四年级数学思维训练导引第13讲至第24讲

四年级数学思维训练导引第13讲-第24讲第13讲横式问题内容概述横式中的填空格和字母破译问题，熟练应用尾数分析、首位估算、分情况试算等方法；对于较复杂的题目，一般从约束条件较多、可能性较少的算式入手；某些横式问题，可以转化为竖式问题求解.典型问题兴趣篇1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称.(1) 1223=3221；（2）8891=1988.2. 在算式172=33的方框中填入适当的数字，使得等式成立.3.在“，8，97”的三个方框内分别填入恰当的数字，可以使这3个数的平均数是150，那么填入的3个数字的和是多少？4.在算式3=的5个方框中，分别填入0、1、2、3、4这5个数字，使等式成立. 请问：得到的乘积是多少？5. 在下面这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，请把算式用数字表示出来.6. 在算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问：“”所代表的四位数是什么？7. 将1至9这9个数字分别填入下面三个算式的方框中（每个数字只能用一次），使得各个等式都成立.8. 下面两个算式是由1至9这9个数字组成的，其中数字5已经填好，请将其余的数字填入方框中，使得各等式成立.9. 将0、1、2、3、4、5、7这7个数字分别填入算式+=的7个方框内（每个数字只能用一次），使得等式成立.小山羊 小山+小羊10. 在算式 =2000中，“小”、“山”、“羊”各代表一个不同的数字，那么 小山羊 “ ”所代表的三位数是什么？ 拓展篇1. 请在下面两个算式的方框中填入适当的数字，使得等式成立，并且算式中的数字关于等号左右对称.（1）1246=6421；（2）36528=82563.2. 在算式6456=0的每个方框中填入一个恰当的数字，使得等式成立.3.在算式1+1+1+1=4的每个方框内填入同一个数字，使得等式成立. 所填的数字是多少？4. 满足等式=8888的被乘数是多少？5. 等式巨人54=39学校6是由1至9这9个数字组成的，其中有5个数字已经填好. 请问：“巨人学校”所代表的四位数是多少？6. 在乘法算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字. 请问：最后的乘积是多少？7. 将1至9这9个数字分别填入下面四个算式的方框中（每个数字只能用一次），使得四个等式都成立.8. 将1至7这7个数字分别填入算式=+的方框中（每个数字只能用一次），使得等式成立.9. 将0、1、2、3、4、5、6这7个数字进行适当组合后填入算式=的圆圈和方框中，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的算式. 请问：填在方框内的数是多少？10. 将1至9这9个数字填入算式+=+1=6的方框中（每个数字只能用一次），使等式成立. 请问：除法算式中的被除数是多少？11. 在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“迎+春+杯”等于多少？12. 在下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么 所代表的四位数是什么？超越篇1. 算式59+1=7是由1至9这9个数字组成的，其中1、5、7、9已经填好，请把其余的数字填入方框中，使得等式成立.2. 请将2、3、4、5、6、7、8、9这8个数字分别填入算式（+）（+）=的方框中，使得等式成立.3.算式=95=是由1至9这9个数字组成的，其中5，9已经填好，请将其余的数字填入方框中，使得等式成立.4.在算式12345=997的方框内填入适当的数字后，可以使其成为正确的等式. 求其中的除数.5. 算式 +细= 是由1、2、3、4这4个数字组成的，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“ ”所代表的四位数是多少？6. 已知A、B、C、D、E、F、G、H、L、K分别代表0至9中的不同数字，且有下列4个等式成立；，求A+C7. 请将1至9这9个数字填入算式=的方框内，每个数字只填一次，要求等号左边4个方框填偶数数字，右边5个方框填奇数数字，使等式成立.8.在乘法算式“”中，相同的字母表示相同数字，不同的字母表示不同的数字，已知A=8，求B+C+D的值. 第14讲行程问题二内容概述参与运动的某些对象自身具有长度的行程问题涉及多个对象的行程问题，一般需要从其中两个对象入手进行分析，并把所得的结论与其他对象联系起来1(1)费叔叔沿着一条与铁路平行的公路散步，每分钟走60米，迎面开过来一列长300米的火车从火车头与费叔叔相遇到火车尾离开他共用了20秒求火车的速度(2)小悦沿着一条与铁路平行的公路散步，她散步的速度是每秒2米这时从小悦背后开来一列火车，从车头追上她到车尾离开她共用了18秒已知火车速度是每秒17米，求火车的长度2(1)一列火车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米的大桥，需要多长时间? (2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥，共用21秒，这列火车长多少米?3一列火车长180米，每秒行20米；另一列火车长200米，每秒行18米两车相向而行，它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时间?4. 甲火车长370米，每秒行15米；乙火车长350米，每秒行21米，两车同向行驶，乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间？5许三多所在的钢七连队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?然后从队头返回队尾，又需要多长时间?6甲、乙两列火车相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行60千米坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗为止共用13秒, 问：乙车全长多少米?7现有两列火车同时同方向齐头行进，快车每秒行18米，慢车每秒行10米，行12秒后快车超过慢车如果这两列火车车尾对齐，同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车请问：快车和慢车的车长分别是多少米?8有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，乙每分钟走50米，丙每分钟走60米. A、B两地相距2700米甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发去追赶乙请问：甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?又过了多少分钟丙才追上乙?9有甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米. 如果甲从A地，乙和丙从B地，三人同时出发相向而行甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇求A、B两地的距离10东、西两城相距75千米小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西走，每小时行15千米三人同时动身，途中小辉遇见小强即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到三人在途中相遇为止请问：小辉共骑了多少千米?拓展篇1(1)一列火车长400米，以每分钟800米的速度通过一条长2800米的隧道，需要多长时间?(2)一列火车长720米，每秒行驶15米，全车通过一个山洞用了64秒这个山洞长多少米? 2一列火车通过一座长1000米的桥，从火车车头上桥，到车尾离开桥共用120秒，而火车完全在桥上的时间是80秒你知道火车有多长吗?它的速度是多少?3有一列客车和一列货车，客车长400米，每秒行驶20米；货车长800米，每秒行驶10米试问：如果两车相向而行，它们从相遇到错开需要多长时间?如果两车同向而行，客车赶超货车(从追上到完全超过)需要多长时间?4一列客车和一列货车同向而行，货车在前，客车在后已知客车通过460米长的隧道用30秒，通过410米长的隧道用28秒又已知货车长160米，每小时行驶54千米请问：客车从追上到离开这列货车需要多少秒?5与铁路平行的一条小路上，有一个行人与一个骑车人同时向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟请问：这列火车的车身总长是多少米?6人大附小组织学生去春游，队伍行进的速度是每秒2米，宋老师以每秒4米的速度从队尾跑到队头，再回到队尾，共用6分钟请问：队伍的总长是多少米?7阿奇在一条与铁路平行的小路上行走，有一列客车迎面开来，40秒后经过阿奇. 如果这列客车从阿奇的背后开来，60秒后经过阿奇试问：如果阿奇站着不动，客车多长时间可以经过阿奇?8一列货车和一列客车同向行驶，由于货车有紧急任务，因此开始赶超客车小明在客车内沿着客车前进的方向向前走，小明发现货车用140秒就超过了他已知小明在客车内行走的速度为每秒l米，客车的速度为每秒20米，客车长350米，货车长280米求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间9甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车请问：这辆卡车的速度是多少?10甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行与此同时，丙从B地出发向A地前进甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米后就与丙相遇如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，求A、B两地的距离11甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍现在甲从A地向B地行进，乙、丙两人从B地向A地行进三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又重新改为步行，三人仍按原来的方向继续前进试问：三人之中谁最先到达目的地?谁最后到达目的地?12A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行请问：出发多长时间后，乙正好在甲和丙的中点?超越篇1米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走，一列货车从后面开过来，8：00货车追上了米老鼠，又过了30秒，货车超过了它；另有一列客车迎面驶来，9：30客车和米老鼠相遇，又过了12秒客车离开了它如果客车的长度是货车的2倍，客车的速度是货车的3倍请问：客车和货车什么时间相遇?两车错车需要多长时间?2货车和客车相向而行，两车在A点迎面相遇，在B点错开，A点和B两点之间的距离为150米已知客车的长度为450米，速度为每小时108公里，货车的速度为每小时72公里如果货车比客车长，那么货车的长度是多少?3铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去14时10分追上向北行走的一位工人，15秒后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生请问：工人与学生将在何时相遇?4A、B两地相距120千米，甲、乙两人分别骑车从A、B两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米，出发后1小时30分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑在他们相遇6分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在c地追上乙若甲以每小时44千米的速度，乙以每小时比原速度快6千米的车速，两人同时分别从A、B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少?5快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，求慢车每小时行多少千米6快、中、慢三辆车同时从甲地出发开往乙地，与此同时冬冬以每分钟100米的速度沿公路走向甲地已知快车出发30分钟后在途中遇上冬冬，中车出发35分钟后遇上冬冬三辆车到达乙地的时候分别用了100分钟、120分钟、150分钟请问：慢车出发多长时间后可以遇上冬冬?7. 铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人早上同时从A城出发向南前进，行人速度为每小时72千米，骑车人速度为每小时18千米途中，有一列火车从他们背后开过来，9点10分恰好追上行人，而且从行人身边通过用了20秒钟；9点18分恰好追上骑车人，从骑车人身边通过用26秒钟请问：这列火车的车身总长是多少米?行人与骑车人早上何时从A城出发?他们出发时，火车头离A城还有多少千米? 8. 铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车，它们的车长正好构成一个等差数列，其中乙车的车长居中. 最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向，乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向. 现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇. 再过15秒，甲车恰好完全超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开. 请问：甲、乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？第15讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分步计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题1阿奇去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择?2阿奇进人一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法?3老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法?4传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙?5用红、黄、蓝三种颜色给图15-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?6在图152中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”那么一共有多少种不同的读法？ 7运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问： (1)如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法? (2)如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法?8冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书请问：(1)如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法?(2)如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法?9如图15-3，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线?10图15-4中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条?拓展篇1阿奇一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择?2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同颜色搭配的“IMO”?3书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同请问：(1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法?(2)如果从每一层中各取l本，共有多少种不同的取法?(3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法?4如图15-5，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线?5如图15-6，四张卡片上写有数字2、4、7、8从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数请问：一共可以组成多少个不同的三位数?其中有多少个不同的三位奇数?6奥运场馆实行垃圾分类处理每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造，如图15-7. 现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一，要求相邻两个垃圾筒颜色不同，且回收废纸的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色方法？7如图15-8，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?8如图15-9，用红、蓝两种颜色来给图中的小圆圈染色，每个小圆圈只能染一种颜色请问：(1)如果每个小圆圈可以随意染色，一共有多少种不同的染法?(2)如果要求关于中间那条竖线左右对称，一共有多少种不同的染法?9甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车会驾驶汽车A的只有甲和乙，汽车E必须由甲、乙、丙三人中的某一人驾驶，则一共有多少种不同的安排方案?10如图15-10，4枚相同的棋子放人44的方格内，每个方格只能放1枚，且要求每行每列最多只能放1枚，一共有多少种不同的放法?11图15-11是一个阶梯形方格表，在方格中放入5枚相同的棋子，使得每行、每列中都只有1枚棋子，这样的放法共有多少种?12如图15-12和图15-13，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走，请问：(1)按图15-12所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?(2)按图15-13所示，从A点走到B点的不同路线有多少条?超越篇1爸爸、妈妈带阿奇去吃西餐餐厅里有米饭和面条2种主食，烤牛排、烤羊排和烤鸡排3种主菜，奶油蘑菇汤1种汤，以及蛋糕和布丁2种甜点如果阿奇想要点1种主食1种主菜，汤和甜点可点可不点，而且种类不限请问：阿奇一共有多少种点菜方法?2如图15-14，在一个34的方格表内放人4枚相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?如果放人4枚互不相同的棋子，要求每列至多有1枚棋子，一共有多少种不同的放法?3如图15-15，将图中的八个部分用红、黄、绿、蓝这4种不同的颜色染色，而且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色请问：这幅图共有多少种不同的染色方法?4用4种不同的颜色给图15-16中的圆圈染色，有线段相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法?5一只甲虫沿着图15-17中的方格线从A爬到曰，每次只能向右爬一格或向上爬一格图中画着黑点的地方不能通过请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线?6王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工现有木匠3人、电工3人，另有1人既能做木匠也能做电工要从这7人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法?7如图15-18所示，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，不能重复经过任何点试问：这只甲虫有多少种不同的走法?8如图15-19所示，国际象棋中的棋子“皇后”从左下角走到右上角，每步只能向右、向上或者向右上移动任意多格，一共有多少种不同的走法?第16 讲统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1妈妈让冬冬给客人烧水沏茶洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?2理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?3西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?4如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“”，最少要爬多远?请画出路线.5如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨已知每吨盐运l千米需要运费2元试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图16-2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米)62008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?7有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?8有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输甲先取问：谁有必胜的策略?9黑板上写有l，2，3，4，5，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?10两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜问：先放者如何取胜?拓展篇1小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?2小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时问是多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间)3有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开零售5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元老师买所需要的笔最少要花多少元?4图16-3是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数问：小悦从A出发走到B最快需要多少分钟?5如图16-4，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、600人任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?6北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图16-5所示，单位为百元那么总运费最少是多少元?7甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图16-6所示的33的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里?8有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?9现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴每次最少从中取出2根，最多取出4根谁无法再次取出火柴谁就赢如果甲先取，请问谁有必胜的策略?10甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由11如图16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步，结果又如何呢?12桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图16-8所示现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；拿走其中一块，把另一块留给对手再切；谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?超越篇1甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟三人同时开始工作。问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?2图16-9是某县的道路分布图小唐要驾车从县城出发，经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?3如图16-10，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米现在要安装水管，从县城送自来水供给各村可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用按你认为最节约的办法，费用应是多少元?4甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数两人轮流走谁所得到的数是零，就算谁赢如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?5如图16-11，五角星上共有10个交点和15条小线段甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，如此下去如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略?6把一枚棋子放在图16-12中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿450角移动，一次可以移动任意多格谁把棋子移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么?7冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?8 甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜请问：谁有必胜策略?第17讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.典型问题兴趣篇11，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，100请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项?(2)这个数列所有数的总和是多少?2观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和3一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍请问：(1)第100项是多少?(2)前100项的和是多少?4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的请观察方格表，并填出“?”处的数5如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1)100在第几行、第几列?(2)第20行第3列的数是多少?如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：(1)100在第几行，第几列?(2)第5行第20列的数是多少?7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列?(2)第20行第2列的数是多少?8如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数?(2)第25行左起第5个数是多少?9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵试问：能否在数阵中放人一个33的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997；(2)2016；(3)2349如果可以，请写出方框中最大的数10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：(1)246在第几行，第几列?(2)第14行第13列的数是多少? (3)所有阴影方格中数的总和是多少?拓展篇11，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，0请观察上面数列的规律，请问：(1)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少?2一列由两个数组成的数组： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，请问：(1)第100组内的两数之和是多少?(2)前55组中“5”这个数出现了多少次?3有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?4如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?5如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1)123应该排在第几列?(2)第2行第20列的数是多少?6如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：(1)500在第几行，第几列?(2)第100行第2列是多少?7如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?8中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次公元纪年则是国际通行的纪年方式图17-12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表请问：(1)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年?(2)21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年?(3)“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年?9如图17-13所示，将1至400这400个自然数填入下面的小三角形中，每个小三角形内填有一个数. “l”所处的位置为第1行；“2，3，4”所处的位置为第2行；请问：(1)第15行正中间的数是多少?(2)第12行中所有空白三角形内的数之和是多少?(3)前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少?10如图17-14，把从1开始的自然数按某种方式排列起来请问：(1)150在第几行，第几列?(2)第5行第10列的数是多少?11如图17-15，把从l开始的自然数按某种方式排列起来请问：(1)200排在第几行，第几列?(2)第18行第22列的数是多少?12如图17-16所示，把自然数按规律排列起来如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798这8个数中最大的数是多少?(“土”字不能旋转或翻转)超越篇1下面的数组是按一定顺序排列的：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，请问：(1)其中第70个括号内的数分别是多少?(2)前50个括号内各数之和是多少?2. 桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分成10堆并拿走其中9堆这个过程称为一次“操作”若球仅为一个，则不做“操作”如果最初有19491948194754321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球?3在图17-17所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：它们上下相邻，且和为391问：在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小?4图17-18中的数是按一定规律排列的，郡么第6行第23列的数字是多少?5将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图17-19所示的方式排列请问：(1)第1行从左往右数的第15个字是多少?(2)第1列从上往下数的第25个字是多少?(3)第25行的第15个字是多少?6将自然数从1开始，顺次排成如图17-20所示的螺旋形，其中2，3，5，7，处为拐点，请问：(1)第30个拐点处的数是多少?(2)前30个拐点处的各数之和是多少?7如图17-2l，把从1开始连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有40行，请通过计算回答下列问题：(1)第1行的数是多少?(2)第20行中的最大数与最小数之和是多少?(3)第35行中的最大数与最小数之和是多少?8. 如图17-22，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的菱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、300求所有顶点上数的总和第18讲行程问题三内容概述运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑，在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律.典型问题兴趣篇1莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米?2小燕上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟如果往返都步行，则全程需要70分钟求小燕往返都骑车所需的时间3一天，小悦到离自己家4000米的表哥家去玩早晨7：20时，小悦从家出发向表哥家走去，每分钟行60米，同时表哥骑车从家出发来接她表哥到小悦家后才发现小悦已经走了，又立即返回去追表哥骑车每分钟行260米当表哥追上小悦后，带着她一起回表哥家，这时骑车速度变为每分钟骑175米请问：当他们到达表哥家时还差几分钟就到8点了?4培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点时培英学校派车去电视机厂接劳模来校作报告，往返需用1小时实际上这位劳模在下午l点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达问：汽车行驶速度是劳模步行速度的几倍?5快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过4小时在途中相遇相遇后两车继续向前行驶慢车到达甲地后停留1小时再返回乙地快车到达乙地后停留2.5小时再返回甲地已知慢车从乙地到甲地用了12小时，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多长时间?6甲、乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米请问：(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次相遇?(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?7甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米请问：(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇?(2)第一次迎面相遇后又经过多长时问甲、乙两车第二次迎面相遇?(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇?8A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进(保持原速)各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇问：甲、乙两站相距多远?若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇?9A、B两辆汽车同时从甲地出发，在甲、乙两地间不断往返行驶第一次迎面相遇距离甲地40公里，第二次迎面相遇距离乙地10公里求甲、乙两地之间的距离10A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米请问：(1)如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?(2)如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来?每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他?拓展篇1. 甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发甲出发6分钟到达A地此时乙距离起点150米又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米问：乙比甲晚出发多长时间?2自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队然后通信员立即返回出发点；到达出发点后通信员又马上掉头去追自行车队，再次追上时恰好离出发点18千米自行车队每分钟行多少千米?摩托车每分钟行多少千米?3乌龟与兔子进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉兔子醒来时发现乌龟已经领先它5000米，于是奋起直追当乌龟到达终点时，兔子仍落后100米请问：兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米?4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，12小时后在C地相遇相遇后，两车并不停顿，继续前进甲车在相遇后继续行驶4小时到达B地，然后立即掉头以相同的速度返回A地请问：(1)当甲车再次到达C地的时候，乙车还要再开几小时才能到达A地?(2)如果甲车从B地返回的时候不是原速返回，而是变慢了而且当它经过C地的时候，乙车正好到达A地甲车返回的速度是原来速度的多少倍?5某科研单位每天派汽车早8点准时到工程师家接他上班但今天早晨，工程师临时决定提前到单位，于是他没有等汽车来接，就自己步行去单位步行途中遇到了前来接他的汽车，他马上上车赶到单位，结果发现比平时早到了30分钟，问：工程师上车时是几点几分?6甲、乙两车分别从相距900千米的A，B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米请问：(1)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?(2)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次相遇?(3)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?7甲、乙两车同时从A地出发，在相距900千米的A、B两地之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时25千米，乙车的速度是每小时20千米请问：(1)甲车第一次从后面追上乙车是在出发后多长时间?(2)甲车在第一次从后面追上乙车之后又经过多长时间第二次从后面追上乙车?(3)甲、乙两车第二次迎面相遇是在出发后多长时间?8A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并在两地间不断往返行驶两车在距离甲地40公里处第一次迎面相遇，在距离甲地10公里处第二次迎面相遇求甲、乙两地之问的距离9甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行走当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回在甲、乙两人行进的过程中，两人一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)10小明和小刚的速度分别为每分钟90米和每分钟70米早上8：00他们分别从A、B两站同时出发，相向而行，第一次相遇后两人继续前进，分别到达B、A后返回并在途中第二次相遇第二次相遇地点距离A、B两站的中点450米从两人同时出发到第二次相遇总共经历了多少分钟?A、B两站的距离为多少米?他们第一次相遇是几点几分?11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返行驶已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇(两车同时到达同一地点即称为相遇)的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米请问：两地之间的距离是多少千米?12某人从甲地走往乙地甲、乙两地之间有定时的公共汽车往返，而且两地发车的间隔都相等他发现每隔6分钟开过来一辆去甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆去乙地的公共汽车问：公共汽车每隔多少分钟从各自的始发站发车?超越篇1每天早上7：30王经理都从家出发，由司机开车前往公司，8：00准时到达然后司机开车原速返回王经理家一天早上，王经理想要锻炼一下，因此中途下车走到公司，结果9：00才到而司机8：10就已经回到王经理家中请问：车速是王经理步行速度的多少倍?如果第二天，王经理仍然中途下车，但是下车地点比前一天距离公司要近一些，结果8：30就赶到了公司司机回到王经理家应该是几点几分?2一辆大轿车与一辆小轿车从甲地驶往乙地大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停留了5分钟，然后继续驶往乙地；小轿车出发后中途没有停留，直接驶往乙地最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地已知大轿车是上午10点从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间3A、B两地间相距950米甲、乙两人同时由A地出发，并在A、B两地间往返行进共行讲了40分钟甲步行速度是每分钟40米，乙跑步速度是每分钟150米那么甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近，距离是多少米?4甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地间不断地往返行驶甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米问：A、B间的路程是多少千米?5小明家在颐和园如果他骑车到人大附中，每隔3分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果他步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍请问：如果小明坐332路汽车到人大附中，每隔多少分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来?6甲、乙两人分别从A、B两地出发，在A、B两地之间不断往返行进当甲第3次到达B地的时候，乙恰好第5次回到了B地请问：在甲、乙两人在行进的过程中，一共相遇了多少次?(迎面碰到和追上都算相遇)7从电车总站每隔一定时间开出一辆电车甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车问：电车总站每隔多少分钟开出一辆电车?8A、B两地相距22.4千米有一支游行队伍从A地出发，向B地匀速前进；当游行队伍队尾离开A地时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发乙向A地步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时甲恰好第一