高考数学第七章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

走向高考走向高考 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索新课标新课标版版 高考总复习高考总复习立体几何立体几何第七章第七章第五讲第五讲 直线、平面垂直的判定与直线、平面垂直的判定与性质性质 第七章第七章知识梳理知识梳理双基自测双基自测1考点突破考点突破互动探究互动探究2课课 时时 作作 业业3知识梳理知识梳理双基自测双基自测1直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面内的_一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，b，la，lb，abP_.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_即：a，b_.知识梳理 任意相交l平行ab3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角锐角 两个半平面垂直4平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a_.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直即：，a，b，ab_.直二面角交线a双基自测 (5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()(7)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)考点突破考点突破互动探究互动探究与线面垂直关系有关命题真假的判断(2)对于选项A，n，mn，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m，故不正确；对于选项B，m，而m与可能平行，也可能m与斜交，故不正确；对于选项C，m，而m与可能平行，也可能m，故不正确；对于选项D，因为n，m，所以mn.又因为n，所以m.故选D.答案(1)B(2)D规律总结与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准、甚至无需作图在头脑中形成印象来判断(2)寻找反例，只要存在反例，那么结论就不正确(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明对于B，l，m，n，且lm，ln，如图(2)，不垂直；对于C，m，n，mn，且lm，直线l没有确定，则，的关系也不能确定；对于D，l，lm，且m，则必有l，根据面面垂直的判定定理知，.(2)对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即l，l，如果这两个条件存在，则.线面垂直的判定与性质分析证明线面垂直的步骤(2)PDA45，PAAD，APAD.ABCD为矩形，ADBC，PABC.又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，PMCM，又N为PC的中点，MNPC.由(1)知MNCD，PCCDC，MN平面PCD.规律总结(1)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”利用面面垂直的性质定理(2)证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系利用等腰三角形底边中线的性质利用勾股定理的逆定理利用直线与平面垂直的性质证明(1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC中，ADBD，又SASB，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面ABC.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.点评证明本题的关键是设法在平面内找到两条相交直线与所证直线垂直又B1D1BB1B1，所以A1C1平面BB1D1D.又BD1平面BB1D1D，所以A1C1BD1.同理，DC1BD1，DC1A1C1C1，所以BD1平面A1C1D.由可知EFBD1.规律总结线面垂直的性质定理是证明两条直线平行的一种重要方法，本题证明EFBD1的关键是寻找与直线EF，BD1都垂直的平面平面与平面垂直的判定与性质证明(1)方法一：连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD 平面FGH，所以BD平面FGH.方法二：在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.规律总结(1)面面垂直的证明方法定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”(2)连接BE并延长交PC于H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC.又AC平面PAC，ABAC.即ABC是直角三角形