巧用循环小数的性质和加减法则直接运算

巧用循环小数的性质和加减法则直接运算小萌遇到如下两道题，抓耳挠腮的，题目如下：例题1:计算：0.123+0.123+0.*23=?例题2:计算：0.456+0.456=?在循环小数的学习中，聪明的小萌遇到了以上两个问题，如何解决呢，她想按照循环小数化分数的方法，先化成分数再进行四则运算，这个应该是可以的。不过，这两道题在化成分数后的计算量太大了。我们看一下化分数计算的过程：一、循环小数化分数法用化分数的方法进行分析，会用到如下结论,循环小数化分数：A.BC=ABABC-ABABb b,其中，b为B的位数，c为C的位数。(10-1)10在使用前，我们先予以证明。证明：设A.B(C)=X,则有AB.(C)=10bX,(1)ABC.(C)=10b+cX(2)由(2)-(1),可得：ABC.(C)-AB.(C)=10b+cX-10bX(小数部分均为循环节，且都相同，可抵消)即：ABC-AB=10b(10c-1)XABC-AB所以有：A.BC=c(10-1)10好了。证明完成，我就可以直接应用了。特别地，当A=0时，有0.BC=BC-B分子BC-B为数字BC代表的数减去非循(10-1)10环部分B代表的数，分母为c个9和b个0组成的数。在例题1中，0.123 二 3-3-1212J J 二一(10-1)10900300解得:ABC-ABc_b(10-1)10先普及一下循环小数的相关知识:一、循环小数的来源和构成：1、来源：循环小数来源于除不尽的整数除法；2、构成：用A.BC表示循环小数.（1）整数部分A,（2）小数部分：非循环部分B;循环部分（循环节C）。二、循环小数的写法和读法：1、写法：由于书写限制，暂用小括号表示循环节。例如，3.333333-=3.3,0.123二123-1(102-1)101112990564950.123=123-3-o(103-1)10012341999一3333756410.123+0.123+0.123=+十300495333(通分，认真计算，略)同理在例题2中，0.4 最+0.；56=45656一4 41+34 4，。=堂+型(通分，认(102-1)101(103-1)100990999真计算，略)从上面的过程可以看出，循环小数化分数计算的方法完全可以解答例题1和例题2。唯一的一点不足就是计算量有点大。卜面我们来探索一种更为直接的方法，这就是巧用循环小数的三大性质和加减法则进行快速、直接的运算4.263636363=4.263,0.123123123=012302、读法：在循环节上加一个环”字。例如3.3,读作：三点环三（或三点三，三循环）。三、循环小数的三大性质：1、环九定理：环九小数=有限数（去九进一），例如0.9=1。（循环节是“幽循环小数，叫环九小数）2、平移性质：例如，4.263=4.2636,3、扩缩性质：例如，4.263=4.26363.四、循环小数的加减法：1、同位：利用循环小数的三大性质，将两个循环小数的循环节化成其位数相同、且位置也相同的过程，叫同位。相当于分数加减的通分。2、加减法则：节前进位节尾加，节前借位节尾减。3、化简：利用循环小数的三大性质，将循环小数化成最简循环小数。相当于分数加减的约分。二、巧用循环小数的性质和加减法则解题在计算0.123+0.123+0.123=?时，循环节分别为1位、2位和3位，按扩缩性质,找最小公倍6位，进行扩缩；同时利用平移性质，将循环节向右平移，起始位相同即可（本题以小数点第3位开始），通过以上同位操作后即可进行四则运算了。过程如下：0.123+0.1230.123例题 1:=0.123+0.12 打+0.12321；平移性质）=0.12333333+0.123232320.12321321（扩缩性质）0.123333330.123232320.12321321=0.36977886所以 0.123+0.123+0.1*23=0.369778 臧或 0.36977 菌0.4560.456同样，例题2中：=0.456+0.4564（平移性质）=0.45656560.4564564（扩缩性质）0.45656560.45645640.9130221根据加减法则：“节前进位节尾加，节前借位节尾减”，可知循环节第一相加是进位1,则在循环节最后一位相加后也同样加1。（同理，如在减法中，节前有借位的，在节尾结果最后要减去借位数，此处不再赘述了。）所以0,4560.456=0.913022li