数学第九章 平面解析几何 第二节 两直线的位置关系 文

第二节两直线的位置关系总纲目录教材研读1.两条直线平行与垂直的判定考点突破2.两直线相交3.三种距离考点二距离问题考点一两条直线的位置关系考点三对称问题1.两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1l2k1=k2.特别地,当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1与l2平行平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率都存在,设为k1、k2,则有l1l2k1k2=-1.当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相垂直垂直.教材研读教材研读2.两直线相交两直线相交直线l1:A1x+B1y+C1=0且l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解无解;重合方程组有无数个解无数个解.1112220,0AxB yCA xB yC3.三种距离三种距离 点点距点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= 点线距点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= 线线距两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= 222121(xx )(yy )0022|Axy|ABBC1222|CC |AB1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0A答案答案 A由题意知,斜率k=,又直线过点(1,0),所以所求直线方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.12122.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为()A. B.C. D. 2 9,5 52 9,5 529,5529,55B答案答案 B解方程组得所以两直线的交点为.210,240,xyxy 2,59,5xy 2 9,5 53.已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()A. B.2- C.-1 D.+12222D答案答案 D由题意得,d=1,|a+1|=,a0,a=-1.22|23|1( 1)a 224.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为()A.1 B.C. D.223B答案答案 B由题意可知l1与l2平行,故l1与l2之间的距离d=,故选B.1222|CCAB|1 ( 1)|2 25.已知坐标平面内两点A(x,-x)和B,那么这两点之间距离的最小值是 .22,0212答案答案 12解析解析由题意可得两点间的距离d=,即最小值为.222( 2)2xx23 21244x12126.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a= .0或或1答案答案0或1解析解析由题意知(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,整理得a2-a=0,解得a=0或1.典例典例1(1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1l2,l2l3,则实数m+n的值为 .(2)已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.l1l2,且直线l1过点(-3,-1);l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.考点一两条直线的位置关系考点一两条直线的位置关系考点突破考点突破答案答案(1)-10解析解析(1)l1l2,=-2(m-2),解得m=-8(经检验,l1与l2不重合),l2l3,21+1n=0,解得n=-2,m+n=-10.(2)因为l1l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.因为直线l2的斜率存在,l1l2,所以直线l1的斜率存在.所以=1-a.(*)42mmab又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.(*)联立(*)(*)可得a=2,b=-2或a=,b=2.4b231.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.提醒当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.方法技巧方法技巧2.由一般式确定两直线位置关系的方法提醒在判断两直线的位置关系时,比例式与,的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(+0)l2:A2x+B2y+C2=0(+0)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2平行的充要条件=(A2B2C20)l1与l2相交的充要条件(A2B20)l1与l2重合的充要条件=(A2B2C20)21A21B22A22B12AA12BB12CC12AA12BB12AA12BB12CC12AA12BB12CC1-1若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为 .23答案答案 23解析解析解方程组可得所以直线2x-y=-10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),代入y=ax-2,得-8=a(-9)-2,所以a=.210,1,xyyx 9,8,xy 231-2经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为 .4x+3y-6=0答案答案4x+3y-6=0解析解析解法一:由方程组得即P(0,2).ll3,直线l的斜率k=-,直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.解法二:直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,240,20,xyxy0,2,xy4343即(1+)x+(-2)y+4-2=0.l与l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.1-3 (2018湖北武汉质检)已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使(1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1l2;(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.解析解析(1)由题意得解得m=1,n=7.即当m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(m,-1),即当m=1,n=7时,l1与l2相交于点P(1,-1).(2)l1l2,解得或即m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2.280,210,mnmm 2160,20,mmn4,2mn 4,2.mn (3)当且仅当2m+8m=0,即m=0时,l1l2.又-=-1,n=8.即m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.8n典例典例2(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C. D.(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则点P的坐标为 .951852910295考点二距离问题考点二距离问题答案答案(1)C(2)(1,-4)或 278,77解析解析(1)因为=,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为.(2)设点P的坐标为(a,b),A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2),而AB的斜率kAB=-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.点P(a,b)在直线x-y-5=0上,a-b-5=0.364812522| 245|68291029103 142 又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,=2,即4a+3b-2=10,由联立可得或点P的坐标为(1,-4)或.|432|5ab1,4ab 27,78.7ab 278,77易错警示易错警示(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为相等.同类练同类练(1)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是()A. B. C.8 D.2(2)已知P是直线2x-3y+6=0上一点,O为坐标原点,且点A的坐标为(-1,1),若|PO|=|PA|,则P点的坐标为 .1710175答案答案(1)D(2)(3,4)解析解析(1)由题意得=,m=8,则直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d=2.(2)解法一:设P(a,b),则解得a=3,b=4,P点的坐标为(3,4).解法二:线段OA的中垂线的方程为x-y+1=0,则由634m14322| 37|34 22222360,(1)(1) ,ababab2360,10,xyxy 解得则P点的坐标为(3,4).3,4,xy变式练变式练如图,P是函数y=x+(x0)上一点,过P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为A,B.(1)求证:|PA|PB|为定值;(2)求四边形OAPB面积的最小值. 1x解析解析(1)证明:设P(x00),|PA|=-=.|PB|=|x0|=x0.|PA|PB|=x0=.|PA|PB|为定值.(2)连接OP(图略),直线PA的方程为y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.0001,x xx00012xxx012x012x222201x01x由方程组解得x=y=x0+,即A,|OA|=.S四边形OAPB=SOPA+SOPB=|OA|PA|+|OB|PB|=+x0=1+1+.当且仅当=,即x0=时,四边形OAPB面积取最小值1+.00,12,yxyxxx 012x000011,22xxxx20012xx12121220012xx012x12001xx12202212xx2220 x2012x41222深化练深化练点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+2)y=2+5的距离为d,则d的取值范围是()A.0d D.d 131313A答案答案A直线l:(1+3)x+(1+2)y=2+5可化为(x+y-2)+(3x+2y-5)=0.由得直线l恒过定点A(1,1)(不包括直线3x+2y-5=0),|PA|=,由此易知点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+2)y=2+5的距离d的取值范围是0d,故选A.20,3250 xyxy1,1,xy22( 2 1)( 1 1) 1313考点三对称问题考点三对称问题命题方向命题视角点关于点的对称考查中点坐标公式点关于线的对称考查垂直平分线线关于线的对称转化为点关于线的对称典例典例3过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.命题方向一点关于点的对称命题方向一点关于点的对称解析解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,则A(4,0),又P(0,1),所以直线l的方程为x+4y-4=0.典例典例4已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 .命题方向二点关于线的对称命题方向二点关于线的对称6x-y-6=0答案答案6x-y-6=0解析解析设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M(a,b),则反射光线所在直线过点M,所以解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.411,( 3)3430,22baab 060y 12 1x命题方向三线关于线的对称命题方向三线关于线的对称典例典例5求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m的方程.解析解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设点M的对称点M的坐标为(a,b),则解得故点M的坐标为.202310,22021,23abba 6,1330,13ab6 30,13 13设直线m与直线l的交点为N,由解得则N(4,3).由两点式可得直线m的方程为9x-46y+102=0.2310,3260,xyxy 4,3,xy1.关于中心对称问题的处理方法(1)若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得(2)求直线关于点的对称直线的方程,其主要方法:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程,当然,斜率必须存在.112,2.xaxyby方法技巧方法技巧2.关于轴对称问题的处理方法若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2).121221210,221,xxyyABCyyAxxB 3-1如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()A.2 B.6 C.3 D.2 1035A答案答案 A易得AB所在的直线方程为x+y=4,设点P关于直线AB对称的点为A1,则A1(4,2),点P关于y轴对称的点为A2,则A2(-2,0),则光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(-2,0)两点间的距离.于是|A1A2|= 2 .22(42)(20)103-2已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是 .56解析解析由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,直线AB与直线y=kx+b垂直,故解得k=-,b=.所以直线y=kx+b的方程即为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.1,223 11,1212,2kkb 3254325432545656答案答案 563-3直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为 .3x+4y+5=0答案答案3x+4y+5=0解析解析设A(x,y)为所求直线上的任意一点,则A(x,-y)在直线3x-4y+5=0上,即3x-4(-y)+5=0,故所求直线方程为3x+4y+5=0.