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一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa Dnnaaa22112121nnaaannaaa2112TD 行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet 1112121222T12,nnnnnnbbbbbbDbbb , 2 , 1,njiabijij 即即按定义按定义1212T121211.nnttppnpppp nDb bbaaa 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 .12121 nppptnaaaD故故T.DD证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,于是于是 njinpjpipptbbbbD1111 njinpjpipptaaaa111 ,111nijnpjpipptaaaa ,1为为自自然然排排列列其其中中nji.1的逆序数的逆序数为排列为排列njippppt,11tppppnji的的逆逆序序数数为为设设排排列列则有则有即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,111tt 故故 .11111DaaaaDnijnpjpippt 证毕证毕,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 21216454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2D(2, )jn1jcc abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质思考题思考题阶行列式阶行列式计算计算411111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已知已知思考题解答思考题解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0
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