山大数学分析试题

20XX试题、 填空。1. limfnn322飞n(n 1)2 ?2叽一1x)x3.设 x 3cost,y2sint(0t 2 ),则 4dx41 xx ln(x21)12 dx1 x5.设r、x2 y2,则x2rdxdy ?y2 166设2表示椭圆-421 正向，贝y(x y)dx (x9y)dy ?7级数3(1n 1nx)n的收敛范围为?8.设 f(x) (1 x)ln(1x),则 f(n) (0)?x1. 设f (x)在a,b上可积，令F(x) f (t)dt,证明：F(x)在a,b上连续。a22. 求 0 e x cos(2 x) dx(为实数)。3试求级数n2xn的和函数。n 1三、任选两题。bb 11. 设 f (x)在a,b上连续且 f(x) 0,证明： f(x)dx dx (b a)2.aa f(x)2求 2 cosn0xsinnxdx (n1为正整数)3. 设f (x), g(x)在 0,) 上 可微且满足(1”im f (x)A(0 A),(2)limg(x)g(x).求xx证：存在数列 G ( Cn,n)使得 f (Cn)g (Cn) g(Cn)f(Cn).20XX试题、1.lim0S2X_lx 0 x sin x2. lim -n In!nn23.设 u xln(xy),则 Ux4x-J cos2xdx ?.012 x25. 交换积分顺序odxx f(x,y)dy ?(3, 4)6. xdx ydy ?(0,1)7. n(n 1)xn的和函数为？n 18. 设 f (x) arctanx,则严n 珥。)?1叙述函数f(x)在a,b上一致连续和不一致连续的型语言。2计算定积分e x2dx.03叙述并证明连续函数的中间值定理。三、本题任选两题。1设f(x, y)处处具有连续的一阶偏导数且f(1,0) f( 1,0).试证在单位圆上存在两点(my)和(X2,y2)满足下列两式：Xi fy(Xi, yi) yifx(Xi,yJ 0,i1,2.2.设 f (x)在0,)上连续0,女口 果2 2f(x)f(y)f(z) x yf(z) y zf(x)z2xf (y),求证:f(x)dx 吕2.23.设f(x)在(0,)上连续可微,且lim丄凶0.求证：存在序列Xn使得Xn且 f (Xn)0.20XX试题2圆上存在两点(my)和(X2,y2)满足下列两式：2圆上存在两点(my)和(X2,y2)满足下列两式：、1. lim 3n 5n 7nn1sinx、土2. lim ()xx 0 0、 x123. 设 f (x) e(x1)(x 1), f(1) 0,求 f (1)4.设 x a cos31, y a si n3t,求dx5.设 f (x) arctanx,求 fa1。)?2圆上存在两点(my)和(X2,y2)满足下列两式：2圆上存在两点(my)和(X2,y2)满足下列两式：4 (正向)。6. (x y3)dx (x y)dy,其中 C: x2 y2C7. (x7excosx)dx ?8求 VX%的值其中V是由X 0,y 0Z 0与X y Z 1所围成的四面体。axbxe e二、I.dx(b a 0)。0 x2.设f(x)在a,b上连续，在(a,b)上二阶可导且f (x) 0,证明：对任何Xi,X2a,b,有 f(X 2八2)X2、f (X1) f (X2)23.设有界函数f(x)在a,b上的不连续点为Xnni，且limxn存在，证明: nf(x)在a,b上可积。三、1.设b a 0,试证:b sinx ,dx a x3.2.设f(x)在a,b上连续,且 f (x)0,证明:b f (x)dx - dx (b a)2.aa f (x)3.设f(x)在a,b上可导,且 f (a)f (b).证明：对任何 r (f (a), f (b),存在 Xo (a,b),使得 f (xo) r.Xo20XX试题1. 设f(x)在(a,b)上可微，f (x)在(a,b)上单调，求证：f (x)在(a,b)上 连续。2. 设 f (x)在a,b上连续,x a,b,(f (x)n 收敛，求证：(f (x)n在n 1n 1a,b上一致收敛。3. 设f(x)在圆盘x2 y2 1上有连续的偏导数，且f(x)在其边界上为0,求证：f(0,0) lim dxdy,其中 S (x, y): 2 x2 y21.0 2 S x y4. 设f(x)在(，)上无穷次可微，且f(x) -(xn)(n),证明：当k n 1 时，x,s.t lim f (k)(x) 0.x5. 设f (x) 0 sin ntdt,求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期 函数；当n为偶数时，f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期 函数之和。6. 设 f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0) 0,Jim fn(x) 0.证明：Xnn1, n,0 Xn Xn 1, S.t. fXn) 0.7. 设 f(x)在(a,)上连续，且 lim si n( f (x) 1.求证：lim f (x).xx20XX试题1. 叙述数列a”发散的定义，并证明数列cos n发散。2. 设f (x)在a,b上连续，对x a,b,定义m(x) inf f (t).证明：设m(x)在a t xa,b上连续。3. 设f (x)在(,c)内可导，且 lim f(x) lim f(x) A.求证：存在一点xx c(,c)s.t f ( ) 0.34. 设f(x)在(0,1上连续，可导，并且lim f (x).求证：f(x)在(0,1上 一致连续。5. 设 an 0, n 1,2,3 ,且有 lim n(电 1) c 0,求证：(1)n & 收敛。nan 1n 12 彳6. 求级数n口的和。n 127. 设 f(x)在0,1上二阶可导，且有 f (0)f(1) 0, minf (x)-.证明：x 0,12(0,1),s.t f ( )4.8. 证明：对于任意0, 0 e( in tdx关于t (0,) 一致收敛。9. 设f(x)在a,b c,d上连续，函数列n(x)在a,b上一致收敛，且a n(x) b,函数列n(x)在a,b上一致收敛，且cn(x) d,求证：函数列Fn f( n(x), n(x)在a,b上一致收敛。t 110. 设f (x)在0,1上可积，且在x 1处连续，证明：lim 0xnf(x)dx f (1).n 0311. 设A G)33是实对称正定矩阵，是椭球体：ajXjXj 1,求 的体i,j 1积。n12.设G)是n阶实对称方阵，定义IKn上的齐二次函数h(x)ajXXj证i,j 1n明：函数h(x)在条件x2i 1下的最小值是A的最小特征值。113.计算积分：I (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz,其中 为平面 x y z 3和立方体0 x a,0 y a,0 z a的交线，站在第一象限 x y z 3处看为逆时针方向。220XX试题一、1.求极限lim a1一2aJ旦，其中lim an a.nnn122求极限 lim e x(1 -)x .Xx3证明区间(0, 1 )和(0,)具有相同的基数(势)。4. 计算积分：J一dxdy,其中D是由x 0, y 1, y x所围成的区域。d y x5. 计算：I 弯 ：dy,C:x2 2y2 1方向为逆时针。C x y6设 a 0,b 0,证明：(L)b1 (导.b 1 b二、设f (x)为a, b上的有界可测函数且f2(x)dx 0,证明:f(x)在a,ba,b上几乎处处为零。三、 设f(x)在(0,)内连续且有界，试讨论f(x)在(0,)内的一致连续性。四、设 f (x, y)2x y0,x2y2 00，讨论f (x, y)在原点的连续性，偏导数存在性与可微性。设 f (x)在(a,b)内二次可微，求证(a,b),stf(b) 2f呼)f(a)叮4).六、 f(x) 在 氏上二次可， x 丘，f (x)0,又x R, f () 0, Jim f (x)0, Jim f (x)0.证明：f(x)在上恰有两个零点。七、设f(x)和g(x)在a,b内可积，证明：对a,b的任意分割:a x0x-iX2Xn b, i, i x,Xii,i0,1,2，n 1.i)ba f(x)g(x)dx.a八、求级数:1)n3n1九、试讨论函数项级数xn2e n x(n11)2e (n 1)2x2在区间(0,1)和(1,)上的一致收敛性。十、计算I(x2dydzy2dzdx z2dxdy),其中为圆锥曲面x2y2 z2 被平面z 0与z 2所接部分的外侧。十、设 f(x)在0,1上单调增加，且 f(0) 0, f(1) 1.0,1, s.t.f( )3十二、设f (x)在0,)上连续，n(x)dx绝对收敛，nim 0f (x) (x)dx f (1) (x)dx. nc十三、设an0,证明:当下极限limnln(丄)inf 乩1时，级数务收敛。 ln n当上极限lim1 ln( ) an sup nln n1时，级数an发散。1.求 lim(cot x)sinx.x 02.2 x2a2 y b23.4.证明:limn5.f (a)6.f(x, y)7.8.9.20XX试题2dxdydzV :十 ca2 y b21.jExdx 0.f (b) 0, f (x)有4(b a)2f(b)xyLx0,x2f(a).界偏导数fx，fyba f(x)dx2 (by22 y证明:f (x, y)在(0,0)连续,有有0.在（0,0)不可微。a) bf2(x)dx.anf(x)笃,证明：f(x) f(1n 1 nx) ln xln(11.lim f (x)存在，lim f (x) Kconst证明:lim f (x)0.10. f(x) X (1 )tsin Idt,求 lim f (n)sin 丄.x 2tVtnn