第20届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案

“高中物理参考”收集 第二十届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案、评分标准一、参考解答（1） 右 f 实 倒 1 。（2） 左 2f 实 倒 1 。评分标准：本题20分，每空2分。二、参考解答波长与频率的关系为 ， （1）光子的能量为 ， （2）由式（1）、（2）可求得产生波长m谱线的光子的能量 J （3） 氢原子的能级能量为负值并与量子数的平方成反比： ，1，2，3， （4）式中为正的比例常数。氢原子基态的量子数1，基态能量已知，由式（4）可得出 （5）把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的2，3，4，5， 各能级的能量，它们是 J，J，J，J。比较以上数据，发现J。 （6）所以，这条谱线是电子从的能级跃迁到的能级时发出的。评分标准：本题20分。式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。三、参考解答1. 操作方案：将保温瓶中的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分，与温度为的构件充分接触，并达到热平衡，构件温度已升高到，将这部分温度为的水倒掉。再从保温瓶倒出一部分热水，再次与温度为的构件充分接触，并达到热平衡，此时构件温度已升高到，再将这些温度为的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水来使温度为的构件升温直到最后一次，将剩余的热水全部倒出来与构件接触，达到热平衡。只要每部分水的质量足够小，最终就可使构件的温度达到所要求的值。2. 验证计算：例如，将1.200kg热水分5次倒出来，每次倒出0.240kg，在第一次使热水与构件达到热平衡的过程中，水放热为 （1）构件吸热为 （2）由及题给的数据，可得 27.1 （3）同理，第二次倒出0.240kg热水后，可使构件升温到 40.6 （4）依次计算出的数值，分别列在下表中。倒水次数/次12345平衡温度/27.140.651.259.566.0可见66.0时，符合要求。附：若将1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，依次算出的值，如下表中的数据：倒水次数/次1234平衡温度/30.345.5056.865.2由于65.266.0，所以如果将热水等分后倒到构件上，则倒出次数不能少于5次。评分标准：本题20分。设计操作方案10分。操作方案应包含两个要点：将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。倒在构件上的水与构件达到热平衡后，把与构件接触的水倒掉。验证方案10分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同，但必需满足两条：通过计算求出的构件的最终温度不低于66.0。使用的热水总量不超过1.200kg。这两条中任一条不满足都不给这10分。例如，把1.200kg热水分4次倒，每次倒出0.300kg，尽管验算过程中的计算正确，但因构件最终温度低于66.0，不能得分。vzvvz四、参考解答设计的磁场为沿轴方向的匀强磁场，点和点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由点射出就进入了磁场，可将与轴成角的速度分解成沿磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度（见图预解20-4-1），注意到很小，得 （1） （2）粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下作圆周运动，以表示圆周的半径，有 圆周运动的周期由此得 （3）可见周期与速度分量无关。粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向作匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向作螺旋运动，螺旋运动螺距为 （4）由于它们具有相同的，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使等于一个螺距或一个螺距的（整数）倍，由点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于点，如图20-4-2所示。所以 ， 1，2，3， （5）由式（3）、（4）、（5）解得 ， 1，2，3， （6）这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取1，所以磁感应强度的最小值为 。 （7）评分标准：本题20分。磁场方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）给5分，求得式（7）再给2分。五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为，则摆球受重力和摆线拉力的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式 （1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取点为势能零点，则有关系 （2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度，摆线与竖直线的夹角，由式（1）得 ， （3）代入（2）式，求出 （4）要求作斜抛运动的摆球击中点，则应满足下列关系式：， （5） （6）利用式（5）和式（6）消去，得到 （7）由式（3）、（7）得到 （8）代入式（4），求出 （9）越大，越小，越小，最大值为，由此可求得的最小值：，所以 （10）评分标准：本题20分。式（1）1分，式（2）3分，式（3）2分，式（5）、（6）各3分，式（8）3分，式（9）1分，式（10）4分。六、参考解答VpxVpyuxuyv0（1）规定运动员起跳的时刻为，设运动员在点（见图预解20-6）抛出物块，以表示运动员到达点的时刻，则运动员在点的坐标、和抛物前的速度的分量、分别为， （1） （2）， （3） （4）设在刚抛出物块后的瞬间，运动员的速度的分量大小分别为、，物块相对运动员的速度的分量大小分别为、，方向分别沿、负方向。由动量守恒定律可知 ， （5） （6）因的方向与轴负方向的夹角为，故有 （7） （8）解式（1）、（2）、（5）、（6）和式（7）、（8），得 （9） （10）抛出物块后，运动员从点开始沿新的抛物线运动，其初速度为、。在时刻（）运动员的速度和位置为， （11） ， （12） ， （13） （14）由式（3）、（4）、（9）、（10）、（13）、（14）可得 （15） （16）运动员落地时， 由式（16）得 ， （17）方程的根为 （18）式（18）给出的两个根中，只有当“”取“”时才符合题意，因为从式（12）和式（10），可求出运动员从点到最高点的时间为式 而从起跳到落地所经历的时间应比上面给出的时间大，故从起跳到落地所经历的时间为 （19）（2）由式（15）可以看出，越大，越小，跳的距离越大，由式（19）可以看出，当0时，的值最大，由式（3）和式（4）可知，抛出物块处的坐标为 ， （20）即应在原点亦即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。由式（19）可以得到运动员自起跳至落地所经历的时间为 把和代入式（15），可求得跳远的距离，为 （21）可见，若，即 ， （22）时，有最大值，即沿与轴成45方向跳起，且跳起后立即沿与负轴成45方向抛出物块，则有最大值，此最大值为 （23）评分标准：本题20分。第一小问13分：求得式（15）、（16）各3分，式（17）2分，求得式（19）并说明“”取“”的理由给5分。第二小问7分：式（20）2分，式（22）2分，式（23）3分。七、参考解答在电压为时，微粒所受电场力为，此时微粒的加速度为。将此式代入题中所给的等式，可将该等式变为 （1）现在分析从0到时间内，何时产生的微粒在电场力的作用下能到达A板，然后计算这些微粒的数目。在时产生的微粒，将以加速度向A板运动，经后，移动的距离与式（1）相比，可知 （2）即时产生的微粒，在不到时就可以到达A板。在的情况下，设刚能到达A板的微粒是产生在时刻，则此微粒必然是先被电压加速一段时间，然后再被电压减速一段时间，到A板时刚好速度为零。用和分别表示此两段时间内的位移，表示微粒在内的末速，也等于后一段时间的初速，由匀变速运动公式应有 （3） （4）又因 ， （5） ， （6） ， （7）由式（3）到式（7）及式（1），可解得 ， （8）这就是说，在的情况下，从到这段时间内产生的微粒都可到达A板（确切地说，应当是）。为了讨论在这段时间内产生的微粒的运动情况，先设想有一静止粒子在A板附近，在电场作用下，由A板向B板运动，若到达B板经历的时间为，则有 根据式（1）可求得 由此可知，凡位于到A板这一区域中的静止微粒，如果它受的电场作用时间大于，则这些微粒都将到达B板。在发出的微粒，在的电场作用下，向A板加速运动，加速的时间为，接着在的电场作用下减速，由于减速时的加速度为加速时的两倍，故经过微粒速度减为零。由此可知微粒可继续在的电场作用下向B板运动的时间为 由于，故在时产生的微粒最终将到达B板（确切地说，应当是），不会再回到A板。在大于但小于时间内产生的微粒，被的电场加速的时间小于，在的电场作用下速度减到零的时间小于，故可在的电场作用下向B板运动时间为 所以这些微粒最终都将打到B板上，不可能再回到A板。由以上分析可知，在到时间内产生的微粒中，只有在到时间内产生的微粒能到达A板，因为各个时刻产生带电微粒的机会均等，所以到达A板的微粒数为 （9）评分标准：本题20分。论证在到时间内产生的微粒可能到达A板给10分；论证到时间内产生的微粒不能到达A板给6分。求得最后结果式（9）再给4分。第二十届全国中学生物理竞赛预赛题答案 第9页