二次函数专题复习导学案

专题复习：二次函数综合题训练导学案【复习要点】二次函数综合题的特点：二次函数综合题是初中数学中知识覆盖面最广，综合性最强，解题方法灵活。近几年的中考综合题多以二次函数背景结合初中几何知识，综合考察学生的数学思想和数学解题方法，此类题必须认真审题、正确分析理解题意解题过程中常用到的数学思想方法有转化、数形结合、分类讨论【学习过程】一、存在性问题 例题1如图，抛物线yax2c（a0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（2,0），B（1, 3） (1）求抛物线的解析式；(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使SPAD4SABM成立，求点P的坐标图2xyCB_D_AO【对应训练】如图，抛物线与轴交于两点A（1，0），B（1，0），与轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由二、最直问题例题2 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。 （1）求点D的坐标； （2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式； （3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求POA面积的最大值； （4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。 【对应训练】 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，线段OA绕原点O顺时针旋转120后得到线段OB.(1)直接写出点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.BAOyxOABYX三、判断点的位置的问题例题3已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点(1）求这个函数关系式；(2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；(3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由AxyOB【对应训练】已知平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线上，过A作ABx轴于点B，ADy轴于点D，将矩形ABOD沿对角线BD折叠后得A的对应点为，重叠部分（阴影）为BDC。 （1）求证：BDC是等腰三角形。 （2）如果A点的坐标是（1，m），求BDC的面积。 （3）在（2）的条件下，求直线BC的解析式，并判断点是否落在已知的抛物线上？请说明理由。 答案详解例1解释：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得：；故为所求(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设BD的解析式为，则有，故BD的解析式为；令则，故(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，图3易知BN=MN=1，易求；设，依题意有：，即：解之得：，故 符合条件的P点有三个：例1对应训练解释：（1）把A B代入得：解得：3分（2）令，得 4分OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=ABC =BDCA， ABD=BAC 过点D作DE轴于E，则BDE为等腰直角三角形令 ，则 点D在抛物线上 解得，（不合题意，舍去） DE=(说明：先求出直线BD的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D的坐标也可)四边形ACBD的面积=ABOC +ABDE7分（说明：也可直接求直角梯形ACBD的面积为4）(3)存在这样的点M8分ABC=ABD= DBC=MN轴于点N， ANM=DBC =在RtBOC中，OB=OC= 有BC=在RtDBE中，BE=DE= 有BD= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMN CDB时，有即 解得：（舍去） 则() 当AMN DCB时，有即 解得（舍去） （舍去）10分 点M在轴右侧时，则 () 当AMN DCB时，有 解得（舍去） () 当AMN CDB时，有 即 解得：（舍去） M点的坐标为12分例2解释：（1）由题知，直线与BC交于点D（x，3) 把y3代入中得， D（4，3） （2）抛物线经过D（4，3）、A（6，0）两点 把分别代入中得： 解之得： 抛物线的解析式： （3）因POA底边OA6 当有最大值时，点P须位于抛物线的最高点 ，抛物线顶点恰为最高点 的最大值 （4）抛物线的对称轴与x轴的交点，符合条件 CBOA， ，该点坐标为 过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点 对称轴平行于y轴 在和中 点位于第四象限BAOyxOBA O因此，符合条件的点有两个，分别是例2对应训练解释：(1)点B的坐标(1，)(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+2)把B(1，)代入得=a1(1+2)解得a= CBAOyxABOC(3)如图，抛物线的对称轴是直线x=-1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b ，解得 直线AB为当x=-1时， 点C的坐标为(-1，)（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.BAODBAOyxP 当x=-时，PAB的面积的最大值为，此时P(-，).O例3解释：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点当a0时，=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=x2+x+1 (2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PCx 轴于点C是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PBAB 则PBC=BAO RtPCBRtBOA ，故PC=2BC，设P点的坐标为(x，y)，ABO是锐角，PBA是直角，PBO是钝角，x-2BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)点P在二次函数y=x2+x+1的图象上，-4-2x=x2+x+1解之得：x1=-2，x2=-10x-2 x=-10，P点的坐标为：(-10，16)(3）点M不在抛物线上由（2）知：C为圆与x 轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CMPB，且CQ=MQ QEMD，QE=MD，QECECMPB，QECE PCx 轴 QCE=EQB=CPBtanQCE= tanEQB= tanCPB =CE=2QE=22BE=4BE，又CB=8，故BE=，QE=Q点的坐标为(-，)可求得M点的坐标为(，)=C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上例3对应训练解释：（1）由折叠知：ABDDBC 四边形ABOD是矩形 ABDO ABDCDB CBDBDC BDC是等腰三角形 （2）点A（1，m）在的图像上 在RtABD中， ABD30 CBO30 （3）设直线BC解析式为： 解得 设的坐标为（x，y），过作轴于M，则 ，即 代入，得 点的坐标是 把代入，得： 在此抛物线上