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1 1课时作业53双曲线一、选择题1双曲线x21的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx解析：由x21，得，渐近线方程为yx.答案：A2椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则实数a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：由已知得a1.答案：D3(20xx新课标全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析：由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意可求得|AB|，所以SOABc，整理得，即e，故选D.答案：D6设双曲线1的两条渐近线与直线x分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若60AFB90，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1,2) D(，)解析：双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设A，B，60AFB90，kFB1，1，1，1，1e213，e0时，1，25，20；当0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：2三、解答题10已知双曲线1(a0，b0)，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，M(x0，y0)是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是.(1)求双曲线的离心率；(2)若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程解：(1)易知A1(a,0)，A2(a,0)，M(x0，y0)在双曲线上，1，变形得.kMA1kMA2，e21，e.(2)双曲线的一条渐近线为yx，即bxay0，右焦点(c,0)到渐近线的距离db12，由(1)得，a225，双曲线的方程为1.11设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bx2y0，.b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t，3t)，t4，点D的坐标为(4，3)1(20xx河北石家庄模拟)已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B1C2 D4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则OAOB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以222，化简得x1x22，所以SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x2|2，故选C.答案：C2(20xx福建漳州八校联考)已知椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则4ee的最小值为()A. B4C. D9解析：由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a1，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2，22，得|PF1|2|PF2|22a2a，将代入，得aa2c2，4ee2，当且仅当，即a2a时，取等号故选C.答案：C3设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A1、A2，过点F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线相交于点P，若点P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线的离心率为_解析：由题意知，双曲线的渐近线的斜率为或，点F的坐标为(c,0)，不妨设直线l的方程为y(xc)，联立方程，解得.因为点P恰好在以A1A2为直径的圆上，所以()2()2a2，化简得c2(a2b2)4a4，又c2a2b2，故()44，即e.答案：4已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解：(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即28，解得k0或k.又k，且k1，当k0或k时，AOB的面积为.
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