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第一章 X射线动力学理论(lln)考虑与发展 X射线运动学理论的基本假设与成功之处 X射线运动学理论的不足之处 X射线动力学理论考虑(kol) X射线动力学理论的发展过程第1页/共98页第一页，共99页。运动学理论运动学理论(lln)的几点假定及成功的几点假定及成功假定：1，原子的规则点阵排列；2，原子只散射入射波，原子为散射点波源；散射强度很弱,由于二次散射引起(ynq)的散射强度可以忽略不计,从而:3，晶体的折射率为1；4，晶体对入射波及衍射波无吸收；5，不考虑全过程的能量守恒。第2页/共98页第二页，共99页。第3页/共98页第三页，共99页。2cos2cos22424022422042RcmeIRcmEeEIee原子由原子核及核外电子(h wi din z)组成，由于质量为单电子质量的1840倍，而由Thomson方程，散射光的强度与m2成正比，因此，讨论X射线对原子的散射可以只考虑电子散射的贡献。第4页/共98页第四页，共99页。假定：电子集中在原子核中心，原子不作热振动，并且理想地按空间点陈排列。入射X射线束严格平行，波长(bchng)单一，且只被散射一次，不再被其它原子散射原子可以看做点波源，材料的折射率为1，入射束和散射束通过晶体时无吸收。当X射线照射到晶体上时被晶体内的原子所散射，散射波好象由原子中心发出一样，即每个原子中心发出一个单位球面波。因晶体中的原子是周期性排列的，这些球面波之间有固定的位相关系，符合相干条件，发生干涉，在某些方向加强，在某些方向相消，出现衍射极大。衍射束的强度和方向可通过实验测定与结构相关的物理量来得到，从而导出这些物理量与晶体点阵周期、晶体内原子种类、个数及排列方式、点阵相对于入射线的方向及波长(bchng)之间的关系（Laue方程和Bragg方程）第5页/共98页第五页，共99页。成功成功(chnggng)之处：之处：1. 解决了衍射极大方位，在= B处满足Bragg定律2d sin=2. 衍射线宽反比于晶粒尺寸(ch cun)：Scherrer 公式hkl=k /(Lhklcos)3. 衍射强度与结构因子的平方成正比：VeAconFPNmcerLIIMhklhklchkl222222230)(sin2cos1|)(32第6页/共98页第六页，共99页。运动学理论运动学理论(lln)的困难的困难对大块完整晶体的衍射，上述运动学理论遇到麻烦：初级消光：进入晶体的射线被一族晶面反射后，有可能被另一部分晶面再反射，出现多重反射，次生的反射与入射线方向一致，但位相相反，产生(chnshng)相消干涉，使透射线强度下降。第7页/共98页第七页，共99页。对小晶体(jngt)有Bragg反射，但对大晶体(jngt)无Bragg反射第8页/共98页第八页，共99页。Borrmann效应效应(xioyng)，1941P1P2P3 t1 (50)通常(tngchng)，I=I0e- t，当 t1，I将很小，在照相底片上难以分辨。t I/I0 I0=1051 0.37 3.7*104104.5*10-5 4.5*100202.1*10-9 2.1*10-4501.9*10-22 1.9*10-17100 3.7*10-44 3.7*10-39第9页/共98页第九页，共99页。 能量守恒能量守恒 IN2|Fhkl|2, N为晶胞为晶胞(jn bo)数。当数。当N很大时，很大时，I很大，这与能量守恒不符很大，这与能量守恒不符第10页/共98页第十页，共99页。第二章X射线动力学理论(lln)的发展 实际的动力学理论不是为完善运动学理论而发展起来的，而是先于运动学理论而建立的 自1912年，Laue,Fridrich,和Knipping发现X射线具有衍射能力后，早在1914年，Darwin第一次考虑(kol)多波散射：X 射线反射是晶体中一系列原子面的反射，导出递推公式及摇摆曲线（Rocking Curve) 的概念，但由于实验测量强度与计算强度不符，Darwin提出晶体的“mosaic structure”概念。第11页/共98页第十一页，共99页。 1916年，Edwarld把原子看成(kn chn)是周期性偶极子排列，从基本散射过程出发来导出动力学理论：认为每一个谐振子的振动都是在所有其它谐振子的基本波场中的振动，特点是自洽。Edwarld 方法中引入了入射波在晶体中色散的概念，从而解释了高度完整晶体的“Pendellosung fringe”。 1928年，Bethe发展了电子散射的动力学理论：把晶体内的周期性势场看成(kn chn)是电子散射的“媒介”，这里特别提到他的贡献是由于他运用了量子力学的方法，对进一步发展X-射线和电子的散射理论都是非常重要的。 1931年，Laue发表一篇关键性的论文中指出，X射线动力学理论的基本问题是求复周期介电常数的Maxwell方程的电磁波解，在其平面波理论中对动力学衍射的基本概念进行了解释，如色散、Pendellosung解、异常透射等。第12页/共98页第十二页，共99页。Darwin, Edwald, 及Laue是三位杰出的物理学家，他们发展了X射线散射的动力学理论的框架，特别是Laue处理问题的方法更优美和完全。许多近年来发展的动力学理论都在此框架上发展起来的。按照先驱们的设计，科学家们已经建立起X射线衍射动力学的体系基础。1941年，Bormann发现以他名字命名的效应(xioyng)异常透射效应(xioyng)（Bormann Effect)，这是动力学理论的一个最具重要意义的早期实验 验证动力学理论的正确性1945年与1950年，Zachariasen及James分别出版了两本动力学理论方面的专著，介绍了Darwin, Edwald, 和Laue的动力学理论框架第13页/共98页第十三页，共99页。 1958年，Lang建立了投射形貌技术(jsh)完整晶体的缺陷研究技术(jsh) 1959年，Kato, Lang, 等观测到斜劈形晶体中的Pendellosung Fringe, 为了解释实验结果，1961年Kato修改了Laue的理论，发展了动力学衍射的平面波理论，提出了球面波理论 1962年，Takagi提出了描述X射线衍射动力学散射理论的微分方程，类似于Howie和Whelan建立的电子动力学散射的基本微分方程，Takagi方程对解决任何畸变晶体中的动力学问题是强有力的工具。随后，Penning 和Pelder对畸变晶体的动力学处理也提出相应的理论。 至此，动力学理论的构架基本完成第14页/共98页第十四页，共99页。第三章第三章 动力学理论动力学理论(lln)的考虑的考虑研究对象研究对象介电晶体：介电常数介电晶体：介电常数(ji din chn sh)动力学理论是研究晶体内部入射光与散射光的交互作用，因此有动力学理论是研究晶体内部入射光与散射光的交互作用，因此有必要弄清晶体内部入射光的具体传播过程。必要弄清晶体内部入射光的具体传播过程。根据电磁学理论，入射光可以看做是作用在晶体上的外场根据电磁学理论，入射光可以看做是作用在晶体上的外场物质是由正负电荷组成的体系，原子核是一个带正电荷的点阵，物质是由正负电荷组成的体系，原子核是一个带正电荷的点阵，电子则连续分布于这个点阵中呈周期性分布，整体为电中性。当电子则连续分布于这个点阵中呈周期性分布，整体为电中性。当X射线入射到晶体上，相当一外加电磁场于晶体上，从而所有带射线入射到晶体上，相当一外加电磁场于晶体上，从而所有带电粒子产生运动，在晶体内产生附加电磁场，这个新产生的附加电粒子产生运动，在晶体内产生附加电磁场，这个新产生的附加场与外场叠加，则形成了晶体内的波场。由于原子核质量很大，场与外场叠加，则形成了晶体内的波场。由于原子核质量很大，可忽略核的运动，因此问题就变成计算一个电磁波在周期分布电可忽略核的运动，因此问题就变成计算一个电磁波在周期分布电子云组成的介质中的传播问题，即解介质中的子云组成的介质中的传播问题，即解介质中的Maxwell方程。方程。第15页/共98页第十五页，共99页。1. 物理考虑：物理考虑：入射光入射光-晶体的外场晶体的外场晶体晶体正、负电荷组成正、负电荷组成 核核点阵点阵电子电子连续分布连续分布入射光对电子作用入射光对电子作用电子在晶体波场中作受电子在晶体波场中作受迫振动迫振动设入射光为平面波，电场设入射光为平面波，电场(din chng)分量为分量为E=E0exp(it)电中性第16页/共98页第十六页，共99页。2. 电子电子(dinz)运动方程：运动方程：)exp(02022tiEexmdtxdmdtxdm方程(fngchng)的稳态解为：),exp(tiAx令0第17页/共98页第十七页，共99页。2020)exp(tiEmex第18页/共98页第十八页，共99页。第19页/共98页第十九页，共99页。3. 介电极化率和介电常数介电极化率和介电常数(ji din chn sh)第20页/共98页第二十页，共99页。代入第21页/共98页第二十一页，共99页。介电常数(ji din chn sh)极化分量(fn ling)的估算第22页/共98页第二十二页，共99页。相关参量(cnling)为复数第23页/共98页第二十三页，共99页。晶体中的波动晶体中的波动(bdng)方程方程g ghE=D-4 P=D/ B= H两边(lingbin)代入上式第24页/共98页第二十四页，共99页。 A= ( A)- 2A h10-6 -10-5波动(bdng)方程第25页/共98页第二十五页，共99页。动量(dngling)守恒晶体(jngt)内的波矢Bloch定理(dngl)X射线在晶体中传播的波动方程：将及D的傅立叶展开代入上述波动方程，得到有关傅立叶系数之间的关系 第26页/共98页第二十六页，共99页。要求各傅立叶系数都等于零，这样就得到所有Kh矢量所满足(mnz)的方程：0)()(22hhhhhhhhDKKDKK动力学理论的基本(jbn)方程！第27页/共98页第二十七页，共99页。Bloch波的基本(jbn)性质 基本形式：周期性函数(hnsh)，振幅可以调制：hhhriKDrD)exp()( 利用(lyng)Bragg条件hKKh0 得到hhhhhrihDriKriKDrD)exp()exp()exp()(0第28页/共98页第二十八页，共99页。横波性-Dh垂直于波的传播(chunb)方向：由0D得到(d do)0)exp()()exp()exp()(riKDKiriKDriKDrDhhhhhhhhhh对任意(rny)Kh成立，则0hhDK波场中其它波矢量的形式与D相似第29页/共98页第二十九页，共99页。各波矢量的关系(gun x)hhhriKDiwtrDiwtD)exp()exp()()exp(hhhriKEiwtrEiwtE)exp()exp()()exp(hhhriKHiwtrHiwtH)exp()exp()()exp(tHctBcE11hhhhhHcEKhhhkHEK由得到(d do)第30页/共98页第三十页，共99页。tDcH1hhhhhDcHKhhhkDHK同样可以(ky)得到第31页/共98页第三十一页，共99页。其它(qt)正交关系：0hhDK0hhDH0hhHK0hhHE另外(ln wi)，对于能流S，有hhHES0SHh可以(ky)证明第32页/共98页第三十二页，共99页。HhKhSEhDh晶体(jngt)中场矢量的方向关系Eh, Dh, S, Kh在垂直于Hh的平面(pngmin)内，S是Poynting矢量Eh, Hh, S组成(z chn)正交体系；kDh, Hh, Kh组成(z chn)正交体系；Eh, Dh, S, Kh共面第33页/共98页第三十三页，共99页。利用上述关系式知道，当知道Dh和Kh可以唯一确定所有的其它(qt)矢量从上面(shng min)的关系，不难得到：)(2hhhhDKKKH,)1(DE00)1(hhhhhDDE第34页/共98页第三十四页，共99页。0)()(22hhhhhhhhDKKDKK单光束(gungsh)情形0, 0hh0)(20202kKk第35页/共98页第三十五页，共99页。2002)1 (Kk)211 ()211 (|00KKK引入折射率1)21 (2112200mNeKkn理解(lji)K0 的轨迹！第36页/共98页第三十六页，共99页。双光束近似(jn s)0)()(22hhhhhhhhDKKDKK动力学理论的基本(jbn)方程:只考虑入射波(K0)和倒格矢量为h的衍射(ynsh)波(Kh),即在动力学基本方程中,h和h可取两个值:h=0和h=h, 得到:)()()(BACCABCBA利用可将上式写成:0)()()(2hhhhhhhhhhhhDKKDKKDKKk1. 双束近似方程推导:第37页/共98页第三十七页，共99页。对衍射(ynsh)束,有hhhh, 0,代入上述基本(jbn)方程hhhhhhhhhhhhhhhDKKkDKKKDKDKKKDK)()()()()(20000Eq.10002000000000000)()()()()(DKKkDKKKDKDKKKDKhhhh对入射束,有hhh, 0, 0代入上述(shngsh)基本方程Eq.2两束近似的耦合方程!第38页/共98页第三十八页，共99页。D0D022DhDhK0Kh第39页/共98页第三十九页，共99页。C=D0Dh1 cos2 B 0h二波近似(jn s)方程组:第40页/共98页第四十页，共99页。理解(lji)形状：旋转双曲面2支共8个可激发点已知激发点，或偏离参数(cnsh)，不仅知道晶体中的波矢大小，还知道晶体中电位移矢量振幅的比值从而知道所有的参量：Maxwell方程hhhPk22041第41页/共98页第四十一页，共99页。色散色散(ssn)面与色散面与色散(ssn)几何几何运动学色散(ssn)面，假定晶体中的波矢为平均值K=(1+/2)/真空第42页/共98页第四十二页，共99页。第43页/共98页第四十三页，共99页。u边界条件边界条件K0-k0=k n波矢沿切向连续(linx)激发点应在法向与色散(ssn)面的交点1. 波矢切向分量(fn ling)连续第44页/共98页第四十四页，共99页。Laue情形下色散面上激发的结点(ji din)A&B入射矢量方向取决于衍射波矢（衍射晶面）2.晶体中入射光在色散面上激发的结点(ji din)图解(Laue)第45页/共98页第四十五页，共99页。方向方向(fngxing)参量的定义参量的定义Laue case第46页/共98页第四十六页，共99页。Bragg case第47页/共98页第四十七页，共99页。第48页/共98页第四十八页，共99页。OHABPL0L第49页/共98页第四十九页，共99页。波矢与振幅(zhnf)比BBKPL2sin2sin0000002121)(KKKKKiii令有002121)(KKKKKKgiigig代入色散(ssn)面方程，有第50页/共98页第五十页，共99页。,41220gggPK得到(d do)： 041210220020gggigiPKK式中.1200g上述(shngsh)方程的解可以写为：第51页/共98页第五十一页，共99页。.411641210222220200gggggiPKK对于Laue情况(qngkung)，可以证明.41164121022222020gggggPKK所以(suy)，负号对应色散支1（i=1) 正号对应色散支2（i=2)第52页/共98页第五十二页，共99页。知道色散面激发点，我们可以(ky)通过基本方程求电位移矢量的振幅比：./2/42/100220PPDDRgggggiigi知道节点（激发点）是非常重要的，它确定了波矢K0i, Kgi 及电位移矢量振幅比，它们与入射晶体(jngt)的角偏离有关。而且，当，Ri向相反的方向变化，为简化，引入：,)(22/102/1gggPy第53页/共98页第五十三页，共99页。波幅(bf)比可以写为：.12210yyRgggi第54页/共98页第五十四页，共99页。)2exp()2exp()2exp(2211eieggeggrKiDrKiDrKiD当光穿过界面时,场矢量(shling)D和H的切向分量连续;由于X射线对晶体的折射率非常接近于1,因此可以忽略界面的反射,即除非入射情形,可以忽略界面的存在.这就要求总的场矢量(shling)的分量的入射波矢和衍射波矢必须相等,即:这里(zhl)假定真空中的入射波矢:)2exp(eirKiDD当取re为原点,有:Dg1+Dg2=Di,g=0, g或 Dg1+Dg2=Di, Dg1+Dg2=0.第55页/共98页第五十五页，共99页。利用振幅(zhnf)方程,有2022101102122/1,1DRDDRDDDyyRggiigggi代入上式,得到(d do):DyyDyyyyyyDRRRD212212212212122101121111DyyDRRRD212211101121第56页/共98页第五十六页，共99页。DyDRRRRRDDgggg21221012211101121DyDRRRRRDDgggg21221021212202121这样,利用边界条件就得到晶体内部的场矢量大小与晶体外真空(zhnkng)入射场矢量大小之间的关系. 注意到下式:, 11lim212 yy当y时, 因此(ync)有第57页/共98页第五十七页，共99页。y 时, D02=D, D01=0, Dg1=Dg2=0y -时, D01=D, D02=0, Dg1=Dg2=0当远离(yun l)Bragg条件时(y=):当Bragg条件严格(yng)满足时(y=0)DDDDDDggg21,/211010021对称(duchn)Laue条件下(y=0, 0= g), 有:D01= D02= Dg1= Dg2=D/2第58页/共98页第五十八页，共99页。定义两支色散(ssn)面上两结点之间的距离为色散(ssn)面直径, 对于0= g时,计算得到:BggggKKKKPTPTdscos/21210101020020100101021第59页/共98页第五十九页，共99页。只考虑出光面与入光面平行的情况,在原理上与入光面情形类似,但由于波在晶体中传播了t厚度,因此有i2Kgzit位相差,根据界面处总的场矢量的分量的出射波矢和衍射波矢必须(bx)相等,有)2exp()2exp()2exp(002020110dzdzoztKiDtKiDtKiD)2exp()2exp()2exp(2211dgzdggzggzgtKiDtKiDtKiD类似(li s)入射面条件:,12210DRRRD,21120DRRRD,12211DRRRRDg.21212DRRRRDg第60页/共98页第六十页，共99页。得到(d do):)2exp()2exp()2exp(202111012200zzdzdtKiDRRRtKiDRRRtKiD)2exp()2exp()2exp(2212111221gzgzdgzdgtKiDRRRRtKiDRRRRtKiD根据(gnj)边界条件KKKKKKKdiizdzigzdgz000,及入光面(un min)与出光面(un min)平行的原则,可以推出:21121221122121121221120expexpexpexpexpexptKiRtKiRtKiRRDRRDtKiRtKiRtKiRRDDdgd这就是入射与衍射波幅在出光面真空中的矢量值.第61页/共98页第六十一页，共99页。另外(ln wi),由iggiPTKKKnK/21/21000021022222020041641gggggiPKKK00212KKKg21202102221142yPKPKKgggggggg及分别对D0d, Ddg取复共扼,可以(ky)得到透射系数与反射系数:第62页/共98页第六十二页，共99页。.11sin,11cos222220022222yyADDRyyAyDDTdgdg,00ggKPtAg/0是不对称(duchn)修正即T和R是随晶体(jngt)厚度t作周期变化的,且周期相同, 周期为:21202021,11yKPtyKPtyAgggcgggc有效消光(xio un)距离第63页/共98页第六十三页，共99页。对对称(duchn)Laue 情形: 0=g=cosB, y=0, 有:dsKPggB1cos210对不同材料不同晶格(jn )面具有的有效消光长度.第64页/共98页第六十四页，共99页。Ge(hkl)=1.5405=0.7107第65页/共98页第六十五页，共99页。T,R是y的准周期函数(zhu q hn sh),当y=, T1, R0, 这是晶体中只有一束波被激发而无相互干涉,T和R是互补的,且有:1 RT这表明(biomng)任意入射角偏离y及一定厚度t,能量守恒第66页/共98页第六十六页，共99页。5, 小结(xioji)1)透射波(波幅或强度)与入射波是随晶体厚度周期变化的,变化周期0叫消光距离;所以出现两束波的能量交换是由于激发是在两支色散(ssn)面上的结点,然而在晶体的同一深度,两束波的能量是互补的.2)当两束光通过晶体时能量从一束光传给另一束光,这种现象就叫做Pendellosung现象.Edwald首先从理论上预言了这种现象,1965年Malgrange等从实验上证实Pendellosung现象.类似于力学上两个摆耦合的Pendellosung现象.3)R,T相互交互,交换的周期为消光距离.典型的消光距离为1-100m.第67页/共98页第六十七页，共99页。Laue情形下每支色散面有两个激发点，每个激发点有两个光束（入射和散射），共有8个光束。能流Poynting矢量沿色散面法向，而且只有(zhyu)在出光面分解为向前的衍射光束和衍射光束。第68页/共98页第六十八页，共99页。6. Bragg情形(qng xing)许多情况下从数学的观点区分Bragg和Laue情形(qng xing)并非非常必要,但要注意两种情况下所激发结点的差别:前面已经叙述了Laue情形(qng xing)下结点的激发.根据Bragg几何,倒空间Bragg情形(qng xing)的色散面应该如下图:00, g1 (50)。IN2|Fhkl|2, N为晶胞数。利用上述关系式知道，当知道Dh和Kh可以唯一确定所有的其它矢量。及入光面与出光面平行的原则,可以推出:。g/0是不对称修正(xizhng)。对不同材料不同晶格面具有的有效消光长度.。无节点激发，晶体有效排斥波场（若无吸收）。但对不同激发支、不同极化光的吸收明显不同。谢谢您的观看第九十九页，共99页。
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