新编高考数学二轮复习 专题五解析几何：第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文

新编高考数学复习资料第第 3 3 讲讲圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题一、选择题1已知F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是()A2B1C2D4解析：设P(x，y)，依题意得点F1( 3，0)，F2( 3，0)，PF1PF2( 3x)( 3x)y2x2y2334x22，因为2x2，所以234x221，因此PF1PF2的最大值是1.答案：B2(2017沈阳二模)若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2B.12C.14D.18解析：根据题意，点P在抛物线y2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|d，抛物线的方程为y2x2，即x212y，其准线方程为y18，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值18，即|PF|min18.答案：D3(2017北京西城区调研)过抛物线y24 3x的焦点的直线l与双曲线C：x22y21的两个交点分别为(x1，y1)， (x2，y2)， 若x1x20， 则k的取值范围是()(导学号 55410132)A.12，12B.，12 12，C.22，22D.，22 22，解析：易知双曲线两渐近线y22x，当k22或k22时，l与双曲线的右支有两个交点，满足x1x20.答案：D4 (2017全国卷改编)椭圆C：x23y2m1 的焦点在x轴上， 点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足AMB120，则实数m的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0， 3)D(0，1解析： 依题意， 当 0m3 时， 焦距在x轴上， 要在曲线C上存在点M满足AMB120，则abtan 60，即3m 3.解得 0m1.答案：D5在直线y2 上任取一点Q，过Q作抛物线x24y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为()A(0，1)B(0，2)C(2，0)D(1，0)解析：设Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y14x2，则y12x，则在点A处的切线方程为yy112x1(xx1)，化简得y12x1xy1，同理，在点B处的切线方程为y12x2xy2，又点Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得212x1ty1，212x2ty2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程212xty，则直线AB的方程为y212tx，直线AB恒过点(0，2)答案：B二、填空题6设双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x01，则双曲线C的离心率e的取值范围是_解析：双曲线C：x2a2y2b21 的一条渐近线为ybax，联立y2x，ybax消去y，得b2a2x2x.由x01，知b2a21，b2a2.所以e2c2a2a2b2a22，因此 1e 2.答案：(1， 2)7已知抛物线C：x28y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为 1，过点F的直线与圆Q切于点P，则FPFQ的最小值为_解析：如图，FPFQ|FP|2|FQ|21.由抛物线的定义知：|FQ|d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|FQ|min2，所以FPFQ的最小值为 3.答案：38(2017济南模拟)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_解析：不妨设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|x2y1y224y1.又y1y2p24.所以|AC|BD|y2244y2(y20)利用导数易知yy2244y2在(，2)上递减，在(2，0)上递增所以当y22 时，|AC|BD|的最小值为 3.答案：3三、解答题9(2017西安调研)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点P1，32 在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q(xQ，yQ)(点Q异于点P)，若 0 xQ1，求直线l斜率k的取值范围解：(1)由题意得ca32，1a234b21，a2b2c2，解得a2，b1，c 3，故椭圆E的方程为x24y21.(2)设直线l的方程为y32k(x1)，代入方程x24y21，消去y，得(14k2)x2(4 3k8k2)x(4k24 3k1)0，所以xQ14k24 3k114k2.因为 0 xQ1，所以 04k24 3k114k21，即4k24 3k114k20，4k24 3k114k21.解得36k322或k322，经检验，满足题意所以直线l斜率k的取值范围是36k322或k322.10(2017新乡三模)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，直线 2xy20 交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(导学号55410133)(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由解：(1)因为直线 2xy20 与y轴的交点为(0，2)，所以F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2.设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值为 235.(2)假设存在实数p，满足条件等式成立联立x22py与 2xy20，消去y，得x24px4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24p，x1x24p，所以Q(2p，2p)因为|2QAQB|2QAQB|，所以QAQB，则QAQB0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，把x1x24p，x1x24p代入得 4p23p10，解得p14或p1(舍去)因此存在实数p14，使得|2QAQB|2QAQB|成立11(2017唐山一模)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点Qb，ab在椭圆上，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值解：(1)因为椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，所以e2c2a2a2b2a212，得a22b2，又点Qb，ab在椭圆C上，所以b2a2a2b41，联立、得a28，且b24.所以椭圆C的方程为x28y241.(2)当直线PN的斜率k不存在时，PN的方程为x 2或x 2，从而有|PN|2 3，S12|PN|OM|122 32 22 6；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN的方程为ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)；将PN的方程代入C整理得(12k2)x24kmx2m280，所以x1x24km12k2，x1x22m2812k2，y1y2k(x1x2)2m2m12k2.由OMOPON，得M4km12k2，2m12k2.将M点坐标代入椭圆C方程得m212k2.又点O到直线PN的距离为d|m|1k2，|PN| 1k2|x1x2|，Sd|PN|m|x1x2| 12k2|x1x2| 16k28m2322 6.综上可知，平行四边形OPMN的面积S为定值 2 6.典例(本小题满分 12 分)设圆x2y22x150 的圆心为A， 直线l过点B(1， 0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围规范解答：(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而圆心A(1，0)，|AD|4.所以|EA|EB|4.(2 分)又因为B(1，0)，所以|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24y231(y0)(4 分)(2)解：当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由yk（x1） ，x24y231得(4k23)x28k2x4k2120，则x1x28k24k23，x1x24k2124k23，所以|MN| 1k2|x1x2|12（k21）4k23.(6 分)过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y1k(x1)，点A到直线m的距离为2k21，所以|PQ|2422k21244k23k21.(8 分)故四边形MPNQ的面积S12|MN|PQ|12114k23.(9 分)可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8 3)(10 分)当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形MPNQ的面积为 12.综上可知，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8 3)(12 分)1正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义，能根据圆锥曲线定义判断曲线类型，如本题第(1)问就涉及椭圆的定义2注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中的得分 10 分，导致失 2 分.3写全得分关键：在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚解题程序第一步：利用条件与几何性质，求|EA|EB|4.第二步：由定义，求点E的轨迹方程x24y231(y0)第三步：联立方程，用斜率k表示|MN|.第四步：用k表示出|PQ|，并得出四边形的面积第五步：结合函数性质，求出当k存在时S的取值范围第六步：求出斜率不存在时面积S的值，正确得出结论跟踪训练(2017郴州三模)已知抛物线E：y28x，圆M：(x2)2y24，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(导学号 55410057)(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(x05)是曲线C上的点， 过点Q作圆M的两条切线， 分别与x轴交于A，B两点，求QAB的面积的最小值解：(1)设P(x，y)，则点N(2x，2y)在抛物线E：y28x上，所以 4y216x，所以曲线C的方程为y24x；(2)设切线方程为yy0k(xx0)令y0，得xx0y0k.圆心(2，0)到切线的距离d|2ky0kx0|k212，整理得(x204x0)k2(4y02x0y0)ky2040.设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k22x0y04y0 x204x0，k1k2y204x204x0.所以QAB面积S12|x0y0k1x0y0k2|y02x20 x01.设tx014，)，则f(t)2t1t2在4，)上单调递增，所以f(t)252，即QAB面积的最小值为252.