大学生数学试题及答案

大学生数学试题及答案考试形式： 闭卷 考试时间： 150分钟 满分:100 分 一、（本题满分10 分) 求极限。【解】 因在上连续，故存在，且=， 所以,。二、（本题满分10 分） 请问为何值时下式成立【解】注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有，当时使用洛必达法则得到 ，由上式可知:当时，若,则此极限存在，且其值为0;若，则，综上所述，得到如下结论：或。三、（本题满分10 分) 计算定积分.【解】 作变换，则 ，所以,。四、（本题满分10 分） 求数列中的最小项。【解】 因为所给数列是函数当x分别取时的数列。又且令，容易看出:当时，;当时,。所以,有唯一极小值。而，因此数列的最小项。五、（本题满分10 分) 求。【解】 考虑幂级数，其收敛半径为 ，收敛区间为，当时，收敛；当时，发散，因此其收敛域为。设其和函数为，则,。于是, 故，。六、（本题满分10 分） 设，其中为连续函数，求。【解】 原方程可写为， 上式两端对求导得 （*) 两端再对求导得 即 这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知,由(）式知。特征方程为 ， 齐次通解为 设非齐次方程特解为 ，代入得 .则非齐次方程通解为 由初始条件 和可知， .七、（本题满分10 分) 在过点和的曲线族中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分的值最小.【解】 。 令，得；又，则在处取极小值，且a =1是I (a)在(0，+)内的唯一极值点，故a =1时I （a）取最小值，则所求曲线为。八、（本题满分10 分） 设f (x）在1，1上有二阶导数，且，。证明：1，x1，1。2 f （x） = x在1,1上有且只有一个实根。【证明】1. 由泰勒公式 ， 两式相减并整理得 于是， 由于，因此，。2. 令。则，.但在1，1上连续,由介值定理知，在1,1上至少有一个零点。又由1可知,故在1,1上严格单调，从而至多有一个零点。这样在1，1上有且只有一个零点，即f （x) = x 在1,1 上有且只有一个实根。九、（本题满分10 分) 设在为连续函数，则.【解】令则，则所以 即 c为常数。而 ，特别地 即 。十、(本题满分10 分) 设是0,1上的连续函数,证明。【证法一】 设。由于,所以 。【证法二】