资源描述
2021/6/31二次根式全章复习二次根式全章复习2021/6/32.的式子叫做二次根式形如 a)0( a二次根式的定义二次根式的定义: :二次根式的性质二次根式的性质: :（双重非负性）.0,0aa)0(2aaaa (aa (a 0) 0)-a (a-a (a0)0)= a a 2a2021/6/33还学习了二次根式的乘法和一种化简方法abba) 0, 0( baabba a0,b02021/6/341.将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开方数尽可能分解成几个平方数。2.应用应用baab化简二次根式的步骤： 根式运算的结果中，被开方数应不含能根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。开得尽方的因数或因式。 运算的结果应该是运算的结果应该是最简二次根式或整式最简二次根式或整式。 3.将平方项应用将平方项应用 化简化简.aa 2216x例如例如：2021/6/35aabb0, 0bababa0, 0ba二次根式的除法公式：二次根式的除法公式：2021/6/36 二次根式计算、化简的二次根式计算、化简的结果符合什么要求？结果符合什么要求？（1）被开方数被开方数不含分母不含分母； 分母不含根号分母不含根号； 根号内不含小数根号内不含小数。（2）被开方数中不含能开得尽被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式方的因数或因式.2021/6/37 若两个含有二次根式若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数二次根式，则这两个代数式互为式互为有理化因式有理化因式。 在进行根式计算时，利用在进行根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分有理化因式，有时可以化去分母中的根号，从而实现分母有母中的根号，从而实现分母有理化。理化。2021/6/38二二 次次 根根 式式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式0, 0babaabbaba)0, 0(ba1、2、加加 、减、乘、除、减、乘、除知识结构知识结构-不要求，只需了不要求，只需了解解1、02aaa 3、0aa2a)0(0aa2、2021/6/39第一部分第一部分二次根式的概念二次根式的概念2021/6/310 正数有正数有两个两个平方根且平方根且互为相反数互为相反数； 0 0有一个平方根就是它有一个平方根就是它0 0； 负数负数没有没有平方根。平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。都有算术平方根；负数没有算术平方根。2021/6/311试一试试一试 ：说出下列各式的意义；116,81,0,0.04;49观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即2021/6/312a (a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必须具备如下它必须具备如下特点特点： 1、根根指指数数为为 2； 2、被开方数必须是非负数。、被开方数必须是非负数。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？ 2021/6/313注意：注意：为了方便起见，我们把为了方便起见，我们把一个数的算术平方根一个数的算术平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代数式的代数式.定义：定义： 像像 , , 这样表示的算术这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二二次根式。次根式。25002a3b s2021/6/314(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号4. a0, 0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )2021/6/315a都是非负数都是非负数. 式子式子 ， ， 与算术平方根的共同点与算术平方根的共同点: :S94S225 S一般地，形如一般地，形如 （a0）的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式a都是形如都是形如 的式子的式子，a其中其中a为整式或分式，为整式或分式，a叫做叫做被开方式被开方式1.判断下列各式是否是二次根式判断下列各式是否是二次根式.2. 下列各式一定是二次根式的是（下列各式一定是二次根式的是（ ）.1xA.21x B.2xC.1xD.C5(0)a a (0)a a38( )( )( )( )2021/6/316例例1 : 判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。2021/6/317题型题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1 1. . 当当 _时，时， 有意义。有意义。xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x- 5x3 3解：解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x说明：二次根式被开方数不小于说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）围常转化为不等式（组） 334aa44a有意义的条件是有意义的条件是 . .2.+2021/6/318由由2x-10，得得即当即当x取大于或等于取大于或等于 的实数时，式子的实数时，式子 有意义有意义2112 x例例2： x取什么实数时，二次根式取什么实数时，二次根式 有意义有意义？12 x解解：二次根式二次根式 有意义的条件是有意义的条件是2x-1012 x21x并且它的平方等于并且它的平方等于 , a即即).0(0 aa总是一个非负数总是一个非负数所以所以,)0(aa的算术平方根的算术平方根表示表示因为因为)0(，aaa即即)0()(2 aaa2021/6/319解：由解：由 x x- -2 20 0，且，且 x x- -3 30, 0, 得得 x x2 2 且且 x x3 3。 想一想：想一想：一个正数的算术平方根是一个正数的算术平方根是 。 零的算术平方根是零的算术平方根是 。 负数有没有算术平方根？负数有没有算术平方根？ 正数正数0没有没有想一想：想一想： 假如把题目改为： 要使假如把题目改为： 要使x x- -2 2x x- -1 1 有意义，有意义，字母字母 x x 的取值必须满足什么条件？的取值必须满足什么条件？ x2x2 2021/6/3201、求下列二次根式中字母的取值范围：、求下列二次根式中字母的取值范围： 11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。2021/6/3212、 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1) 1 (1x0 x为全体实数x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x3 3、若数轴上表示数、若数轴上表示数x x的点在原点的左边，则化简的点在原点的左边，则化简|3x+x2| |3x+x2| 的结果是（的结果是（ ）12a 0 )( a =0 )( a 0 )a2021/6/343例求下列二次根式的值例求下列二次根式的值22(1) (3)(2)21(3)xxxp-+= -2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-当当x 时，时，x3-221113xxx-+= -= +当当x时，时，22113xx-+= +3-2021/6/3442 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa2021/6/3452(0)( aa a 2aa )0( aa)0( aa22(）与注意区别aa2021/6/346补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：2(1) ()aa2(2) ()aa 2(3) (2)2aa2021/6/347x0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0,化简化简:216x2216x(4 )4:xx 解解原式原式 = -4x2021/6/3483、二次根式具有哪些性质？、二次根式具有哪些性质？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根根指指数数为为 2； （2）被被开开方方数数必必须须是是非非负负数数。 课堂小结课堂小结性性质质 1： a 0 (a0) （双双重重非非负负性性） 性质性质 2：( a )2 = a (a0) 性质性质 3：当当 a0 时，时， a2 = a ； 当当 a0 时，时， a2 = -a 。 也就是说：也就是说： a2 = |a| 。 2021/6/349第三部分第三部分二次根式的乘除法二次根式的乘除法2021/6/3502()a（a0）a-a 当当a0时，时，= ； 当当a0时，时，= .|a|2aa2021/6/351ab ba baba（a 0 ， b0）（a 0 ， b0）2021/6/352回顾回顾:你会计算吗你会计算吗? (1) (2) 104 . 0303. 0有简便的方法吗有简便的方法吗?根据什么根据什么?积和商的二次根式的性质积和商的二次根式的性质:反过来反过来:) 0, 0(),0,(babababoaabba二次根式乘除运算法则二次根式乘除运算法则)0, 0(ba)0, 0(babababaab,二次根式二次根式相乘相乘：被开方数被开方数相乘相乘， 根指数根指数不变不变；化简化简。2021/6/353二次根式的运算（乘除运算）二次根式的运算（乘除运算）: : ba ab（a 0 ， b0）baab（a 0 ， b0）2021/6/354abmnbnam2021/6/355) 0(6223 ) 4(105) 3 (aaa例例1 1 计算：计算：2525550105解：原式解：原式aaaaaa31232632261266a2232原式原式2021/6/356274125271245)(933420233220)(3601820计算：计算： 2021/6/3573224计算：计算： 316)4838(23232243224153：方法3162328246232242：方法结果必须化为最简二次根式结果必须化为最简二次根式. 找因数的找因数的最最大公因数大公因数,不不行行再分解因再分解因数数2021/6/358xyx313) 3 (10253 ) 2 (714) 1 (:计算27727714714) 1 (52561052310253)2(230256yxxyxxyx2313313) 3(yxyxyx2要先相乘，后化简。要先相乘，后化简。2021/6/3590, 0ba例例2：计算：计算 1812323241解：解： 832432412224 18231812318123293baba两个二次根式相除，等于把被开方数相除，两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数作为商的被开方数332021/6/3601 10 05 50 0( (2 2) ) 2 23 32 2) 1 (计算：计算： 10751436152112)4(解：解：原式) 3(原式)4(107514710521621115262365265如果根号前有系如果根号前有系数，就把系数相数，就把系数相除，仍旧作为二除，仍旧作为二次根号前的系数次根号前的系数。4162322321 51050105022021/6/361题型题型4 4：最简二次根式、被开方数不含分数；、被开方数不含分数；、被开方数不含开的尽方的因数或因式；、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式分母中不含二次根式。322751yx323练习1：把下列各式化为最简二次根把下列各式化为最简二次根式式5524772xyyx632021/6/362二次根式二次根式乘除乘除运算的运算的一般步骤一般步骤： 1.运用法则，运用法则，化归化归为根号内的实数运算为根号内的实数运算; 2.完成根号内完成根号内相乘相乘，相除相除(约分约分)等运算等运算;3.化简化简二次根式二次根式.分子和分母乘除后分子和分母乘除后,分别分别分解素因数分解素因数,找找平方的项平方的项开出开出,不必马上乘出来不必马上乘出来(分母必须是平方的项分母必须是平方的项)多项式先因式分解多项式先因式分解,再乘除再乘除2021/6/363第四部分第四部分二次根式的加减运算二次根式的加减运算2021/6/3642021/6/365185081)(4827122)(12545203)(2225233233345255532021/6/3662021/6/367题型题型5：同类二次根式同类二次根式：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。27832189m332322m32418832、是同类二次根式下列哪些是同类二次根式同类二次根式2021/6/36850501.)(与与18122与与)(bba232与与)(aa153与与)(abab32324与与)(2021/6/3692021/6/370458029161)()(xxxx9161)(xx34x)(34x745802)(5354534)( 52021/6/37132411821821)(68132221242)(2021/6/37232411821821)(22232421234)(2292021/6/37368132221242)(6241632221622412161322)()(2436352021/6/3742021/6/375（3）合并同类二次根式。）合并同类二次根式。 一化二找三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；交流，归纳2021/6/376第五部分第五部分二次根式的综合能力二次根式的综合能力2021/6/377练习：练习：.已知，求已知，求x、y的值的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a4.已知已知 ，求，求a的值的值. 4|3|aaa 4343aaaa，即 a- -4=9，则，则 a=133 3. .实数实数a a、b b在数轴上对应点的位置如下图所示在数轴上对应点的位置如下图所示： 2021/6/378.,12的值求自然数为一个整数nnn12n = 3，8，11，1212n是正整数，则实数是正整数，则实数n的最大值是的最大值是_ 2021/6/379_,522xyxxy则已知25 ?2021/6/3801.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理数一切有理数试一试试一试 1296:22 xxxx化化简简 ( -1 x 3) 其其中中2021/6/381化简：化简： （2） (3) (a0,b0)(4) (a1 ) (5) (1x3 )1024a22ba221aa2269) 1(xxx2021/6/3823 3、已知：、已知：a+b+4a+b+4+ =0+ =0， 求：求：a a2 2+b+b2 2的值的值. . 3-ab4 4、已知、已知a,b,ca,b,c在数轴上的位置如下：在数轴上的位置如下： 求：代数式求：代数式 - -a+ba+b+ + + +b+cb+c的值的值. . 2a2a)-(c结果：结果：1010结果：结果：-a-a2021/6/3835 5、已知、已知y=2 +3 + ,y=2 +3 + ,求：求： + + 的值的值. (. (安徽省中考题安徽省中考题) )1-2x2x-131x1y16 6、若、若x-y+2x-y+2与与 互为相反互为相反数，则数，则x=_x=_，y=_. (y=_. (徐州市中考题徐州市中考题) )1-yx 结果：结果：5 52021/6/384练习二：练习二：111._x+2x+2xxx若成立，则的取值范围是。262.1_3 计算：。13.xx把- 中根号外的因式移入根号内，转化的结果是 ( ) A x B. -x C.- -x D.- x -2x11C2021/6/385部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
展开阅读全文