新编高三数学复习 第十章 第3节抛物线及其性质~第4节曲线与方程

第三节 抛物线及其性质题型122 抛物线的定义与标准方程1.（20xx四川文5）抛物线的焦点到直线的距离是（ ）.A. B. C. D. 1.（20xx安徽文3）抛物线的准线方程是（ ）.A. B. C. D. 2.（20xx辽宁文8）已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）A B C D3.（20xx新课标文10）已知抛物线：的焦点为，是C上一点，则（ ） A. B. C. D. 4.（20xx陕西文11）抛物线的准线方程为_.5.（20xx湖南文14）平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是 .1.（20xx陕西文3）已知抛物线的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）.A. B. C. D. 1. 解析 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为.故选B.2.（20xx福建文19）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且（1）求抛物线的方程；（2）已知点，延长交抛物线于点，求证：以点为圆心且与直线 相切的圆，必与直线相切2.分析 （1）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化本题由可得，可求的值，进而确定抛物线方程；（2）欲证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切可证明点到直线和直线的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数解析（1）由抛物线的定义得因为，即，解得，所以抛物线的方程为（2）解法一：因为点，在抛物线：上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得.解得或，从而又，所以，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切解法二：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为因为点在抛物线：上，所以，由抛物线的对称性，不妨设由，可得直线的方程为由，得，解得或，从而又，故直线的方程为，从而又直线的方程为，所以点到直线的距离这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切1.（20xx四川文3）抛物线的焦点坐标是（ ）.A. B. C. D.1. D 解析 由题意，的焦点坐标为.故选.2.（20xx江苏22（1）如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线.若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程. 2. 解析 因为，所以与轴的交点坐标为，抛物线的焦点为，所以，故.3.（20xx浙江文19（1）如图所示，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于. 求的值. 3. 解析因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.题型123 与抛物线有关的距离和最值问题1. （20xx江西文9）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）.A. B. C. D. 2.（20xx江苏9）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .3（20xx广东文20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点做抛物线的两条切线，其中，为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值4.（20xx浙江文22）已知抛物线的顶点为 ，焦点.（1）求抛物线的方程；（2）过作直线交抛物线于两点，若直线分别交直线： 于两点， 求 的最小值. 1.（20xx全国2卷文12）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）. A. B. C. D.1.解析 由题知，与抛物线联立得，解得，所以.解法一：因为，所以，因为，所以，所以到的距离为.故选C.解法二：如图所示，在中，由抛物线定义知，.因为，所以.又轴，所以，所以为等边三角形，且，则点到直线的距离为.题型124 抛物线中三角形、四边形的面积问题1.（20xx上海文20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示.（1）求菜地内的分界线的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值.1.解析 （1）不妨设设分界线上任一点为，依题意，化简得.（2）因为，所以，设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，设五边形面积为，过作交于点，如图所示.则，因为，所以五边形的面积更接近的面积.第四节 曲线与方程题型125 求动点的轨迹方程1. （20xx辽宁文20）如图，抛物线.点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）.当时，切线的斜率为.（1）求的值；（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（ 重合于时，中点为）.2. (20xx陕西文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于两点.若是的中点，求直线的斜率.1.（20xx福建文21）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线的方程；（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.2. （20xx广东文20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.3.（20xx湖北文22）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多记点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）设斜率为的直线过定点. 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围. 1.（20xx浙江文7）如图所示，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面 上的动点满足，则点的轨迹是（ ）.A直线 B抛物线C椭圆 D双曲线的一支1. 解析 若，则绕点旋转形成圆锥面，这面被平面截得图像是椭圆.故选C.1. （20xx四川文15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 .1. 解析 对于，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以正确；对于，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.所以正确的序号为.1.（20xx全国2卷文20）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. 1. 解析 （1）如图所示，设，.由知，即.又点在椭圆上，则有，即.（2）设，则有，即.椭圆的左焦点.又，所以.所以过点且垂直于的直线过的左焦点.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org