专题09 数列（解析版）

专题09数列一、单选题1.(2021 .广东.华南师大附中高三阶段练习)设%是公差d为正数的等差数列，若a】+a2+a3 =15 ,则 ail+ai2+a!3 等于A. 120【答案】B【分析】B. 105C. 90D. 75将题目所给两个条件转化为,d的形式，通过解方程组求得,d的值，由此求得句,2，%的值.【详解】依题意有q + q + d + % + 2d = 15q (q +d)(Q +2d) = 80解得。i = 2,d = 3,ai +% +%3 =3% =3(ci +1 Id) = 3(2 + 33)= 105 ,故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查利用基本元的思想通过解方程组求得等差数列的和刁.这是非常常见的基础题，需要在解题过程中注意不要运算出错.为了确保运算正确，可以利用题目所给的已知代入判断所求是否正确.2. (2021 .广东高三阶段练习)记数列%的前项和为S，=2, %|_ul,3,5, S,=100,则R可以等于()A. 8【答案】A【分析】B. 9C. 11D. 12分别讨论。+|-为为1，3, 5的情况，根据等差数列前项和公式即可求解.【详解】若一。 =1 时，q =2 + ( l)xl = + l,(2 + + 1) ( + 3)S =22令5, =100,贝IJ也坦 = 100 =好+3200 = 0,方程不存在正整数解；2q 1 = 5（一io）,没有最大值，D错误.故选：BC17. （2021 .广东惠州高三阶段练习）记等差数列%的前，7项和为S，己知=3, S3=-9,则有（）A. %=一5B. %。C. $6=0D. S3VS4【答案】ACD【分析】先由，3=-9,以及等差数列的性质可得缶=-3, d = 土冬=2,然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.【详解】111 S3 = q + “3 = 3。）= 9,ci? 3 ,设等差数列。的公差为d ,则有a5 =a2 +3d ,所以d =妃WQ = 2,3 3/j/f 以=角 + （ 2）d = 3 + （ 2） x 2 = 2 7 ,所以。=2 7 = 5, a4 = 8- 7 = 10,6x5s =6x（5） + x2 = 0,2由 S4 - S3 =。4 = 1 。，得 S3 ,故选：ACD.三、双空题18. （2021-广东湛江高三阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列3, 4进行构造，第一次得到数列3, 7, 4；第二次得到数列3, 10,7, 11,4；依次构造，第（心N*）次得到数列3,羽，x2, l，4.记。 =3 +兀+易+也+4 ,则 =,设数列%的前项和为S，则S=21 7【答案】98n4 2【分析】根据构造方法，结合累和法和分组求和法进行求解即可.【详解】因为第一次操作得到数列3, 7, 4；第二次得到数列3, 10, 7, 11, 4；第三次得到数列 3, 13, 10, 17, 7, 18, 11, 15, 4,因此有 =14 , %=21 = 7x3 , %= 63 = 7x3?因此可得：为=35, %=98,。一=73一022,c N*）,当 nZ2,nwN* 时,an =- an- ) + (。I - an-2 ) + (。一2 - Cln-3 ) + + (% -=7.31+7.3一2+7.3心+.+ 7.3 + 14=7(3rt_1 + 3n2 + 3-3 + 3 4-1) + 7=7 +71-377=匕3+匕，221-377% = (3 + 32 + . + 3)+ 227 3(1 3) 7=1 n21-327欢】21 /44 2791 7故答案为：98 ； -3，,+1 - + n44 2【点睛】关键点睛：运用累和法、明确构造新数列的方法是解题的关键.四、填空题19. （2021广东顺德一中高三阶段练习）已知数列。的通项公式为。 =2-3 + 1,将数列%中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列，则数列的前项和为【答案】 3rr 【分析】首先写出然后用分组求和法求和.【详解】由题知如=。2_1 = 3(2/2 _ 1) + = 5 4 _6 + 4 ,、所以其前项和为，=、x 4 6x1 + 4 + x 46x2 + 4 + x46x + 4/(12=；(4 + 湛 + + 4)-6x(l + 2+) + 41 4(1-4)12 ,9=x -6x ( + 1) + 4 =4 一2 1-423故答案为：亍4” 3疽+ n .【点睛】本题考查分组求和法，当一个数列是由等差数列和等比数列相加减所得，则其前项和可用分组求和法，分组为等差数列的和和等比数列的和，分别应用公式计算可得.20. (2021广东东莞高三阶段练习)取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；.；将这样的操作一直继续下去,直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下,得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值60.(参考数据:lg20.3010, lg30.4771)【答案】8【分析】根据题设可得第次操作去掉的线段长度之和为母，则有GY3李9再根据指对数关系及对数运算性质求的最大值.【详解】1 ? I第一次操作去掉的线段长度为;，第二次操作去掉的线段长度之和为：；，第三次操作去掉的线段长度之1，第次操作去掉的线段长度之和为-由题意知, ,贝U ,贝I mlg lg30 = 1 lg3 ,-3033 60.W(lg2-lg3),-l-lg3,即巴好 又/。，1/0.4771,可得心，故最大值为 8.故答案为：8.21. （2021广东华南师大附中高三阶段练习）己知S 为数列福的前项和，若S,=2%2,则S5-S4【答案】32【分析】,冷=1由结合题意可得q=2，再利用旗-禹=%即可得解.S -S,22【详解】当 =1 时，q = = 2q - 2 解得 q = 2 ；当 Z 2时，an =Sn -Sn_ =2q-2-（2%_-2）,整理得。=2。_,所以数列%是首项为1,公比为2的等比数列，q=2.2i=2，所以S5S=务=，=32故答案为：32.【点睛】本题考查了。与S关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.22. （2021广东高三阶段练习）己知等差数列%的前项和为S，且,岑,%成公比为0的等比数列，则0=.【答案】I【分析】由等比性质得（奇，=3%.%,再结合等差数列基本公式得与d关系，进而得解.【详解】由 岑,。3成等比数列可得件1=3%23,又%为等差数列，所以（2+3Q2=30+2d）,化简得2 2 y（q+3d）2=0, a = -3d ,2 =2+3c/= 1 .3（73%3故答案为：23. （2021 .广东江门高三阶段练习）设等比数列%满足+%=l（），%+%=5,则log2j + log26Z2 + + log26Z/z =【答案】一 2 +7【分析】由己知求出%通项公式，再结合对数化简式和等差数列前项和公式即可求解.【详解】因为等比数列满足。1 +% =1。，。2+。4 = 5 ,所以0 =。2 +。4% +。3乂 + % = % + o* = io ,解得。=8,故an 8-=2” , log2 an =log2 2 J = 4 -，所以log2。 + !og2Z2 + + 10&2。 = 3 + 2 + 1 + + (4 一)故答案为：0a2是a和a4的24. （2021广东化州高三阶段练习）己知%是公差不为0的等差数列，其前项和是等比中项，且$3=6,则。2（）21 =【答案】2021【分析】根据等差数列的通项公式及等比中项列出方程求解即可.【详解】设公差为d,a2是“1和。4的等比中项，（q + d） = q （q +3刁），a： + 2ad + d2 = + 3axd ,。0, /. d = a,S3 = q + 劣 +。3 = 3 劣=6 ,% = 2 = 2。, = d = 1, 。2（）21 = 2021故答案为：202125. （202b广东高三阶段练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉顽.八骏图是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i （ = 1, 2,7）匹马的最长日行路程是第，+1匹马最长日行路程的L1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为里.（取1.18=2.14）【答案】4560【分析】直接利用等比数列求和公式计算得到答案.【详解】第8匹马、第7匹马、.、第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，且首项为400,公比为1.1,故这8匹马的最长日行路程之和为4（1 T1）= 4ooox（2.14-1） = 4560里.1-1.1故答案为：4560.26. （2021广东顺德高三阶段练习）己知数列。, %=1, %=2,且2=。+2x（-1），则数列%的前1。0项的和为【答案】150【分析】由题目条件可以得到+2,。2,+ =。2心-2 ,进而得到+2 +。2+1 =+。2一1，由此得出+。+1是常数数列，最后求出答案.【详解】根据题意， “2/1+2 =+ 2,%】 =s_-2（eN*）所以a2n+2 +a2n+i =角+%3湘*）,即an+an+是常数数列,而+。2=3,所以%的前100项的和为：3x5 = 150.故答案为：150.27. （2021广东高三阶段练习）己知等差数列%的前项和S0,且满足，2，3& =（Q；T）（Q；T）.（q；T）, （且wN*）,若（ neN* ）,则实数。的取值范围是【答案】（0,1【分析】V先利用己知条件解得二，再利用等差数列公式构建关系，得到之间的关系，解得参数，再计算，的取n值范围即可.【详解】当 时，S2S3.S=（o；T）（aT）.（Q；T），2翌.电_ =（-1）（口； T）（T）设为=巧+（ l）d,因为&0,所以+得 也=土 =虹业二凹二 =/”2顷+日nn n n 一 1又因为 S、_ 凹 +（T）d = 1 办 j Q _d,n 2 n 22故上也 +。| - = d2n + 2a,d - d2 + -,21 21 一1= d1 2-d = d22af t = 0% = y/t1或d = -2疽=IJ八，若=0时，由S2=2（a22-t）知d = 06=0, S = 0,与己知矛盾，因此d=O不符合题意，舍去,an = % + （n-l）J = &n 1 +1/+9 碍，VI, X=y/t 00? 1.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前项和公式的综合应用，属于难题.28. （2021广东深圳市福田区福田中学高三阶段练习）已知数列%为等比数列，若=4（%-），% =1，贝 Ij。2 =【答案】2【分析】用基本量,0表示题中条件，求解得0=2,则% = %q即得解【详解】设。公比为q,由题意得巧# =4（%03一跖2）,因为qrO, go0,可得q2_4g + 4 = 0,构牟得0= 2,则。2 =%q = 2 .故答案为：229. （2021-广东深圳高三阶段练习）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记。为图中虚线上的数1, 3, 6, 10,依次构1 11成的数列的第项，则一 + + 的值为.Q 。2%】3 ）】14/411 5 叫 10 5 1【答案】1.8#【分析】由累加法求出,再由裂项相消法求和即可【详解】设第个数为。，贝lj 1 = 1 ,= 2 , % _= 3 ,_ % = 4 ,.，叠加可得q =1 + 2 + 3n （_-，1 1122218I=1=2x 11= 1.8aa2%1x22x39x10（ 2 2 3910 J10故答案为：1.8五、解答题30. （2021-广东顺德一中高三阶段练习）正项数列%前项和为S,且 =（1+；）2（牍*（1）求。；（2）令如=/ van -9、乙)，求勿前项和为L.2【答案】(1) af1=2n-. (2) T = 3-2，1 + 3【分析】（1）令 =1可求得的值，令 22,由4S=o；+2% + l,可得4S,_=C+2%+l,两式作差可推导出数列%为等差数列，确定该等差数列的公差，进而可求得数列%的通项公式;o/7 _ 1（2）求得、=专,然后利用错位相减法可求得数列如的前项和K.【详解】(1) 对任意的eN*, 4S =(。+1)+2。+1,且。0.当 =1 时，4% = 4 = af + 2% +1,整理得酒2% +1 = 0,解得 = 1 ；当 Z2 时，由 4S =可；+2% + 1 可得 4S_ = oh + 2%- +1 ,两式作差得 4% =。Wi + 2an 一 2% ,则 -(rn_x - 2an - 2an_x = 0 ,.( +Sl )(% an- -2)=0,.。+。_10,.。-。_1=2,所以，数列*是以2为公差的等差数列，且首项为1,.q =1 + 2(一1) = 2一1 ；bn2n-l2. 1 3 52 1N=a+】+顶-，则 W 二+M+.+公+幻,2 22 2322h上式一下式得-Tn=-2221)2_2一1 1 4=2 x 2+i21、2/?-)1_12助22n-312一1 3 2 + 3本题考查利用S 与。的关系求通项，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.31. (2021 广东东莞高三阶段练习)已知数列0的前项和S满足2S=疽(1)求%的通项公式；【答案】(1) q= + l(cAT) (2) Th=-4 + 4【分析】由2S = / +3,心*得到%的通项公式；1 1 (1 1 )(2)由(1)知=二;，利用裂项相消法即可得到结果.【详解】(1)当 =1 时,2 =4,. =2,当 2时，2S_i =(-1)? +3(-1),又2S = n2 +3两式相减得2%=2 + 2，所以= + 1故% )的通项公式为 = +1 N*)1 1 1 1 1 1 1 ) VZx。2-1。2+12(2 + 2)4 ( + 1) + 1,【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：2/i-1 2/i +1J（I）an+x -an =3时，为 =2 + （ l）x3 = 3 1,（3-l + 2）久（3 + l）S=,22令X =100,则111 = 1003仃 + 化200 = 0旦（3# + 25）依8）= 0以/: = 8或人=一炎，k=S 满足题意；23当 Qg -。 =5时，q =2 + （l）x5 = 53,（2 + 5一3）n（5n-l）二 S.=,22令S.=100,则“MT）=i00n5炉S200 = 0,方程不存在正整数解；2能取8故选：A .3. （2021广东高三阶段练习）已知公差不为。的等差数列%中，=4,且, %, %成等比数列，则其前项和S取得最大值时，的值为（ ）A. 12B. 13C. 12 或 13D. 13 或 14【答案】C【分析】设等差数列%的公差为0，根据,代，。成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前项和公式求解.【详解】设等差数列为的公差为0,因为 =4,且。7，。10成等比数列，所以（6 + 6d）2 = q. （q + 9刁），解得d =-（一1）1 9 25所以 Sn -nay + d =n + n ,2 66所以当 =12或13时，S取得最大值，故选：C4. （2021广东高三阶段练习）己知数列0满足。=冬，则+* + + +舄7 +兼*=（）+12 32020 20211 1 1 1(4) -77w= Z -7 -一希一不；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.32. (2021 .广东华南师大附中高三阶段练习)己知等差数列。和等比数列/，满足% =2, 6=4,% =21o%b，住 N*.(1) 求数列0?, 纺的通项公式；(2) 设数列曲中不在数列纺中的项按从小到大的顺序构成数列c,记数列*的前项和为S ，求Soo.【答案】(1) % = 2, bn = T , eN*，(2) 11302,【分析】(1) 先由己知条件求出h=2, q=4,从而可求出公差和公比，进而可求出数列的通项公式，(2) 由(1)勿=2=2.2t =口打，即如是数列%中的第2t项,而如=%= 么=。27=%8,从而可知数列%的前100项是由数列为的前107项去掉数列如的前7项后构成的，进而可求得结果(1)设等差数列%的公差为/等比数列如的公比为s由 4=2, b2 =4, an =2og2hn,ne N 可得=2, a2 = 4 ,则 d=2, q=2, an = In , bn = T ,住 N*，(2)由(1) bn = 2 = 2.2t =,即如是数列%中的第项，设数列%的前项和为4 ,数列代的前项和为0，因为如=%6=%4，4=。27=%28，所以数列c的前100项是由数列%的前107项去掉数列也的前7项后构成的,所以 =稿-0=些严-普=回2，33. (202b广东高三阶段练习)已知等比数列%的公比0。1, %是。2、角的等差中项，设数列肩的前项和为s.(1) 求0;(2) 证明：数列S中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.【答案】(1) 0 = -2 ；(2) 证明见解析.【分析】(1) 根据已知条件可得出关于0的方程，即可解得0的值；(2) 求得&=?-(-2),分n = 2k + l(keN)、n = 2k + 2(kwN)两种情况化简S的表达式，结合等差中项法可得出结论.(1)解：由题得 2。=%+%，则 2%=O0 + qg2,因为。1主0,所以q2 +q-2 = 0 ,解得q = l (舍去)或0 = -2,所以公比q = -2 .(2)解：由题意，s MT) = ( 2),1 + 23 L 当 =25心时，览=籍(心”，当 =2* + 2, SN 时，S = S2s=3(l-2*2).当数列,中的连续三项为牝=号(1 + 2“)、* =号(1一2的)，s*3 =飘1 +叶3),由 1 22+1 + 221 =2 + 22x02一2) = 2(1 + 223),可得&心、S*】、S心成等差数列；当数列S,中的连续三项为 S2t+2=|(1- 22w),命3 = ：(1 + 2), 52,+4 =号(1 一22-4),由 1 一22*+1 + 2心3= 2一2*2(222)= 2(1-223),可得嘉八 S2k+2. S心3 成等差数列.综上，数列&中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.34. （2021广东高三阶段练习）己知数列%满足 =3, %二（2 + 2）/_2-2 （，槌寸）.n（1）若等差数列如恰使数列是以1为首项，2为公比的等比数列，为使不等式1 1 1 111 03站姑5就+2人恒成立的实数A的最小值;（2）设数列%的前项和为S，求S.【答案】-4(2) 2” | + 2/2, S = ( 1) 2” + + +1【分析】（1）采用赋值法可求。2,分别求出户一2和?-2,求出艰,即可求出如，由裂项相消法可求人的最小/ 、值；也可将原式变形为知-2 = 2色-2 ,得出，由裂项相消法可求4的最小值； + 1 n /（2）由（1）可求q=2t+2，结合错位相减法和分组求和法可求S.（1）/、劣、工 -（2 + 2）q 一27? 一2（法一）由 =3, q,+ =呈,n令 =1,得。2 = 4q - 4 = 8 ,又Q如为等差数列,.=F皿站姑5( 1)12J_21-I=11-bb+21x3 2x4 3x5( + 2)Ifl 1)+ -21+ -21 1、24,1、3 53_4_2（ + 1） 2（ + 2）、4,3因此，实数人的最小值为了.4（法二）.f = 2（ + l）Z（ + l）,3；1+-I 2 +1 +2= 2%-2n ,+i2 = 2.，2), + 1 nz? + ln ) ,则数列-2是公比为2的等比数列，依题意产n J后面同法一(略)；(2)由(1)得数列j-2j是以1为首项，2为公比的等比数列,.色一2 = 2t,则。二2心+2nS =(1.2。+2)+(2.21+4)+(3.22+6)+ . + (.21+2)= (l + 2.2i+3.22+. + .2T) +(2 + 4 + 6 + . + 2)，设7；=1 + 22+322+. + .2t,则27； =12 + 222+323 + 2，由一，得-Tn =1 + 2 +22 + + 2”T 一?一；)_2=(1_)2_1，L=S-1).2+1.又2 + 4 + 62n = 2 * 2 =( +1),.&=(-1)2+2+ + 1.35. (2021 广东江门高三阶段练习)己知等差数列%的公差C0,前项和为S”S4=10,且%，为成等比数列.(1) 求数列%的通项公式。；(2) 设如=一(，槌/),求数列勿的前项和7；.anan+2【答案】(1) an =n_ 32 + 3(2) 厂 2( + 1)3 + 2)【分析】（1）结合等差数列前项、等差数列通项公式和等比数列性质，解关于,d的方程即可求解（2）由（1）结合裂项公式得-一 采用累加法即可求解兀2n n + 2 J（1）因为。2，。4，。8成等比数列，则即（q +3d）2 =（% +d）（& +7d）,化简得：d = axd ,4x3又 54=10,贝I 4a + d = 10,即 2%+3d = 5,联立解得：ax=d = ,(2)当 N*时,bn= =时+2H尸1 1n_i_* + 2/5一 R32(1 + -k 2 +1 +2j3所以 W时,厂2( + 1)( + 2)4-1_3-22乃+ 31、 一1 +1 /厂如7 + 1)3 + 2)2+ 336. （2021 广东高三阶段练习）已知正项等差数列%中,% =2,且时一1,%成等比数列，数列也的前项和为 S，bi=；,2Se=2S,i+b.（1）求数列。和如的通项公式；（2）若求数列化的前项和K的取值范围.+i17【答案】（1）。=3一1,如=（5 （2） Tn1-21-yl 1H3(3+ 2)“丫+0,.小.3(3+ 2)637. （2021广东高三阶段练习）设数列%的前项和1” + 2（工0）, 67,-1, %T，成等比数列.（1）求数列%的通项;（2）数列出的前项和为S，求数列s + S+的前项和为L.【答案】(1)。=2 ； 2 +1 +2【分析】利用。与s 的关系以及巧-1, %T，%T成等比数列求出，的值，然后求出S +S 11东:板一在T利用裂项相消即可求出.(1)S=( _ 1)/+2(1 丰 0),当=1 时，a=S=2 ,当儿.2时,an=Sn-Sn_l=(-1)/+277-(-1)(-2)/+2(-1)=2,-2/+2 , =6, 2/+2=4，+2, % 1=4/+1,知=26, 2，+ 2=24，+2, 124Z-F1,。=2, /. 6Z| 1=1,由题知，(_1)2=(%_1)(%3_1). (4r+l)2=24z+l,. 16尸+84+1 -241=0.4(，-1)=0, ?=0(舍)或 t=l-=2n ,当=1时，也满足上式一.。=2；(2)由(1)矢口1)+ 2= h 2=2+ ,S+S 1 + 1 1+1+1 =11SS+S+ Sn (+l)(+2) (打+1) +l +2 n +l n +2rJ_+LL_3 2 4 3 5 n-2 n n-l n+1 n +2=1+l-171+11+2=3_11_2 +l +238. (2021广东高三阶段练习)设数列%的前项和为S”，且满足3q-2S=2(心N)姐是公差不为。的等差数列，4=1,如是。2与4的等比中项.(1)求数列%和如的通项公式;7 2k k (2)对任意的正整数，设c=一， 3,求数列%的前2项和.hn+2,n = 2k-,k e N【答案】(1) % = 23i, bn=n.32,+|(2)E+ 4【分析】(1)令 =1可得为的值，当 Z2时，3如-2S_=2与己知条件两式相减可得%=3j 由等比数列的定义可得%的通项公式，设如的公差为d,将b；=bM 整理为关于d的方程，解方程求得d的值，即可得勿的通项公式；(2)由(1)可得&的解析式，再由分组求和即可求解.(1)在 3(i - 2S = 2 中，令 =1 可得 3% - 2% = 2 ,所以 = 2 ,当 Z 2 时，3% - 2St = 2 ,所以 3%-3% = 2S - 2$心=2an 即 an = 3an_,所以 = 3,所以%是首项为2,公比为3的等比数列，所以。 =23心,an-设也的公差为d,由题意可得妒=如妇 即(i + 3)2=(l + d).(l + 7d),整理可得：2c/22。= 0,所以d = l或d = 0 (舍)(2)由题意可得:23T, = 2kMcN*n + 2,n = 2k-l,k c N*所以 7； =(3 + 5 + +2 + 1) + 2(寸 +33 +35 + .+ 32w_,)(3 + 2 + 1)匕 3(1-32)21-32=( + 2)+号嶂1)=疽 + 2+；32,+39. (2021 广东高三阶段练习)己知数列%的前项和为S，2S+2 = %|-2, %(1)记bn=an+l9求证：仇是等比数列;(2)设&=中,求数列%的前项和兀.Un【答案】(1)证明见解析；(2)兀=：-=44 3【分析】令 Z 2 ,由 2S +2n = an+i -2 可得出 2Sn_ + 2一2 =刀一2 ,两式作差得出%】=3%+ 2,再利用等比数列的定义可证明出数列也是等比数列; + (2)由(1)可得七=亍利用错位相减法可求得二【详解】(1)证明：对任意的eN 2S+2 = %2, %=8,=时，2 + 2 = %-2 = 6,解得。=2 , Z 2 时，因为 2S +2n = an+ - 2 ,可得 2S_ + 2 一 2 = % - 2 ,两式相减可得2% + 2 = an+ -an,即有an+i = 3an +2 ,可得。,什+1 = 3(% +1),因为如=“ +1 , 则勿+i = +i +1 ,因为白=%+1 = 3,加=缶+1=9,所以夺=3, 一b.b对任意的5。，所以苛=3,因此，勿是首项和公比均为3的等比数列（2）由（1）可得=3x3-】=3,+1 +1.2 34 + 1123 + 1n , . . / =1 H- H1, T r H- H11-bn 3 3 32 333332 333 3*两式相减可得教弓*耳一嵬31 1、2 31_ + 一1 . + 135 2+ 513,+,6 23由340. （2021 .广东高三阶段练习）在等差数列%中，=4, %=2%.（1）求%的通项公式;求数列倬一志的前项和s.【答案】(1)= + 2(2)& = 9(+ 3)2【分析】（1）设佃的公差为d,将己知条件转化为关于和d的方程，求得和d的值，再由等差数列的通项即可求解;由可得湍7=土一蒙矿再求和即可求解(1)设的公差为d ,因为。2 =4 , % =2%，所以% +=4/%+7刁= 20+2)解得所以。 =3 + ( l)xl = + 2.2020k. 2021【答案】D【分析】B.空201920W 2020D.20212022根据给定条件求出数列印的通项公式,再利用裂项相消法即可计算作答.【详解】因为=六，则圭=日+1）+1所以务+亨+骚麝!）+（!）+!）+,+（矗法） 20212022 一 2022 2021 2022 ；1 所以斜斜.+矗+蠢=湍故选：D5. （2021广东高三阶段练习）己知数列%的前项和S=如2 + 2，=11,则*的值为（）A. 2【答案】C【分析】B. -2C. 1D. -1利用。，S的关系可得% =2lm-k + 2,结合已知即可求k的值.【详解】由题设，当 Z2时， = S S_ = 2kn * + 2,又 =11,9比+ 2 = 11,可得k = 故选：C6. （2021-广东普宁市华侨中学高三期中）在等差数列%中,%=2%T，%=6%-2,则%+角+ % =（）A. 165B. 160C. 155D. 145【答案】D【分析】利用等差数列通项公式列出方程，求出=1, d = 3,再由等差数列前项和公式能求出结果.1 1 1 1由知，在一布萨=岳奇一岳奇，111111_ 11n2 + 6n故产子一下+歪一歹+.+信奇一布可=6 一序奇=希可.41. （2021-广东广雅中学高三阶段练习）正项数列为的前项和为S 皿=5,且对于N且 Z2满足Js“_l + 7Sn- - 1 = an （1）求证：数列瓦二可是等差数列，并求数列%的通项公式；（2）若数列如满足如=（3-1）.,求数列如的前项和【答案】（5,n = l（1）证明见解析；。=。| 、。；2 + l,Z2（2）兀=3-2一2 + 4.【分析】（1）直接利用数列的递推关系式得出7二-7侦=1,再根据等差数列的定义可证出数列、偿可是等差数列，进而根据等差数列的通项公式求出Mi = + i，即可求出数列%的通项公式；（2）根据题意，可知当 =1时，=10；当伫2时，如=（3-1）（2 + 1） =（2 + 1）.3-（2 + 1）,结合分组求和法即可得解.（1）解：正项数列。的前项和为S，满足届目+如-1 =购N2,住N）,所以 Js _ 1 + Js_ _ 1 = （Js 一 1）_1）,整理得：Js-1 + J&T 一1 = （Js一 1 + Js1 一1 - Js_ 一1）,由于数列为正项数列，所以MT-氐目=1 （常数），所以数列底3是以Jp = 2为首项，1为公差的等差数列，所以 Js-1 = 2 + -1 = +1 ,故 Js_ -1 = n ,当 Z 2 时，cin -1 + JS_ -1 = +1 + = 2n +1,而q = 5 ,不符合=2 +1,所以数列%的通项公式为。=5,77 = 12 + 1,心 2（2）解：.如=（3_1）当 =1 时，=（3, _1）口 =（3_l）x5 = 10 ,当松 2时，如=（31）（2 + 1） =（2 + 1）.3一（2 + 1）,当 Z2时,设 =5x32+7x33+9x34+ .+（2一1）3t+（2 + 1）3，=5x33+7Q4+9x35+.+（2l）3+（2 + l）.3*,两式相减得：2Az=5x32+2x33+2x34 + .+2.3（2+1）3h,33 （1 3 2 则2A,_ = 5 X 32 + 2 X L 一（2 +1） 3+i，1 3解得：At=3S9,设= 5+ 7+ 9 +.+（2 l） +（2 + l）,则（-1）（5 + 2 + 1）=疽+2_3,2所以数列如的前项和T=bi+Ai-B_i ,n2,贝皿=10 + 3由 一9一（疽+2一3）=3* -疽一2 + 4,22 ,7；=10符合上式，所以7.3*-2一2 + 4.42. （2021广东高三阶段练习）己知数列%,他的各项均为正数.在等差数列%中，+%=%+3,=%；在数列也中,4=1，3如+2年如-配=0.（1）求数列%, 如的通项公式;（2）求数列。力的前项和为兀.【答案】（1）%=2一1； bn=（2）L=3-嵬【分析】（1）结合等差数列性质，将具体项转化为关于,d的关系式，可求%通项，3如+2b也+-片=0习（3如-勿）（如+如）=0 ,可求解如的通项公式;2一1（2）由（1）知%、= 十,再采用错位相减法即可求解K.(1)（1）方法1：设数列。的公差为/由题意得:+ 5d + % + 8d = % +12d + 3,、2.-，解得 =1, d = 2,故 q=2 1；=。+4由3如+2俄#-屋=0可得：（3如-如）（如+如）= 0,即有如=由或瞄 f （舍），从而有数列仇为首项为1,公比为!的等比数列，即可得如=亍;(2)2 1(2)rh (1)得 anbn = 3一，T =。也 + a2b2 + %奴 + . . + anbn ,11352/1-3 2一1尸3 31 32 3323111 1I H- + . v3 32 333i2/t-l31=1+2x31-3写=2-土一孚，故3-嵬3-13得：K=l + 243. （2021 广东普宁市华侨中学高三期中）已知/是公差为1的等差数列,且,知 %成等比数列.（I）求%的通项公式;（II）求数列务的前项和.2 + 2【答案】(1) an=n. (2) S=2 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得的通项公式.(2)数列节可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解.【详解】(1 )由题意得妃=。1。4，+1)2 =% (% +3),故 =1,所以%的通项公式为 =.(2)设数列。的前项和为s，则123 nriii 1)&=尸歹+芬+ +顼,1 o 123n m/闩、12，+3览=歹+芬+歹+ +普F，物式相减2SfJ = 2 +=1-法所以 S=2- + 22【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题.44. (2021 .广东福田高三阶段练习)己知%是等差数列，=2, %+%+。4 = 18.(1) 求4的通项公式；(2) 设如=|(扼广-1000,求数列也的前15项和咨【答案】(1) an = In(2) 66490【分析】(1) 利用己知条件解方程得到基本量/，再利用公式写通项公式即可;(2) 先代入化简，分类讨论去绝对值，再分组可求前15项和.(1)设等差数列*的公差为d,由条件得f，=2a L )% +% +。4 =3% +6H = 18解得故 =2.由(1)可知 bn = T -10001000-21h92-1000,10 /?2时，S_ =2。_一1,两式相减可得，S - S- = 2% - 2%一即=2。 - 2、整理可得，为 =2%公比为2的等比数列;. = = 2% -1 ,解得 = 1,所以数列。为首项为1,(2)由题意可得：K = lx2+2x2i+. + .2,所以 2 77 =1x2+2x22+n-2M两式相减可得，K = l + 2i+22+. + 2T.2=LNL .2=2l 21-2兀=.2-2 + 1.【点睛】本题主要考查等比数列，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可,属于常考题型.46. （2021广东高三阶段练习）已知等差数列%的前项和为S”，且52=8, S9=116z4.（1）求（2）设数列 普 的前项和为L，求证：Tn2,作N*）,且=T，（1）证明数列 上 为等差数列，并求数列%的通项公式;(2)若如=(-1)如,求。的最小值.【答案】(1) 证明见解析，an = 13一7(2) -4【分析】(1) 利用递推关系，把递推关系变形得出上-一匚=3,可证明数列为等差数列，并按等差数列通项% %a