复数及其运算实用教案

1对对 象象复变函数(hnsh)、积分变换、场论主要主要(zhyo)任务任务研究复变数之间的相互依赖关系(gun x)，具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、积分变换、场论。复数与复变函数、解析函数、第1页/共73页第一页，共74页。2复变函数的应用复变函数的应用(yngyng)(yngyng)背景背景 世界著名(zhmng)(zhmng)数学家 M.Kline M.Kline指出：1919世纪最独特的创造是复变函数理论。 象微积分的直接扩展统治了1818世纪那样，该数学分支几乎统治了1919世纪。 它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。第2页/共73页第二页，共74页。316世纪(shj)，解代数方程时引入复数17世纪，实变数初等(chdng)函数推广到复变数情形18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步(zhb)阐明复数的几何、物理意义。19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函数的映射性质20世纪，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。20世纪19181716第3页/共73页第三页，共74页。4空气(kngq)动力学流体力学(li t l xu)电学热学(rxu)复变函数论复变函数论在空气动力学、流体力学、电学、热学、在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用。理论物理等领域有重要应用。复变函数论第4页/共73页第四页，共74页。5人人们们引引入入复复数数。在在实实数数范范围围内内无无解解方方程程如如从从解解代代数数方方程程开开始始，例例;01 : 2 x1 1) )基基本本定定理理。用用复复数数理理论论证证明明了了代代数数Gauss 02)1(sin, dxxxx如如应用于积分的计算应用于积分的计算2)2)时间几乎无关）。时间几乎无关）。（水、空气等的流速与（水、空气等的流速与具体用在平面稳定流动具体用在平面稳定流动，如：，如：应用于求解偏微分方程应用于求解偏微分方程 0 2222 yuxu3)3)第5页/共73页第五页，共74页。64）应用于计算(j sun)绕流问题中的压力、力矩。5）应用于计算渗流问题。 例如(lr)：大坝、钻井的浸润曲线。6）应用于平面(pngmin)热传导问题、电(磁)场强度。 例如：热炉中温度的计算。 最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算。 从而解决机翼的造型。第6页/共73页第六页，共74页。77）Laurent级数应用于数字(shz)信号处理。8）积分变换也是复变函数(hnsh)的重要应用。9）Laplace变换可以求解(qi ji)微积分方程。 tEdttiCdtdiLRiERLC0)(1 .(的直流电源，求电流的直流电源，求电流电压电压联电路接上联电路接上电阻、电感、电容）串电阻、电感、电容）串例如：例如：积分变换的理论需要复变函数的留数等理论。利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换。第7页/共73页第七页，共74页。810）Laplace变换应用(yngyng)于控制问题。在控制问题(wnt)中，传递函数是输入量的Laplace变换与输出量的Laplace变换之比。11）Fourier变换应用(yngyng)于频谱分析。12）Fourier变换应用于信号处理。频谱分析是把周期信号展开成Fourier级数，对各次谐波的频率、振幅、相位之间的关系进行分析。随着计算机的发展，语音、图象作为信号，在频率域中的处理要方便得多。第8页/共73页第八页，共74页。9第一章第一章 复数复数(fsh)(fsh)和复变函数和复变函数1-1 复数复数(fsh)及其运算及其运算1-2 复变函数复变函数第9页/共73页第九页，共74页。10一、复数一、复数(fsh)(fsh)的概念的概念,01 : 2实实数数范范围围内内无无解解在在方方程程如如为为了了解解方方程程的的需需要要，例例 x对虚数对虚数(xsh)(xsh)单位单位, ,作如下规定作如下规定: :; 1)1(2 i.)2(法法则则进进行行四四则则运运算算可可与与实实数数一一起起按按同同样样的的i. , 数数单单位位称称为为虚虚人人们们引引入入了了一一个个新新数数 i1-1 1-1 复数复数(fsh)(fsh)及其运算及其运算第10页/共73页第十页，共74页。11复复 数数 . 的的数数称称为为复复数数或或形形如如iyxzyixz , , 的的实实部部和和虚虚部部为为实实数数，分分别别称称为为其其中中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称称为为纯纯虚虚数数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我我们们把把它它看看作作实实数数时时当当 (real part) (imaginary part)第11页/共73页第十一页，共74页。12A 一般一般(ybn), (ybn), 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。0|22 yxz 复数的模 0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判断(pndun)复数相等第12页/共73页第十二页，共74页。13例例1 1解解z iiiz3)52)(43(求求。zzzz, ,Im,Re 设设( 620)(158)3ii 72633i 7Re,3z 26Im,3z 22(Re )(Im )zzzz49676997259 第13页/共73页第十三页，共74页。14定义(dngy) z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz二、代数二、代数(dish)(dish)运算运算第14页/共73页第十四页，共74页。15z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算(yn sun)规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数(shsh)相同）即，第15页/共73页第十五页，共74页。162121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 定义(dngy) 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.(conjugate)第16页/共73页第十六页，共74页。17例例 2 2.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的积是一个实数的积是一个实数因此：两个共轭复数因此：两个共轭复数zz第17页/共73页第十七页，共74页。18三、三、 复数复数(fsh)(fsh)的表示方法的表示方法构构成成了了一一一一对对应应关关系系。与与一一对对有有序序实实数数（这这样样，复复数数了了复复数数则则完完全全确确定定和和虚虚部部；反反过过来来，给给定定实实部部部部和和虚虚，则则确确定定了了实实部部给给定定复复数数), yxzzyxyxiyxz .),不不加加区区别别与与（因因此此，yxiyx 第18页/共73页第十八页，共74页。19.( ),( 如如图图）表表示示可可以以用用平平面面上上的的点点复复数数yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz 平平面面复复平平面面或或平平面面虚虚轴轴轴轴实实轴轴轴轴zyxA 数z与点z同义(tn y).第19页/共73页第十九页，共74页。20 , 的的模模或或绝绝对对值值该该向向量量的的长长度度称称为为 z. 22yxrz 记为记为xyxyoiyxz Pr显然(xinrn)成立：, zx , zy ,yxz .22zzzz 表示表示也可用复平面上的向量也可用复平面上的向量复数复数OPiyxz .性：长度、方向性：长度、方向向量具有两个重要的属向量具有两个重要的属第20页/共73页第二十页，共74页。21复数(fsh)和与差的模的性质;2121zzzz .2121zzzz , 2121故故之之间间的的距距离离和和表表示示点点因因为为zzzz 1z2z21zz xyo2z. 实实轴轴对对称称的的复复平平面面内内的的位位置置是是关关于于在在和和一一对对共共轭轭复复数数zzxyoiyxz iyxz 共轭复数(n f sh)的几何性质1z第21页/共73页第二十一页，共74页。22 . Arg , )(arg 0 zumentzOPz记记作作的的辐辐角角的的夹夹角角称称为为时时，则则把把正正实实轴轴与与向向量量当当注意注意(zh y) 1,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 )( 2Arg1为为任任意意整整数数kkz , 0 时时当当 z的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z辐角不确定(qudng)，没有辐角.注意注意(zh y) 2复数辐角的定义第22页/共73页第二十二页，共74页。23辐角主值的定义(dngy).arg , Arg , )0( 000zzz 记作记作的主值的主值称为称为的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 kzArgz2arg , 2, 1, 0 k如如何何确确定定辐辐角角？已已知知复复数数,iyxz 第23页/共73页第二十三页，共74页。24, 0 x)2arctan2( xy其中其中辐角的主值辐角的主值0 z zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,第24页/共73页第二十四页，共74页。25A 当z落于一,四象限(xingxin)时，不变。 A 当z落于第二(d r)象限时，加 。 A 当z落于第三(d sn)象限时，减 。 2arctan2 xy 第25页/共73页第二十五页，共74页。26利用(lyng)直角坐标与极坐标的关系 sincosryrx复数(fsh)可以表示成)sin(cos iriyxz 第26页/共73页第二十六页，共74页。27利用(lyng)Euler公式 irez 可可以以表表示示为为：则则复复数数)sin(cos irz ,sincos iei 第27页/共73页第二十七页，共74页。28例例 3 3 将下列将下列(xili)(xili)复数化为三角表示式与复数化为三角表示式与指数表示式指数表示式: :;5cos5sin)2(;212)1( iziz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因因z122arctan 33arctan,65 故 65sin65cos4iz.465ie 第28页/共73页第二十八页，共74页。295cos5sin)2( iz , 1 zr显然显然 52cos5sin ,103cos 52sin5cos ,103sin 故103sin103cos iz .103ie 第29页/共73页第二十九页，共74页。30例例 4 4求下列(xili)方程所表示的曲线:. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2 2 )1(的点的轨迹的点的轨迹为为距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程第30页/共73页第三十页，共74页。3122)2( ziz.22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i. 22段的垂直平分线段的垂直平分线的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i则则设设 , iyxz ,22 yixiyix化简后得. xy 4)Im()3( zi则则设设 , iyxz ,)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为第31页/共73页第三十一页，共74页。32 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , )( 如图如图与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S 作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 S . , 为南极为南极为北极为北极称称SNxyNOS , N点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一四、扩充复平面四、扩充复平面(pngmin)(pngmin)与复球面与复球面第32页/共73页第三十二页，共74页。33 球面上的点, 除去(ch q)北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们用球面上的点来表示复数. 球面上的北极(bij) N (bij) N 不能对应复平面上的定点，但球面上的点离北极(bij) N (bij) N 越近，它所表示的复数的模越大. .xyPNOS),(yx1P),(11yx第33页/共73页第三十三页，共74页。34 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面(pngmin)上的无穷远点相对应, 记作 . 因而, 球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何(j h)表示.xyNOS 第34页/共73页第三十四页，共74页。35包括无穷远点的复平面称为(chn wi)(chn wi)扩充复平面. . 不包括无穷远点的复平面称为(chn wi)(chn wi)有限复平面, , 或简称复平面. . 引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显(mngxin)地表示出来. 球面上的每一个点与扩充复平面的每一个点构成了一一对应, , 这样的球面称为复球面. .第35页/共73页第三十五页，共74页。36 的几何解释：的几何解释：由于在复平面上没有一点能与由于在复平面上没有一点能与 相对应相对应(duyng)(duyng)，所，所以，只得假想在复平面上添加一个以，只得假想在复平面上添加一个“假想点假想点”（或（或“理想点理想点”）使它与）使它与 对应对应(duyng)(duyng)，我，我们称此们称此“假想点假想点”为无穷远点为无穷远点 关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点关于无穷远点，我们约定：在复平面添加假想点后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，后所成的平面上，每一条直线都通过无穷远点，同时，任一半平面都不包含无穷远点同时，任一半平面都不包含无穷远点第36页/共73页第三十六页，共74页。37 这里要特别注意的是，这里的记号这里要特别注意的是，这里的记号 是一个数，是一个数，而在数学分析中所见的记号而在数学分析中所见的记号 + + 或或 均不是数，均不是数，它们只是表示它们只是表示(biosh)(biosh)变量的一种变化状态变量的一种变化状态为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了为使无穷远点有更加令人信服的直观解释，人们引入了黎曼球面（或复球面）：黎曼球面（或复球面）： 将一个将一个(y )(y )球心为球心为O O ，半径为半径为1 1的球按照以下方法搁在直角坐标系的球按照以下方法搁在直角坐标系 （图（图1-51-5）中（设复平面与中（设复平面与 坐标平面重合）坐标平面重合）, ,使球的一条直径与使球的一条直径与 轴重合轴重合第37页/共73页第三十七页，共74页。38由复数的表示式和代数运算由复数的表示式和代数运算(yn sun)得如下关系式得如下关系式 )( i21i2i1212121eeerrrrzz0,eee2)( i21i2i1212121zrrrrzz五、五、 乘积乘积(chngj)(chngj)与商与商第38页/共73页第三十八页，共74页。39即：即：2121zzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz定理1 两个复数乘积的模等于(dngy)它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于(dngy)它们的辐角相加。第39页/共73页第三十九页，共74页。40几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个(y )角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。A 定理定理(dngl)1(dngl)1可推广到可推广到n n 个复数的乘积。个复数的乘积。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2第40页/共73页第四十页，共74页。41izzizz2121, 1. 5则设例, 2, 1, 021 mmArgz , 2, 1, 0222 nnArgz , 2, 1, 022)(21 kkzzArg knm22223 代入上式代入上式要使上式成立(chngl),必须且只需 k=m+n+1.第41页/共73页第四十一页，共74页。42定理2 两个复数(fsh)的商的模等于它们的模的商， 两个复数(fsh)的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。即0,22121zzzzz)Arg()Arg()Arg(2121zzzz第42页/共73页第四十二页，共74页。43例例 6 6解解,3cos3sin ),31(21 21 iziz 已知已知,3sin3cos 1 iz因为因为,6sin6cos2 iz 63sin63cos 21 izz所以所以, i 63sin63cos 21 izz.2123i . 2121zzzz和和求求 第43页/共73页第四十三页，共74页。44. , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos : , ninrznnn 有有对任一正整数对任一正整数,sincos ,1 izz 即即时时特别，当特别，当 nininsincos)sin(cos de Moivr 公式(gngsh).1nnzz 定义 innnerz 由定义得由定义得六、六、 乘幂乘幂(chn m)(chn m)与方根与方根乘幂(chn m)第44页/共73页第四十四页，共74页。45例例7 7 求求 的值的值8) i1 ( 解： 故有故有 16e16e)2()e2() i1 (2i48i884i84ie2i1因为因为(yn wi)第45页/共73页第四十五页，共74页。46 , 次方根次方根的的的根称为的根称为，方程，方程给定复数给定复数nzzwzn nkinkrzwnnk2sin2cos1 )1, 2, 1, 0( nk可以(ky)推得:.nz记为记为从几何(j h)上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nzn . 1个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nnrn方根(fnggn)第46页/共73页第四十六页，共74页。47第47页/共73页第四十七页，共74页。48例例 8 8 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4sin4cos21 ii 424sin424cos2184 kiki)3, 2, 1, 0( k,16sin16cos280 iw即第48页/共73页第四十八页，共74页。49,1617sin1617cos282 iw.1625sin1625cos283 iw. 2 8圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点的的心在原点半径为心在原点半径为这四个根是内接于中这四个根是内接于中oxy1w2w3w0w,169sin169cos281 iw第49页/共73页第四十九页，共74页。50（1） 连续(linx)曲线. , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实函函数数和和如如果果btatyytxxtytx 平面曲线的复数(fsh)表示:)().()()(btatiytxtzz 七、平面曲线七、平面曲线第50页/共73页第五十页，共74页。51（2） 光滑(gung hu)曲线.0, )( )( , , )( )( , 22称称这这曲曲线线为为光光滑滑的的那那末末有有的的每每一一个个值值且且对对于于都都是是连连续续的的和和上上如如果果在在 tytxttytxbta 由几段依次相接(xin ji)(xin ji)的光滑曲线所组成的曲线称为按( (分) )段光滑曲线. .xyoxyo第51页/共73页第五十一页，共74页。52（3） Jordan曲线(qxin). )( )( , )()( :的的起起点点和和终终点点分分别别称称为为与与为为一一条条连连续续曲曲线线设设CbzazbtatzzC . )( , )()( 12121的的重重点点线线称称为为曲曲点点时时而而有有当当Ctztztztt 除起点与终点(zhngdin)(zhngdin)外无重点的连续曲线C C 称为简单曲线. . 起点(qdin)与终点重合的曲线C 称为闭曲线. 简单闭曲线称为Jordan(Jordan(若当) )曲线. .第52页/共73页第五十二页，共74页。53Jordan曲线(qxin)的性质 任意一条简单闭曲线 C 将复平面(pngmin)唯一地分成三个互不相交的点集.xyo内部(nib)外部边界第53页/共73页第五十三页，共74页。54课堂练习课堂练习判断下列曲线是否(sh fu)为简单曲线?答答案案简单(jindn)闭简单(jindn)不闭不简单闭不简单不闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 第54页/共73页第五十四页，共74页。55若若 是简单是简单(jindn)(jindn)曲线，曲线， 与与 是定义在区是定义在区间间a,b a,b 上连续并且有连续的导数，并且上连续并且有连续的导数，并且有有 ，则称，则称 为光滑曲线，由有限为光滑曲线，由有限条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑曲线曲线0)( tz逐段光滑(gung hu)曲线cc tx ty第55页/共73页第五十五页，共74页。56（1） 邻域(ln y). )( , 000邻邻域域的的称称为为的的圆圆内内部部点点的的集集合合为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以 zzzz 注意注意(zh y). , )( , 0 称称为为无无穷穷远远点点的的邻邻域域远远点点自自身身在在内内包包括括无无穷穷的的所所有有点点的的集集合合满满足足设设RzR 八、平面八、平面(pngmin)(pngmin)点集与区域点集与区域第56页/共73页第五十六页，共74页。57(2) 去心邻域(ln y). 0 00的去心邻域的去心邻域集合为集合为所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式zzz 注意注意(zh y)：. . , )( 0,R zRRz可可以以表表示示为为域域称称为为无无穷穷远远点点的的去去心心邻邻穷穷远远点点不不包包括括无无的的点点的的集集合合满满足足设设第57页/共73页第五十七页，共74页。58(3) 内点. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设GzGzGzG(4) 开集 如果G G 内每一点(y din)(y din)都是它的内点, ,那末称G G 为开集. .第58页/共73页第五十八页，共74页。59(5) 区域(qy) 连通的开集称为连通的开集称为(chn wi)(chn wi)区域区域, , 即：如果平即：如果平面点集面点集 D D 满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它为一个区域则称它为一个区域. . D是一个(y )开集； D D是是连通的连通的, , 就是说就是说D D 中任何两点都可以用完中任何两点都可以用完全属于全属于D D 的一条折线连结起来的一条折线连结起来. .(6) 区域的边界点、边界边界点：. , , 111的的边边界界点点称称为为那那末末的的点点于于的的点点，又又含含有有不不属属于于的的任任一一邻邻域域内内既既含含有有属属一一定定点点，如如果果为为为为一一平平面面点点集集设设EzEEzzE第59页/共73页第五十九页，共74页。60 注意(zh y)1： 区域的边界可能是由几条曲线和一些 孤立的点所组成的. 注意2： 区域D与它的边界一起(yq)构成闭区域 .Dz 1C2C3Cz 1C2C3CD的所有边界点组成(z chn)D的边界. 进一步地，设 D是一个平面区域, , 点 P 不属于D, 但 P P 的任一邻域内总有D的点, ,则称 P为区域 D 的边界点.第60页/共73页第六十页，共74页。61以上(yshng)基本概念的图示1z 2z 区域(qy) 0z 邻域(ln y)P 边界点边界(7) 有界区域和无界区域. , , 0, , 无界的无界的否则称为否则称为称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD 第61页/共73页第六十一页，共74页。62(1) 圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列(xili)区域是否有界?(2) 上半平面(pngmin):; 0Im z(3) 角形域:;arg21 z(4) 带形域:.Imbza 答案答案(d n)(1)有界; (2) (3) (4)无界.xyo第62页/共73页第六十二页，共74页。63例例 设点集设点集 则点则点 是是 的内点；的内点； 是是 的边界点；的边界点； 是是 的外点；的外点； 是开集且为有界集；是开集且为有界集； ， 是闭集且为有界集是闭集且为有界集即即 常称为常称为(chn wi)(chn wi)单位圆单位圆 这里这里(zhl)(zhl)的的 第63页/共73页第六十三页，共74页。64定义定义: : 若点集若点集D D为区域则称为区域则称D D 连同其边界连同其边界(binji) (binji) 所组成的点集称为闭域。所组成的点集称为闭域。 如果区域如果区域 D D 是有界集合，则称它为有界是有界集合，则称它为有界域，否则为无界域。域，否则为无界域。第64页/共73页第六十四页，共74页。65(8) 单连通(lintng)域与多连通(lintng)域的定义 复平面上的一个区域G, 如果在其中(qzhng)任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.单连通(lintng)域多连通域第65页/共73页第六十五页，共74页。66 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 必将复平面唯一必将复平面唯一(wi y)(wi y)地地分成分成 三个点集，使它们满足：三个点集，使它们满足：（1 1）彼此不相交；）彼此不相交；（2 2） 是有界区域（称为曲线是有界区域（称为曲线 的内部）；的内部）；（3 3） 是无界区域（称为曲线是无界区域（称为曲线 的外部）；的外部）； （4 4）C C 既是既是 的边界又是的边界又是 的边界；的边界；1D2D1D2D3.3.单连域和多连域单连域和多连域外部(wib)第66页/共73页第六十六页，共74页。67例例设设 ， E表示上半平面由定义得知，由定义得知， 是单连通区域是单连通区域D表示环D D 是多连通区域是多连通区域第67页/共73页第六十七页，共74页。683 例题例题(lt)例例 1 1 指出下列不等式所确定的点集, 是有界的还是(hi shi)无界的,单连通的还是(hi shi)多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz 解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通(lintng)域(如图).第68页/共73页第六十八页，共74页。693arg)2( z,3arg33arg zz是角形域,无界的单连通(lintng)域(如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通(lintng)域. 第69页/共73页第六十九页，共74页。70411)4( zz表示到1, 1的距离(jl)之和为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆(tuyun),411 zz因因 ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通(lintng)域.第70页/共73页第七十页，共74页。71111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 2 r , )( 2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界集.但不是(b shi)区域.第71页/共73页第七十一页，共74页。72例例 2 2解解 满足(mnz)下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条(y tio)平行于实轴的直线, 不是(b shi)区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域.第72页/共73页第七十二页，共74页。73感谢您的欣赏(xnshng)第73页/共73页第七十三页，共74页。NoImage内容(nirng)总结1。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。1-1 复数及其运算。数z与点z同义.。辐角不确定，没有(mi yu)辐角.。四、扩充复平面与复球面。引入复球面后，能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.。要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.。除起点与终点外无重点的连续曲线C 称为简单曲线.。起点与终点重合的曲线C 称为闭曲线.第七十四页，共74页。