2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题（解析版）

2020届河北省衡水中学高三第一次联合考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则中元素的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】C【解析】用列举法依次表示出集合，再求出交集，再判断元素个数【详解】解：，又，有3个元素，故选：C【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题2已知复数z满足z（1+i）1+3i，其中i是虚数单位，设是z的共轭复数，则的虚部是（ ）AiB1CiD1【答案】D【解析】先根据复数代数形式的除法运算求出，再根据共轭复数的定义写出，从而得出的虚部【详解】解：，则的虚部为，故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题3等差数列an中，Sn为an的前n项和，若a2，a4是关于x的一元二次方程x24x+20的两个根，则S5（ ）A5B10C12D15【答案】B【解析】由韦达定理得，再利用等差数列的性质即可得出结论【详解】解：是关于的一元二次方程的两个根，由韦达定理得，由等差数列的性质得，故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前项和的计算，属于基础题4若f（x）ex+aex是定义在R上的奇函数，则曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程是（ ）AyxByxCy2xDy2x【答案】D【解析】由函数是定义在上的奇函数得，求出函数的解析式，再求出，从而可求出切线方程【详解】解：函数是定义在上的奇函数，得，曲线在点处的切线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题5已知O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为（ ）Asin1Bcos1CsinDcos【答案】A【解析】由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和的面积，从而得出结论【详解】解：设的半径为，劣弧所对的圆心角为，弧长为，由弧长公式得，弦与劣弧所围成图形的面积，故选：A【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题6某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）成绩/分班内排名甲959乙9411丙9314A0.2B0.4C0.5D0.6【答案】B【解析】由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案【详解】解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人，从这5名同学中随机抽取2名同学，基本事件总数为，这两位同学成绩相同包含的基本事件数是，这两位同学成绩相同的概率，故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题7已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】先设，由题意知是直角三角形，利用且恰好为正三角形，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得【详解】解：连接， 设，则由题意可得是直角三角形，由恰好为正三角形得，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质考查数形结合的思想的运用，属于基础题8某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘“酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ）A2班B3班C4班D5班【答案】B【解析】本题的关键是找出1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果【详解】解：由题意，1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，只剩下“野炊”和“饲养”，因3班既不选“野炊”，故选择“饲养”的班级是3班故选：B【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题9下列关于函数的说法，正确的是（ ）A是函数f（x）的一个极值点Bf（x）在区间0，上是增函数C函数f（x）在区间（0，）上有且只有一个零点D函数f（x）的图象可由函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度得到【答案】D【解析】先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可【详解】解：函数，当时，所以不是函数的一个极值点，所以A不正确；当时，函数取得最大值，所以函数在区间上不是增函数，所以B不正确；由得，则，所以在区间上有两个零点，所以C不正确；由函数的图象向左平移个单位长度得到，所以正确故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题10瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式VE+F2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball）”则“巴克球”的顶点个数为（ ）A180B120C60D30【答案】C【解析】设巴克球顶点数、棱数及面数，计算出面数和棱数即可求出顶点数【详解】解：依题意，设巴克球顶点数、棱数及面数，则，每条棱被两个面公用，故棱数，所以由得：，解得故选：C【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题11已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AEEFFC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面，则正方体夹在平面与之间的部分占整个正方体体积的（ ）ABCD【答案】C【解析】构造平面，平面，设正方体边长为1，根据等体积法计算到平面的距离，从而可得出，分别为与平面和平面的交点，计算中间几何体的体积得出答案【详解】解：构造平面，平面，则平面，平面，设正方体边长为1，则，设到平面的距离为，则，解得，平面，同理可得平面，正方体夹在平面与之间的部分体积为，体积之比是，故选：C【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题12已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点点M，N在PF1F2所围区域之外，且始终满足，则|MN|的最大值为（ ）A6B8C12D14【答案】A【解析】设，的中点分别为，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可【详解】解：设，的中点分别为，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点所围区域之外）分别为，时，最大，的最大值为，故选：A【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题二、填空题13已知非零向量满足，则与的夹角为_【答案】【解析】由题意，得，所以，所以夹角是。14某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_【答案】4【解析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥，其中，底面，是正方形，边长为3，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长【详解】解：由题意几何体的直观图如图，其中，底面，是正方形，边长为3，所以，所以最长的棱长为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题15已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a4，且，则b+c的取值范围为_【答案】【解析】根据已知等式和余弦定理，可推出，即，又知，所以；因为三角形是锐角三角形，所以角为锐角，；由，设，用表示出，并求出的取值范围，进而得的取值范围【详解】解：，且，即，又由余弦定理可得，可得，即，又为锐角，设，由余弦定理知，故，故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题16已知曲线y|lnx|与直线ym有两个不同的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1x2），设直线l1，l2分别是曲线y|lnx|在点P1，P2处的切线，且l1，l2分别与y轴相交于点A，BP2AB为等边三角形，则实数m的值为_【答案】【解析】由对数的运算性质可得，分别求得和的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及，的坐标，可得等边三角形的边长，可得，进而得到的值【详解】解：由曲线与直线有两个不同的交点，可得，即有，由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，令得，即，由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，令得，即，则，由为等边三角形，可得，则，故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题三、解答题17端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示表一：价格/（元/千克）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）种类数4121662在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二表二：喜欢传统馅料粽喜欢特色馅料粽总计40岁以下30154540岁及以上50555总计8020100（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？参考公式和数据：（其中为样本容量）P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关【解析】（1）根据表一的数据计算平均数即可；（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论【详解】解：（1）根据表一的数据，估计该商场粽子的平均销售价为21.25；（2）根据表二信息，所以有的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题18已知an是等比数列，且成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an（）n（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和【详解】解：（1）设是公比为的等比数列，且成等差数列，可得，即，解得，则；（2），【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，AC与BD交于点O，PO平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD（1）求证：PB平面AEF；（2）若，求三棱锥EPAD的体积【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；（2）求出，由，求出，三棱锥的体积，由此能求出结果【详解】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，与交于点，平面，为的中点连接交于，点在侧棱上，且，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，取，得，平面，平面；（2）解：，由，解得，三棱锥的体积：【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题20已知函数（为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)问：是否存在实数,使得有两个相异零点？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.【答案】(1) 当时，函数无极值.当时,函数有极小值为,无极大值；(2)存在,【解析】(1)对函数求导,根据的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数的极值；(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出的取值范围.【详解】解：(1)因为,所以.当时，所以时,所以函数在上单调递减.此时，函数无极值.当时,令，得,当时,所以函数在上单调递减；当时,所以函数在上单调递增.此时,函数有极小值为,无极大值.(2)存在实数,使得有两个相异零点.由(1)知：当时,函数在上单调递减；又,所以此时函数仅有一个零点；当时，.因为,则由（1）知；取,令,易得,所以在单调递减,所以,所以.此时,函数在上也有一个零点.所以,当时,函数有两个相异零点.当时,，此时函数仅有一个零点.当时,因为,则由(1)知；令函数,易得,所以,所以,即.又,所以函数在上也有一个零点,所以,当时,函数有两个相异零点.综上所述,当时,函数有两个相异零点.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.21已知抛物线C：x22py（p0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上【答案】（1）x22y（2）证明见解析【解析】（1）设直线的方程为，代入抛物线方程，消去，设，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程【详解】解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，可得，设，则，点为线段的中点，可得，即，则抛物线的方程为；（2）证明：设，点为线段的中点，可得，由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，由，可得，同理可得，可得，即为，即可得交点在一条定直线上【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（2cos）254sin2（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相切，求m的值【答案】（1）直线l的普通方程为x+2y42m0；曲线C的直角坐标方程为x2+y24x10（2）m或【解析】（1）由消参法可得直线的普通方程；由，代入化简可得曲线的直角坐标方程；（2）求得曲线表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值【详解】解：（1）直线的参数方程为，为参数），可得，即直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为，即为，由，可得；（2）由（1）可得曲线表示以为圆心，为半径的圆，由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离为半径，即为，解得或【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题23已知函数f（x）|x+4m|+|x+2m+13|（1）当m1时，求不等式f（x）7的解集；（2）试证明f（x）2【答案】（1）x|x1或x6（2）证明见解析【解析】（1）将代入中，然后将写为分段函数的形式，再根据分别解不等式可得解集；（2）由绝对值三角不等式可得，从而证明结论【详解】解：（1）当时，因为，所以或，所以或，所以不等式的解集为或；（2）证明：，当且仅当，即时取等号，所以【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题