR)的最小值等于1；函数ysin xcos x是最小正周期为2的奇函数；函数ysin(x)在区间0，上单调递增的；若sin 20，cos sin 0，则一定为第二象限角则真命题的序号是_答案解析对于，函数y2sin(x)cos(x)sin(x)，所以其最小值为1；对于，函数ysin xcos xsin 2x是奇函数，但其最小正周期为1；对于，函数ysin(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减；对于，由cos 0，所以一定为第二象限角二、解答题11已知函数f(x)Asin(3x)(A0，x(，)，0)在x时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若f()，求sin .解(1)f(x)的最小正周期T.(2)由函数的最大值为4，可得A4.所以f(x)4sin(3x)当x时，4sin(3)4，所以sin()1，所以2k，kZ，因为0，所以.所以f(x)的解析式是f(x)4sin(3x)(3)因为f()，故sin(2).所以cos 2，即12sin2，故sin2.所以sin .12设函数f(x)sin2x2sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且(，1)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点(，0)，求函数f(x)在x0，上的值域解(1)因为f(x)sin2x2sin xcos xcos2xcos 2xsin 2x2sin(2x)，由直线x是yf(x)图象的一条对称轴，可得sin(2)1，所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以k1，故.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的图象过点(，0)，得f()0，即2sin()2sin，即.故f(x)2sin(x)，x0，x，函数f(x)的值域为1，2
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