高代题库试题与答案

高等代数(下)试题(10)一 填空题(每小题三分共15分)1 A,B为n阶可逆矩阵，C= O A，则C 1二2 A为n阶矩阵，卜=*，则(3A) 1 A* =3设f是一个n元负定的二次型，则二次型f的秩等于.4 设1, 2,. n线性无关，W=L( 1, 2,. n)，则W的维数为。5 数量矩阵A=aE的特征根为。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是m n矩阵,B是n m矩阵，则()(A) 当mn时，必有行列式AB 0(B) 当mn时，必有行列式 AB =0(C) 当nm时，必有行列式AB 0(D )当nm时，必有行列式 ab =02设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是()A)r=1;(B) r=2;(C) r=m (有限数)；(D)r=1 或4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A) 1;(B) n；(C)n! ;(D)无穷多.5 设向量空间 W= (a,2a,3a) a R,则W的基为：()(A) ( 1,2, 3,);( B)(a, a ,a；(C)( a , 2a 3a) ;(D) (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三 (15分)2 2 371 10 X= 1 求 X12 14四(15分)把二此型f (,X 2 ,X3)= Xg + X1/3+ X2X3通过非退化线性替换化成平方和 五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量 i生成的子空间 交的基和维数1) 1(121,0)， 2 ( 1,1,1,1)2)1(2, 1,0,1)，2( 1, 1,3,7)六（10分）求矩阵51 1A= 60 231 1的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶矩阵，A3=2E,证明B=A2-2A+2E可逆，并求 B 12 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。证明:3设U是n维向量空间V的非平凡子空间, 存在不止一个V的高等代数(下)试题(9)一 填空题(每小题三分共15分)1 若 A=a,贝U AA/ =.12342 A=1245，则秩 A=。1 10123 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x1x3+6x2x3为正定二次型。4 形如A= 0 a的矩阵(a F)作为M2 (F)的子空间，a 0其维数为。5设n阶矩阵A满足A2=A，则A的特征根只有.二单项选择题(每小题三分共15分)的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是()(A) A B = A + B(B) (A+B) 1 =A 1 +B 1(C) AB=BA(d ) 若 AB=B+E，贝U有 BA=B+E2 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A2+B2+C2=()(A) 3E(B) 2E(C) E( D) O 矩阵3设1, 2,. S与1, 2,. m均为向量空间V中向量，L ( 1, 2,. n )=L ( 1, 2,. S )，则下列结论成立的是()(A)S = m；(B)1 , 2 ,. S 可由 1, 2,. m 线性表出；(C) 1, 2,. S 是 L( 1, 2,. m)的一个基(D) 1, 2,. S线性相关时，必有1, 2,. m也相关+4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+(W1 W2) = W1(D ) W1+(Wi W2) = W2 5设A= 5 5，则A的特征根为（A）1 （二重）；（B）5 （二重）(C)-4, 6；(D) 1, 5（15 分）1 2 2已知A= 212，求 A 1 及(A*) 12 2 1四 （15分）把二此型2 2 2f( x 5 ,x2 ,x3)= x5 +2 x2 +4x3 +2 x5x2 +4x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量i （1=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数2=(-1, 1, 0，3)4=(5, -1 , 2, 1)i=（2,0，1,2）3=（0，2, 1, 8）六（10分）求矩阵181的特征值与特征向量七 证明题（15分）1 A,B 为 n 阶方阵，ABA=B 1,证明秩（E-AB）+秩（E+AB）=n.2 证明：若A为正定阶矩阵，则 A 1也为正定阶矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 Wi Vi ,1=1,2,使得V= W1 W2高等代数（下）试题（8）填空题（每小题三分共15分）1 A=,B为秩等于2三阶矩阵，则秩AB=a?2 A= bi b22a1 2a2,B= bb b2 ,A=2，则 2A B=2 2 23 实二次型 f( x 1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩为 ;符号差为4 是向量空设间V中的一个向量，贝U 的负向量由 唯一确定5齐次线性方程组（E A） x=0的 R是A的 征向量一一A0 161 1302430-B二单项选择题（每小题三分共15分）1 A ,B, C都是n阶矩阵，且ABC=I，则（）成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C)ACB=I (D) BCA=I2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为( )(A) A+B 对称；(B) AB对称;(C) Am+Bm对称;(D) AB+BA 对称。3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是( )(A)r=1;(B) r=2;（C）r=m （有限数）;(D)r=1 或4 数域F上n维向量空间V有（ ）个基(A)1；(B)n；(C)n!；(D)无穷多155 设 A= 51则A的特征根为( )(A) 1 (二1重）(B) 5 (二重);(C)-4,67(D) 1, 5三 （15分）解矩阵方程XA=B+2X，其中四（ 15 分）把二此型f( x 1 ,x2 ,x证明：如果 V1 V2，V1=V11 V12，则 V= V11 V12 V2.)=x1 x2 +4x 1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五(15分)求由向量生成的子空间与由向量生成的子空间 交的基和维数i (3, 1,2,1)2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)2(2, 3,1,6)六(10分)求矩阵的特征值与特征向量o O 1O13 6七证明题(15分)1设A为n阶矩阵，A 0,且人=0, B为n阶可逆矩阵，证明 当AX=XB时，必有 B=02设A实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵。a1a22a12a21 A= b1b2,B= b1b2高等代数（下）试题|AJ=2,则2A B0 2 12 1113 0=A2,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩AB=23 二次型 f(x 1 ,x2, x3)= x1 +2x1x2 +2 x2x3 则 f 的秩为。正惯性指标为。2 2 24 t 满足时二次型 2 x1 + x2+5x3+2t x1x2 -2 x1 x3+4x2 x3 为正定二次型。1aa .aa1a .a5 An n= aaa .1特征值为单项选择题（每小题三分共15分）的2 2 21 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，贝U A +B +C =（）（A）3E（B） 2E （ C） E（D） O 矩阵(A) W1 W2(B) W1W2(C) W1+W2(D) W1+V2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有（）11(A)(A *) 1= IA A(B) A 1= IAA*(C)* *AA = A A =A* 1I(D) (A )1=闪A3设W1，W2都是V的子空间，则不一定 V的子空间的是（）4设是矩阵A的特征根，并且有A 0，则 1是的特征根(A) -A(B) A/(C) A1(D) A5设向量空间 W= （a,2a,3a） a R,则W的基为:(A) ( 1,2, 3,)(B) (a, a ,a ;(C)( a , 2a 3a)(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3)三（15分）1a12aa1 n.n 1n 2.1A= aaa求A四（ 15 分）把二此型2 2f（ x1 ,x2 ,x3 ）= x1 -3 x2 -2 x1 x2 +2 x1x3 -6x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间 交的基和维数1(2,5, 1, 5)2( 1,2, 2,3)1 (1,2, 1,2)2(3,1, 1,1)J3( 1,01, 1)六（10分）求矩阵21 012 1A=01 2的特征值与特征向量七 证明题（15分）22a B1 设A,B为n阶矩阵，A =B =1且A + B =0，证明 （A+B ）不可逆。2为m n阶实矩阵，B= E+ AA ,证明：当 0时，B为正定阶矩阵/ 03 A为n阶实反对称矩阵，即A = - A，证明：若 是矩阵A的特征根，0则-也是矩阵A的特征根1 A为n阶矩阵,A是A的伴随矩阵，贝U AA121212 A= 1102，则秩A=o2 2 2填空题(每小题三分共15分)高等代数(下)试题3 实二次型 f( x1 ,x2 ,x3)= x1 +2 x1x2 -2 x2 -x3 的秩为;符号差为。4 数域F上任意n维向量空间V都可表为 一维子空间的直和25 设n阶矩阵A满足A =A，则A的特征根只有。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A是3矩阵，则2A等于()(A) -2 A (B) 2 A (C)-8 A (D) 8 A2 A ,B，C都是n阶矩阵，且ABC=I，则()成立(A) CBA=I (B) BAC=I (C) ACB=I (D) BCA=I3 设1, 2,S与1, 2,m均为向量空间 V中向量，L ( 1, 2,n)=L ( 1, 2,. S)，则下列结论成立的是()(A) S=m; (B)S可由n “m线性表出；(C) 1,厂S是L( 1, 2,m)的一个基(D) 1, 2,S线性相关时，必有 1, 2,m也相关4设向量空间 W= (a,2a,3a) a R,则W的基为：(A)( 1,2, 3,)；(B)(a, a ,a ；(C)( a , 2a 3a)；(D)(1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0,0, 3)0 0 0 300132 2 0 01OO O-A设则A的特征根是(A) 1 (四重) ;(B) 1 (二重),2 (二重)(C) 2 (二重)，3 (二重)；(D)1 (二重)，2, 3三(15分)* 、 _ * 1设A是A的伴随矩阵，X满足A X=A +2X，求矩阵X，其中1 11 1A=四1 1（15 分）把二此型f (,x 2 ,x3)= 2x1 x2 +2x 1,x3-6 x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量( 1=123,4)生成的子空间的基与维数1(2,1,3,1)2(1,2,0,1)3 ( 1,1, 3,0)4(1,1,1,1)六(15分)求矩阵1 2 2311A= 221的特征值与特征向量七证明题(15分)1设A为n阶反对称矩阵，(即AT = -A)，E-A，E+A皆可逆, 2如果A1A m是n阶正定矩阵，k1 -km是正数,证明：k1 A1+ km Am也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数（下）试题（5）一 填空题（每小题三分共15分）En O1 A= En En , En为n阶单位矩阵，则A 1 =。22 A为n阶矩阵，A =，则（3A） A =。3正定二次型的特征根都是。4设1, n线性无关，W=L （ 1, 2,. n），则W的维数为。5 齐次线性方程组（E A）X=O的 E是A的特征向量。二单项选择题（每小题三分共15分）1设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则（）（A）当mn时，必有行列式AB 0（B）当mn时，必有行列式AB =0（C）当nm时，必有行列式AB 0（D ）当nm时，必有行列式AB =02 A,B 为 3 阶矩阵，A=（ , 2 2, 3 3）B=（ ,2, 3）,2,3 三维列向量，A =18，B =2, A B =（）3设向量空间V中含有r个向量，则下列结论成立的是（）A）r=1 ；（ B） r=2；（C）r=m（有限数）；（D）r=1 或4 设1, 2,. S与1, 2,. m均为向量空间V中向量，L（ 1, 2,. n）=L(1, 2,. S）， 则下列结论成立的是（)(A)S=m;(B)1, 2,. S可由1, 2,m线性表出；(C)1, 2,S是L( 1, 2,m)的一个基(D)1, 2,. S线性相关时，必有1, 2,. m也相关a r5 设向量空间 W= （a,2a,3a）,则W的基为：（）（A）（ 1,2, 3,）；（ B）（ a, a ,a ；（C）（ a , 2a 3a）；（ D）（1 ,0, 0）, （0, 2 ,0）, （0,0, 3）三 （15分）解矩阵方程XA=B+2X，其中5 1 02 31A= 216B=四（15分） 把二此型2 2 2f（ x =(2, 0, 1, 2),x2 ,x= (0， 2, 1, 8)）= x1 +2 x2 +4x3 +2 x1x2 +4x2x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）在P4中，求由向量i （1=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数2=(-1, 1, 0, 3)4=(5,-1, 2, 1)的特征值与特征向量七证明题（15分）1设A为n阶反对称矩阵,(即 AT = -A), E-A , E+A 皆可逆,2 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A+B也是正定矩阵。3 设U是n维向量空间V的非平凡子空间， 证明：存在不止一个 V的子空间W，使得V=U W。高等代数(下)试题(4)一 填空题(每小题三分共15分)1 若 A = A|,则 | A=.2设A为n阶矩阵，秩A=n-1,B非零，n阶矩阵，AB=0,则秩B=。2 2 23 t 满足时二次型 x1 +4 x2 +x3 +2t x1x2+10 x 1x3 +6x2x3为正定二次型。0 a4 形如A= a 0的矩阵(a F)作为M2( F)的子空间，其维数为 5 数量矩阵 A=aE 的 特征根 为 。二单项选择题(每小题三分共15分)的1 A,B为n阶矩阵，则下列式子成立的是()(E) A B A B(E) =+1 1 1(F) (A+B) =A +B(G) AB=BA(h) 若 AB=B+E，贝U有 BA=B+E2 2 22 A,B，C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A +B +C =()(A) 3E (B) 2E ( C) E(D) O 矩阵3设11 S与11厂m均为向量空间 V中向量，L ( 11 2,- n)=L ( 11 21S)， 则下列结论成立的是()(A) S=m; (B)11 21S可由11 21m线性表出；(C) 11 21S是L( 11 21m)的一个基(D) 11 21S线性相关时，必有 11 21m也相关+4设W1，W2都是V的子空间，则下列结论成立的是()(A) W1+(W1 W2) = W1 W2(B) W1+ (W1 W2) = W1+W2(C) W1+ (W1 W2) = W1(D ) W1+(W1 W2) = W21 55设A= 5 1，则A的特征根为(B) 5 (二重)(D) 1, 5(A) 1 (二重)(C)-4, 6三( 15 分)1a1a2a1A=四( 15 分)把二此型2 2f( x1,x2,x3)= x1 -3 x2-2 x1x2+2 x1x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和 五（15分） 求由向量生成的子空间与由向量 生成的子空间 交的基和维数1) 1 (1,2,1,0)， 2 ( 1,11,12)1 (2, 1,0,1)，2(1, 1,3,7)六（10分）求矩阵A=的特征值与特征向量七 证明题（15分）3211设A为n阶矩阵，A =2E,证明B=A -2A+2E可逆，并求 B2设A是实对称矩阵，证明：当t充分大后，t E +A是正定矩阵。3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且 V= V1+V2，证明：存在V的非平凡子空间 Wi Vi，I=1,2,使得V= W1 W2。高等代数(下)试题填空题(每小题三分共15分)2 21设A为n阶矩阵，A=2(B+E),且A =A,则B =。a?2 A= bi b22a1 2a2,B= blb2 ,A=2，则 2A B=2 23 二次型 f( x1 ,x2,x3)= x1 -2 x1x2 + x2+3 x1x3的矩阵是4 是向量空设间V中的一个向量，贝U的负向量由唯一确定5 设 是F4的两个线性变换,=(x1, x2 , x3 , x4),()=(0, x1 , x2, x3)贝卩 2 ( ) =。二单项选择题(每小题三分共15分)2 2 21 A,B , C 为 n 阶矩阵，AB=BC=CA=E，则 A +B +C =()(A) 3E(B) 2E ( C) E(D) O 矩阵2 A,B为n阶对称矩阵，下列命题不正确的为()(A) A+B 对称；(B) AB 对称；mm r 一r 一(C) A +B 对称；(D) AB+BA 对称。3 复数域C对于数的乘法与加法可以构成()上的向量空间(A) 复数域C;(B)实数域C;(C)有理数域Q;( D)任意数域F4 数域F上n维向量空间V有( )个基(A)1;(B)n；(C)n! ;(D)无穷多5 数域F上n维向量空间 的维数为r, 2,. n V,且任意V中向量可由1 , 2,n线性表出，则下列结论成立的是(A)r=n ；(B) r n(C)r n(15 分)2 271 111 24求X1 X=四(15分)把二此型f( x 1,x2 ,x3)= x1 x2 + x 1x3 +x2 x3通过非退化线性替换化成平方和 五（15分）求由向量，生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数i (3, 1,2,1)2(0,1,0,2)1(1,0,1,3)2(2, 3,1,6)六(10分)求矩阵2 11 2八01A=七证明题(15分)的特征值与特征向量1设A为n阶矩阵，A0,且人=0, B为n阶可逆矩阵,证明 当AX=XB时，必有 B=012 设A，B都是n元正定矩阵，试证：A 也是正定矩阵3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数（下）试题一 填空题（每小题三分共15分）12 21设A为n阶矩阵，A= 2 （B+I）,且A =A，则B =2 A=,B为秩等于2的三阶矩阵，则秩 AB=23 二次型 f（x 1 ,x2, x3）= x1+2x1x2+2 x2x3 则 f 的秩为。正惯性指标为。3011t34 A=124的一个特征值为2,贝U t=1aa aa1a a5 An n=aaa .1特征值为二单项选择题（每小题三分共15分）的1设A，B分别是m n, n p矩阵，则BA，是（）（A）m p矩阵（B） p m矩阵（C）n n矩阵（D）n m矩阵2设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则一定有（）1（A）AA = A A = A I（ B）A =网 A1 1（C）（A-）=Aa（D）（A-）= A A1-3 W1, W2都是线性空间V的子空间，则下列关系式不一定成立的是（）（A）W1W 2 W1 ,W1W2W2(B)W1W1+W2,W2W1+W2(C) W1+W2W1 W2,(D) W1 W2W1+W204设0是矩阵A的特征根，特征根并且有A 0，则0 1是（）(A)-A( B)A/* 1（C）A（ D）A5B为m n矩阵，则方程组BX=0只有零解是B B=O为正定矩阵的（）(A)充分条件（B ）必要条件(C)充分必要条件（D非充分条件也非必要条件三（15分）*4设A是A的伴随矩阵，X满足A X= A +2X，求矩阵X，其中A= 1四（ 15 分）把二此型f（ x 1 ,x2 ,x3）=x1 x2 +4x 1x3-62x3通过非退化线性替换化成平方和。五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间 交的基和维数1（2,5,1, 5）2（ 1,2, 2,3）1（1,2,1, 2）2（3,1, 1,1）3（ 1,01, 1）O13 6的特征值与特征向量七 证明题（15分）1设A,B为n阶矩阵，A2=B2=I,且A+ B =0,证明（A+B）不可逆。2 设A为m n阶实矩阵，B= E+ A A ,证明：当 0时，B为 正定矩阵。/ 03 A为n阶实反对称矩阵， 即A = - A，证明：若 是矩阵A的特征根,0则-也是矩阵A的特征根高等代数(下)试题一 填空题(每小题三分共15分)1 设 A 是一个 n 阶方阵，且 Am=0，贝U( E-A) (E+A+A m 1)=2设A为n阶矩阵，且秩A=r, P,Q为n阶可逆矩阵，则秩(AQ) =秩(APQ) =3 二次型 f(x 1 ,x2, x(C) W1+W2 + W3= F)=-6 x1 x2 的矩阵是4设 W1, W2是有限维线性空间V的子空间，W1, W2 ,W1W2W1 + W2之间的维数公式为。5设。是矩阵A的一个特征根，且A 0,则J是 的一个特征根。二单项选择题(每小题三分共15分)1设A，B，C均为n阶矩阵，则下列论断正确的有()若AB=BA ，则(A) 若 AB=AC，贝U B=Cm n=A(B) A (B+C) = (B+C) A(C)2 2(C) (A+B) (A-B ) =A -B2 设A，B，C均为n阶矩阵，且秩A=秩B，贝U()(A) AB的秩与AC的秩不一定相等。(B) AB的秩与AC的秩一定相等。(C) AB的秩与AC的秩一定不相等。(D) AB的秩一定不超过C的秩。3设W1，W2都是V的子空间，则不一定 V的子空间的是()(A) W1 W2(B) W1 W2 ( C) W1+W2(D) W1+V 4 设 w 1 = (a,0,0)a F w2 =(0,b,c)b,c F 、w3 = (a,b,0)a，b F则下列结论不成立的是(A) dimW1+W2=F3(B) W2 +W3是直和(D) W1 +W2是直和4设是向量空间V的一个线性变换，则下列结论成立的是(A) 一定有特征根，从而有特征向量。(B) 有特征根，但无有特征向量。(C) 若 有特征根，则一定有特征向量。(D)不一定有特征根，但一定有特征向量三 (15分)已知A=1 2 22 1 22 2 1 1 *，求A 及(A )四( 15 分)把二次型f (x 1,x 2 ,x3 )=2 x1 x2 +2 x 1,x3-6 x2 x3通过非退化线性替换化成平方和。五(10分)在P4中，求由向量(1=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数。i (2,1,3,1)2(120,1)3 ( 1,1, 3,0)4(1,1,1,1)六(15分)求矩阵5 116 02A= 311的特征值与特征向量七 证明题(15分)11 设A,B为n阶矩阵，且ABA=B ，证明 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n2如果A1A m是n阶正定矩阵，k1 -km是正数，证明：k1 A1+ km Am也是正定矩阵。3 证明：如果 V1 V2，V1=V11 V12，则 V= V11 V12 V2.高等代数（下）答案2 E4, dimW 1 + dimW 2 =dim(W 严 W 2 )+dim(W 1 W2)二 1, C2，A 3，A4,B5,C12三（15分）已知A=2122122100解：（AE）21201022100110 0129901 0229922100 199911 22A 12 1292 215 A 1四( 15 分)22，求 A 1及(A*)111221 0 00362 1 00092 2 14分A =27 (A*) 1= 1 =丄 2122|A|27 221把二次型f (x 1 ,x 2 ,x 3)= 2x 1x 2 +2 X 1 ,X 3 -6x 2 x 3通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f （x1,x2 ,x3）的矩阵011 212103103130 230A=100 100010 110001 00120A0200012202002000616分111112010110001001f (X 1 ,x 2,X3)=2w2 2 21 -2w 2 -6w 32分X1w1w2W3X2w1w22分X3W3五（10分）在P4中，求由向量i （1=123,4 ）生成的子空间的基与维数。1 (2,131)， 2(1,2,0,1)3 ( 1,1, 3,0)，4(1,1,1,1)211121122100解：3031301111101 10 04分312 001000000003110201，3，4 是 L( 1，2,3，维数为3六（15分）求矩阵511A= 6023114）的一组基3分的特征值与特征向量1解:2 = ( 2) 3=01矩阵的特征值与特征向量1 = 2= 3=23x1 x2 x30解方程组6x13x-i2x2 2x30x2 x30A 的特征向量为 ki (1,3, 0 ) + k 2(0, 1, 1 )七 证明题(15分)11设A,B为n阶矩阵，且 ABA=B ，证明 秩(E-AB)+秩(E+AB)=n证明：因为 ABA=B 1，所以ABAB=E(E-AB)( E+AB)=0秩(E-AB)+ 秩(E+AB) =n2 分秩(E-AB)+ 秩(E+AB) 秩(E-AB+ E+AB)=n2 分所以，秩(E-AB)+ 秩(E+AB)=n1 分2如果A1 -A m是n阶正定矩阵，k.k m是正数，证明：k1 A 1 + k m A m也是正定矩阵。证明：A1 -A m是n阶正定矩阵，所以XA 1X 0XA mX 02分X(k 1 A1+ km Am)X 02 分所以，k1 A1+ km Am也是正定矩阵。1分3 证明：如果 V=V 1 V2 , V1=V 11 V12，贝V V= V 11 V 12 V2 .证明：显然有 V= V 11 V12 +V2 . 设1112 +2 =0因为(1112 ) +2=0 , V=V 1 V2所以1112 =0 ,2 =0有因为， VV V 12，所以 11 =12 =0从而，V= V 11 V12 V2 .高等代数（下）答案 （2）一 I2 , 2 3,3 2 4, 65,1 =1- （n-1） a, 2=.= n =i-a二 1 B, 2, A 3, C 4, D 5, C三（15分）* * 1设A是A的伴随矩阵，X满足A X= A +2X，求矩阵X，其中111111111A=10111101解：A =20114分1011110*A=20113分1*1X=A（A-2E）3分1 1 010 11X= 4 1 0 15 分四( 15 分)把二此型f( x 1,x 2 ,x 3)=x 1 x 2 +4x 1 x 3-6 2 x3通过非退化线性替换化成平方和。10221032230100010解A= 0013分1001102412120P=, X=PY ,+24y 312 f( x 1,x2,x3)=y 1 - 4五(15分)求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1(2,5,1, 5)2( 1,2, 2,3)1(1,2,1, 2)2(3,1, 1,1)3( 1,01, 1)解： =x 11 +x22= -y 11-y 2解方组组的秩为4所以 dim(W 1W2 )=1，(53，119，-19,-134)是 W1六(10分)求矩阵41013A=364100130解：361=(2-y334 分6分2分W 2的一组基。3分的特征值与特征向量1 ) 12)=03 分矩阵的特征值与特征向量1= 2=1, 3=-25%10x202x110x20x2x20x1 5x20解方程组3X16x203x1 6x23x3 053 分TT得 A 的征向量为 k1(-2, 1,0 ) +k 2 (0, 0, 1 )2 分七 证明题(15分)设A,B为n阶矩阵,2 2A =B =1 且A+B=0,证明(A+B )不可逆。证明:(所以(A+B)=0，证明:AE EB=ABB AAB = A B A、2)=0所以(A+B )不可逆。阶实矩阵，B=XBX=X (A|B=-1，/E+ A A,证明:0时,B为正定矩阵/E+ A A)XX EX 0 X A /AX 0XBX=X ( E+ A /A)X 0所以，当 0时，B为正定矩阵3 A为n阶实反对称矩阵，/即A =-A，证明：若0是矩阵A的特征根，则证明：E A =(EA)/2分E A =n(-1)EA2分0也是矩阵A的特征根0 0若 是矩阵A的特征根，则- 也是矩阵A的特征根1分1，E 2，123，11321 -10041,B, 2,A 3,A,4,B,5,A高等代数(下)答案 5,( 0,0, X1 , X2 )(15 分)2 21 11 2解：(AE)X=714221112求X31000 0 1010 0 10101 2 01011003130103230013243133231324A =,7 110143X= A=四(15分)把二此型f( X 1 ,x 2 ,x 3)=x 1x 2 + x 1x 3+x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。X1 y1 yX1 y1 y解：令X3 y33分f( X 1 ,x 2 ,x 3)=2 2 2 (y1y3)2-y2-y34分2 2 2 f( x 1 ,x 2 ,x 3)= z 1 -z 2 -z3非退化线性替换为X1Z1Z2Z3X1Z1Z2Z3X3Z34分五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量 i生成的子空间交的基和维数i （3, 1,2,1）2（0,1,0,2）矩阵的特征值 1=2，2=2+ 2 ，1(1,0,1,3)2(2,3,1,6)解：=X 11 +X22 = -y 11 -y 224分解方组组的秩为34分所以dim(W 1W2 )=1，2分1+2 =12 2W1W2，3分1+2 是W1W 2的一组基。2分六(10 分)求矩阵210121A=012的特征值与特征向量210121解:012=（2) (2-72) (2+V2) =0解方程组得特征向量为1=（ 1，0, -1），2=（ 1，- 2，1）(1，A的特征向量为k11 +k22+k33七证明题（15分）设A为n阶矩阵，A0，且A=0, B为n阶可逆矩阵,证明 证明:当 AX=XBAX=XB时，必有X=0证明:mA X=XBm=0B可逆，所以必有X=0设A是n元正定矩阵，试证:1也是正定矩阵。A可逆，存在可逆矩阵 C使得1( CT)1(CT(CT)1所以，A1也是正定矩阵。3证明：每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和证明：设V为n维向量空间，而1,2, n为它的一组基,则L ( i)都是V的一维子空间，且L (1) + L (2 ) +-L ( n ) = L (1 ,2，n) =V而 1 ,2， n为它的一组基，所以零向量的表示方法唯一故以上的和为直和所以，每一个n维向量空间V都可表为n个一维子空间的直和高等代数（下）答案 2 2,-504, 15, a 二 1 D, 2, A 3,(15 分)A=1求A解:*a 1A=1T A*A=A1a1a 1= a 1四（15 分）把二此型2 2f( x1,x2 ,x3)= x 1 -3 x 2 -2 x1x2 +2 x1x3-6x2x3通过非退化线性替换化成平方和。解：二次型f （x1,x2 ,x3）的矩阵111101133022130120100110010010A= 0010011000200031100110016分22 2f (x1,x2 ,x3)=w1 +2w2-3w32分X1ww2X2w2w3X3w32分五（15分）求由向量i生成的子空间与由向量i生成的子空间交的基和维数1) i (1,2,1,0) ,2(1,1,1,1)矩阵的特征值与特征向量1= 2=1, 3=-32）1 (2, 1,0,1) 2(1, 1,3,7)解：=x 11 +x22= -y 11-y 224分解方组组的秩为34分所以dim(W 1W2 )=1，4分(5,-2，-3，-4 )是 W1W 2的一组基3分1 +2= 12 2 W1W2，3分1 +2 是W1W2的一组基。2分六（10分）1 22311求矩阵A= 2211的特征值与特征向量122311解：221=（3）3=03 分2x12x22X303x12x2X302x22x30解万程组，13 分A的特征向量为k (1, -2, 1 )2分七 证明题(15分)3211设A为n阶矩阵，A=2E,证明B=A -2A+2E可逆，并求B证明：B=A (A+2E ) (A-E )A2iA =22 分312A -E=E , ( A - E)= A +A+E1A3+8E=10E , (A+2E )1：102(A -2A+4E )2分1A2B1 = 10(A?+A+E )2(A-2A+4E)21分2设A是实对称矩阵，证明:当t充分大后，t E +A是正定矩阵。证明：A是实对称矩阵，t E +A是实对称矩阵，令(t), f2(t),卩,为t E +A的顺序主子式，2分它们都是首项系数为 1的多项式当t充分大后，和,f 2 (t), -fn(t) 02分所以，当t充分大后，t E +A是正定矩阵。1分3设V1与V2是V的互不相同的非平凡子空间，且V= V 1+V 2，证明：存在 V的非平凡子空间 Wi Vi ,1=1,2,使得V= W 1 W2。证明：设V的一组基为1L (1 ,2，n) =V则L ( i )都是V的一维子空间,V= V 1+V 2r) V1 ,W1 = L (所以，存在 V的非平凡子空间 W vi ,1=1,2，使得V= W 1 w2。0 243 0=B0 16=A高等代数（下）答案1 , A 1 =EnOEnEn，2,（21）nn 3，大于零4, n 5,解，属于 的6n】1 ,B 2,A 3, D 4 ,B 5,A二（15 分）解矩阵方程XA=B+2X ，其中111232 2 110分2f（ X 1,X2 ,X3）= X 1 +2 X2 22 +4x 3 +2 X1 x2 +4x 2x3解：X（ A-2E）=B2分1X=B （ A-2E）3分X=B （A-2E ）四（15分）把二此型通过非退化线性替换化成平方和。0 2 4 0 0 10 12 11010 0 10 00 2 4 0 0 112 2 0 101 1 O 1 o O0 0 0 2 2 10 12 1101 OO1 OOX1y1y22y3X2y22y3X3y3（15 分）在P4中，求由向量j（1=1,234）生成的子空间的基与维数。1=（2, 0，1, 2）2 =:（-1，1, 0，3）3=（ 0，2，1，8）4 =（5, -1，2，1）22五f（X1 ,X 2 ,X 3 ）=w 1 +w分32 o O12 0 0O1 OO1O OO15 2 10 2 18.110 32 0 121212 2 60 1131O OO的特征值与特征向量OO43 4-A