大学物理作业解答：第四章 刚体的运动规律

1证明证明: 依题意作右图所示依题意作右图所示,由定义求得由定义求得:yx22222zIIdmydmxdm)yx(dmrI 第四章第四章 刚体的运动规律刚体的运动规律4-1 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理:一个平面刚体薄板一个平面刚体薄板,对于垂直板面的某轴的转动惯量对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即即 Iz=Ix+Iyzxydmxyr4-2 4-2 计算由三根质量均为计算由三根质量均为m m长为长为l l的均匀细杆组成的正三角形的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量.2解：解： OAOA相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: :2311mlI OBOB相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: :2312mlI ABAB相对于相对于O O点的转动惯量点的转动惯量: :2223ml45) l23(mml121I 总的转动惯量为总的转动惯量为: :223321mlIIII ll23O OA AB Bll4-3 4-3 一半圆形均匀细杆，其半径为一半圆形均匀细杆，其半径为R R，质量为，质量为m m，如图所示，试，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和端点的轴求细杆对过圆形圆心和端点的轴AAAA的转动惯量的转动惯量. .r R dA RddlA Rd)sinR(dmrdI2解解: :23023mR212RdsinRdII 30 RrdrFR32dMM dNrdM rdr2RFdNR02 解解：F4mR3MmR21t t )mR21(IM 00202 又又4-4 4-4 以垂直于盘面的力以垂直于盘面的力F F 将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，使其制动使其制动, ,如图所示如图所示. .飞轮可以看作是质量为飞轮可以看作是质量为m m、半径为、半径为R R的匀质圆的匀质圆盘盘, ,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为盘面与粗糙平面间的摩擦系数为, ,轴的粗细可略轴的粗细可略, ,飞轮的初始飞轮的初始角速度为角速度为 .(1).(1)求摩擦力矩求摩擦力矩.(2).(2)经过多长时间飞轮才停止转动？经过多长时间飞轮才停止转动？4-5 4-5 如图，两物体的质量分别为如图，两物体的质量分别为m m1 1 和和m2m2，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为I I，半径为半径为R R。(1)(1)如果如果m m2 2与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度与桌面之间为光滑接触，求系统的加速度a a及绳中张力及绳中张力T T1 1和和T T2 2 .(2).(2)如果如果m m2 2与桌面之间的摩擦系数为与桌面之间的摩擦系数为 , ,求系求系统的加速度和统的加速度和及绳中张力及绳中张力T T1 1和和T T2 2 . .绳子与滑轮间没有相对滑动。绳子与滑轮间没有相对滑动。44-54-5解：解： (1)(1)如图所示分为三个隔离体求解。如图所示分为三个隔离体求解。 RaIR)TT(amTamTgm2122111 )mmRI()mRI(gmT)mmRI(gmmT)mmRI(gma21222112122122121(2) RaIR)TT(amgmT )gmgm( amTgm2122221111时时m2T2IT1m1 )mmRI()mmRI( gmT)mmRI(gm)RImm(T)mmRI(g )mm(a21221211212222122122154-6 从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理从刚体定轴转动定律推导出刚体绕定轴转动的动能定理.解解: 刚体饶定轴转动角速度为刚体饶定轴转动角速度为 ,角加速度为角加速度为 ,转动惯量转动惯量为为Iz ,外力对定轴外力对定轴z的力矩为的力矩为Mz,转动定律数学表达式转动定律数学表达式: zdtdIIMzzz 而力矩的功而力矩的功:20z2zzzzI21I21 d IdtdtdIdMw0 力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理力矩的功等于末初转动动能之差称转动动能定理.4-7 4-7 如图所示，有一个半径为如图所示，有一个半径为R R=0.2=0.2米，质量米，质量m m1 1=2.5=2.5千克的匀质千克的匀质圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳圆盘状定滑轮，轴处摩擦可略，当在圆盘边缘上绕一轻绳，绳上缀一个质量上缀一个质量m m2 2=0.51=0.51千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从千克的物体。试计算施在圆盘上的力矩从静止开始，在静止开始，在2 2秒之内所作的功和秒之内所作的功和2 2秒时物体秒时物体m m2 2的动能。的动能。6解解: :m2Rm1RvMR21mRvLmgRtmgRdt2 2Mmmgtv J2 . 8)2Mmmgt(m21mv21E22m,k )J(2 .20)m2Mmgt(M)Rv)(MR21(21I21WRT2222 4-8 4-8 有一线绕圆盘半径为有一线绕圆盘半径为R R、质量为质量为m m在其重量作用下滚落在其重量作用下滚落, ,显显得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落得上端固定在天花板上。求圆盘中心从静止下落h h高度时的转动高度时的转动动能和质心速度动能和质心速度? ?解解: : 质心运动定理质心运动定理质心系中的角动量定理质心系中的角动量定理CmaTmg dtdmR21TR2 7g32aC gh34vC mRgmT RaCdtd mgh31)Rv( I21E 2CkC 角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点角量、线量的关系张力的作用点是瞬时不动点 RvC解解法法2：）（初初末末1 )I21I21(2C2C iikikCiiCi)EE(rdTrdF内内初初内内末末末末初初边边末末初初外外）（初初末末初初末末末末初初末末初初外外2 )EE()mv21mv21(rdTrdFCpCp2C2CCOiCOi 0rmdg)rm(dgrdgm CCiCiiiiCi 末末初初末末初初末末初初两式相加两式相加2CC2CI21mghmv210末末末末 8 gh34vC mgh31)Rv( I21E 2CkC 2C22C2C22CRvRv 末末末末在惯性系中绳张力不作功。在惯性系中绳张力不作功。解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时解：细杆从水平位置无摩擦地转至竖直位置时, ,重力作功，有重力作功，有22)a2(m3121mgamghW avc细杆脱落后细杆脱落后, ,质心满足：质心满足：2gt21h 而棒绕质心转动而棒绕质心转动, ,角动量守恒角动量守恒, ,所以所以 不变不变N2t 解得：解得：21)ah3(21N hABCC4-9 4-9 长为长为2 2a a的匀质细杆的匀质细杆ABAB，以铰链固结于，以铰链固结于A A点，起初使杆在水平点，起初使杆在水平位置，当放开位置，当放开B B端，棒绕端，棒绕A A点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自点无摩擦地转至竖直位置时，铰链自动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛动脱落，棒变为抛体，在以后的运动中，棒的质心轨迹为一抛物线，而棒本身则绕质心物线，而棒本身则绕质心C C转动，试求当它的质心从转动，试求当它的质心从C C位置下位置下降降h h距离时（如图所示），棒共转了多少转？距离时（如图所示），棒共转了多少转？9A AB B解：以知解：以知 1 1=2=2 n n接合过程中接合过程中, ,摩擦属内力摩擦属内力, ,又又无其他外力矩，角动量守恒无其他外力矩，角动量守恒I I1 1 = (I = (I1 1+I+I2 2) ) 所以所以200nIII2n1211 （转（转/ /分）分）)J(1032. 1IIInI2)II (21I21E42122121221211 4-10 4-10 两个飞轮两个飞轮A A和和B B可以接合起来，使它们以相同的转速一起转可以接合起来，使它们以相同的转速一起转动。以知动。以知ABAB两飞轮的轴在同一直线上，两飞轮的轴在同一直线上，A A轮的转动惯量为轮的转动惯量为 I I1 1=10 =10 千克千克米米2 2 ，B B轮的转动惯量为轮的转动惯量为 I I2 2=20=20千克千克米米2 2，开始时，开始时A A以转速以转速 n n1 1=600 =600 转转分分-1-1 匀速转动，匀速转动，B B轮静止轮静止. .求（求（1 1）两轮接合后的转速）两轮接合后的转速: :（2 2）结合过程中机械能的损耗。）结合过程中机械能的损耗。 4-11 4-11 质量为质量为m mA A和和m mB B, ,半径为半径为R RA A和和R RB B的两个圆盘同心地粘在一起的两个圆盘同心地粘在一起, ,小小圆盘边缘绕有绳子圆盘边缘绕有绳子, ,上端固定在天花板上上端固定在天花板上, ,大圆盘也绕有绳子大圆盘也绕有绳子, ,下下端挂以质量为端挂以质量为m m的物体的物体, ,如图所示如图所示. .求求(1)(1)要使圆盘向上加速、向下要使圆盘向上加速、向下加速加速, ,静止或匀速运动的条件静止或匀速运动的条件?(2)?(2)在静止条件下两段绳中的张力在静止条件下两段绳中的张力. .轴处摩擦和绳的质量忽略轴处摩擦和绳的质量忽略. .绳与滑轮之间没有相对滑动发生绳与滑轮之间没有相对滑动发生. .10 解：圆盘的运动属于纯滚动解：圆盘的运动属于纯滚动. .小圆盘与绳的切小圆盘与绳的切点点O O为为 瞬时轴，则有：瞬时轴，则有：BBABAgR)mm()RR(T BBABAgR)mm()RR(mg (1) (1) 圆盘静止或匀速运动圆盘静止或匀速运动, ,则则m m也匀速运动或也匀速运动或静止静止 , ,则有则有T = mg T = mg BBABAgR)mm()RR(mg 当当O OR RB BR RA AO O(m(mA A+m+mB B)g)gT TTT圆盘向上加速运动圆盘向上加速运动BBABAgR)mm()RR(mg 当当 圆盘向下加速运动圆盘向下加速运动 (2) (2) 在静止条件下将圆盘和物体在静止条件下将圆盘和物体m m视为一整体，则视为一整体，则: : T T=(m+m=(m+mA A+m+mB B)g )g 物体物体m m静止则有静止则有: T=mg: T=mgm mT Tmgmg11)N( 3 .37)ag(mT22 amTgm222 mafT1 ra)rm21(r )TT(2112 Ra)mR21(fR2 解解:mRr1T1T2T1m2mfgm22T联立以上各式可解联立以上各式可解)sm(33. 2)m21m23m(gma2122 )N(35ma23T1 4-12 4-12 一质量一质量m m=10=10千克千克, ,半径为半径为R R=0.20=0.20米的圆柱体，用绳子系住米的圆柱体，用绳子系住它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量它的旋转中心轴，此绳子跨过一质量m m1 1 =2 =2千克，半径千克，半径r r =0.1 =0.1米米的定滑轮，在绳的下端悬一质量的定滑轮，在绳的下端悬一质量m m2 2=5.0=5.0千克的重物。设绳长不变千克的重物。设绳长不变，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮间无相对，绳的质量及滑轮轴处摩擦都可忽略不计，绳与定滑轮间无相对滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：滑动。当圆柱体沿斜面作纯滚动时，求：( (1 1) )重物的加速度重物的加速度( (2 2) )绳绳中张力中张力T T1 1 和和T T2.2.12 )amml31(21)cos1(gam)cos1(2lmg22解：碰撞中，由于轴处有突变力，系统动解：碰撞中，由于轴处有突变力，系统动量不守恒。而角动量守恒：量不守恒。而角动量守恒： )maml31(avm220联立可解联立可解222220am)amml31)(gam2lmg)(cos1(2v )sm(186v 10 碰后绕定轴转动，机械能守恒碰后绕定轴转动，机械能守恒4-13 4-13 一根长为一根长为 l l 、质量为、质量为m m的均匀细杆可绕其一端的水平轴的均匀细杆可绕其一端的水平轴O O自由摆动。当被一发质量为自由摆动。当被一发质量为m m的子弹在离的子弹在离O O点的点的a a处水平方向击处水平方向击中后，子弹埋入杆内，杆的最大偏转角为中后，子弹埋入杆内，杆的最大偏转角为 ，求子弹的初速度，求子弹的初速度。已知。已知 l l =1.0=1.0米，米，m m =2=2千克，千克，m m =20 =20千克，千克，a a=0.7=0.7米，米， = =6060o o m, v0lam13mmol解：下摆（定轴转动）能量守恒，解：下摆（定轴转动）能量守恒，22)ml31(212lmg vlm)ml31()ml31(22 22222vm21)ml31(21)ml31(21 gl321v mm 碰时角动量守恒碰时角动量守恒碰时能量守恒：碰时能量守恒：4-14 4-14 质量为质量为m m长为长为l l的匀质细杆，可绕端点的匀质细杆，可绕端点O O的固定水平轴转动，的固定水平轴转动，把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度v v。14其它力均过质心其它力均过质心 amNfgmF 惯惯 aRdtd dtdmR21fR 2 在在质质心心系系中中mafmA 在在水水平平方方向向AmF 惯惯相对于木板纯滚动相对于木板纯滚动, ,圆柱体边缘的线速度圆柱体边缘的线速度a a与角速度的关系与角速度的关系解：在如图所示木板非惯性系中，圆解：在如图所示木板非惯性系中，圆柱体质心运动方程：柱体质心运动方程：mama21mA A32 a 圆柱体相对于地面的加速度圆柱体相对于地面的加速度a a为为A31AA32a N fRxyNgm fAR惯惯Fxyxy4-154-15一个质量为一个质量为m m，半径为半径为R R的匀质圆柱体，在一块以加速度的匀质圆柱体，在一块以加速度A A运运动的木板上作无滑动的滚动，求圆柱体的加速度动的木板上作无滑动的滚动，求圆柱体的加速度. .15新教材新教材4-164-16：一根长为：一根长为 l l质量为质量为 m m的棒，置于无摩擦的水平面的棒，置于无摩擦的水平面上，在一很短的时间间隔上，在一很短的时间间隔 t t内，这棒受一力内，这棒受一力F F打击而产生一个冲打击而产生一个冲量，这力作用在量，这力作用在 p p点上，点上， p p至质心的距离为至质心的距离为a a，试求，试求: :质心的速质心的速度？度？绕质心的角速度绕质心的角速度? ? 确定一点确定一点Q Q，它在，它在L L参照系中从最初就参照系中从最初就保持静止，并证明保持静止，并证明b=kb=k2 2/a/a , ,式中式中k k是绕质心的回转半径。点是绕质心的回转半径。点Q Q叫做叫做撞击中心。撞击中心。 证明若这力在证明若这力在Q Q处，则撞击中心在处，则撞击中心在p p点。点。cQpFab解：解：mtFtvC)(FamC0)0(Cv质心速度方向与质心速度方向与 相同相同FFtvtvmCC)0()(在质心参照系中：在质心参照系中：dtdLaFCCCIL 16I IC C为通过质心垂直于棒轴的转动惯量，已知：为通过质心垂直于棒轴的转动惯量，已知：2mkIC0) 0 (aFttmk) 0 ()(2tmkaFt2)(在在L L系中若要系中若要0QvbvvCQ02btmkaFtmF012bkaakb2交换交换a a、b b可证明可证明p p、Q Q互为共轭点互为共轭点bka2