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1 1课时作业52椭圆一、选择题1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6C4 D12解析：由椭圆的定义知：|BA|BF|CA|CF|2a(F是椭圆的另外一个焦点)，周长为4a4.答案：C2椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，若，即，解得k21.答案：C3(20xx湖北八校联考)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B.C. D.解析：由题意知a3，b，c2.设线段PF1的中点为M，则有OMPF2，OMF1F2，PF2F1F2，|PF2|.又|PF1|PF2|2a6，|PF1|2a|PF2|，故选B.答案：B4(20xx新课标全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：解法1：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，解得b23c2，又b2a2c2，所以，即e2，所以e(e舍去)，故选B.解法2：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c,0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得2b，所以2b，所以e，故选B.答案：B5已知椭圆y21的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得0的点M的概率为()A. B.C. D.解析：设P(x，y)，(cx，y)，(cx，y)，(cx，y)(cx，y)x2y2c2x2320，x.使得b0)的左焦点F(c,0)关于直线bxcy0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：设左焦点F(c,0)关于直线bxcy0的对称点为P(m，n)，则所以m(12e2)c，n2be2.因为点P(m，n)在椭圆上，所以1，即(12e2)2e24e41，即4e6e210，将各选项代入知e符合，故选D.答案：D二、填空题7直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为_解析：直线x2y20与x轴的交点为(2,0)，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b1.故a2b2c25，椭圆方程为y21.答案：y218设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且CBA，若AB4，BC，则椭圆的两个焦点之间的距离为_解析：如图，设椭圆的标准方程为1，由题意知，2a4，a2，CBA，BC，点C的坐标为C(1,1)又点C在椭圆上，1，b2，c2a2b24，c，则椭圆的两个焦点之间的距离为.答案：9(20xx安徽江南十校联考)椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_解析：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|，在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入椭圆方程得：1，故a25b25(a2c2)，则，所以离心率e.答案：三、解答题10如图，已知椭圆1(ab0)的右焦点为F2(1,0)，点H在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2y2b2上，且M在第一象限，过M作圆x2y2b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：PF2Q的周长是定值解：(1)设椭圆的左焦点为F1，根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(1,0)，F2(1,0)，c1，H在椭圆上，2a|HF1|HF2|6，a3，b2，故椭圆的方程是1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1，|PF2|，0x11)()求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；()若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围解：()设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP|x1x2|.()假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由()知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此(1)(1)1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围为01)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e2n，又(e1e2)211，所以e1e21.故选A.答案：A3(20xx石家庄质检)已知两定点A(2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为_解析：设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则有解得x13，y11，易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|，因此椭圆C的离心率e的最大值为.答案：4已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以24(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.
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