微积分课件：5-2换元积分法

一、第一类换元法一、第一类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法三、小结三、小结 思考题思考题第二节第二节 换元积分法换元积分法问题问题 xdx2cos,2sin)(Cx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令2ux 1,2dxdu xdx2cos1cos2udu 1sin2u C .2sin21Cx 一、第一类换元法 dxxxf)()( ( )( ) ( ( )uxf uduFxC 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf注意：观察点不同，所得结论不同注意：观察点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1定理定理如如何何求求解解？考考虑虑 xdx2sin解解法法1 xdx2sin11sincos22uduuc 1cos2;2xc 解解法法2 xdx2sin xdxxcossin222 uduuc 2sin;xc12 ,2ux dxdusin,cosux duxdx解解法法3 xdx2sin xdxxcossin222 uduuc 2cos.xc cos,sinux duxdx 例例1 1 求求.231dxx 解解dxx 231duu 121Cu |ln21.|23|ln21Cx xu23 cxdxx ln1 .，体体现现凑凑微微分分的的思思想想即即直直接接令令间间变变量量可可以以不不设设出出来来，注注：第第一一类类换换元元法法的的中中xdxfdxxxf dudx21 dxx 231.|23|ln21Cx dxbaxf)( baxdbaxfa)(1一般地一般地 xdx2323121 xd23 例例1 1 求求.231dxx 又解又解cxdxx ln1凑凑 微微 分分例例2 2 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx Cxx 2)1(2111例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .|ln21|ln21Cx 例例4 4 求求.ln1;1;11;1;cos;122dxxxdxeedxedxeedxxxdxexxxxxxx 凑微分凑微分 )()()()(xdxfdxxxf 利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成中间变量的微分，常见的有：中间变量的微分，常见的有： )cot()(arctan11)(arccos)(arcsin11)(cotcsc)(tansec)(cossin)(sincos)(ln1)();(ln11122221xarcdxddxxxdxddxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxadadxaeddxexddxxxdndxxbaxdadxxxxxnn 例例5 5 求求 .cottanxdxxdx 和和sintancosxxdxdxx 解解coscotsinxxdxdxx cxxdxcxxdx sinlncotcoslntanln secln cscxcxc 1(cos )cosdxx ln cos.xc 1(sin )sindxx ln sin.xc例例6 6 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa cadxxaax arctan1122例例7 7 求求221.(0)dx aax 解解cdxxaax arcsin1222221111dxdxaaxxa 211xdaxa arcsin.xca例例8 8 求求.122dxxa 解解cxaxaadxxa ln211222211112dxdxaxaaxax 1112d axd axaaxax 11lnlnln.22axaxaxccaaax 例例9 9 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx cxxdxx cotcsclncsc解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211Cuu 11ln2111cosln21cosxCx 类似地可推出类似地可推出 Cxxxdxtanseclnsec.cotcsclnCxx 例例1010 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12.34arctan31Cx cadxxaax arctan1122例例1111 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例例1212 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 例例1313 求求解解.cossincossin2452 xdxxxdxx和和.cossin个个的的提提出出来来凑凑微微分分有有一一个个为为奇奇数数时时，将将单单，的的解解题题思思路路：形形如如nmxdxxmn 24sincos(sin)xxdx222sin(1 sin)(sin )xxdx246(sin2sinsin) (sin )xxx dx357121sinsinsin.357xxxC25sincosxxdx.22cos1sin22cos1coscossin22降降幂幂，用用均均为为偶偶数数时时，的的解解题题思思路路：形形如如xxxxnmxdxxmn 2421cos21cos2sincos22xxxxdxdx 降幂拆项xx2cos2cos2231(1 cos2cos 2cos 2 )8xxx dx 3111(sin4sin 2 )1643xxxc 例例1414 求求解解.2cos3cos xdxx12coscoscos()cos()ABABAB13252coscos(coscos ),xxxx13252coscos(coscos )xxdxxx dx115102sinsin.xxC.1314相乘形式都可求相乘形式都可求，所有三角正弦、余弦，所有三角正弦、余弦，结合例结合例例例1515 求求 sincoscossinsin1sincos2sincosxxxxxdxdxxxxx dxxxx cossinsin .cossincossincossincossincossin拆项拆项令令的解题思路：的解题思路：形如形如 xBxAnxBxAmxbxadxxBxAxbxa解解 cossin12sincosxxdxdxxx 1ln sincos.2xxxc例例1616 求求3533tantansecsincosxdxxxdxdxxx xxxx2222csc1cotsec1tan ;)1(sectan2dxxx ;sectansectan24xdxxxx );cos(tansec22xdxxx分子分母同除分子分母同除 解解例例1717 求求解解.sin11cos11 dxxdxx和和 )(sinsin1sin122xdxdxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2sincos1.sin1cotCxx dxxsin112211(cos )coscosdxdxxx1sin1sin1sinxdxxx21 sin1 sinxdxx21 sincosxdxx1tan.cosxcx例例1818 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin412 22arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdx .|2arcsin|lnCx 问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法 )(1)( )()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第二类换元公式第二类换元公式例例1919 求求 .0122 adxxa解法一解法一第一类换元法解法二解法二第二类换元法sin ,cos,2 2xatdxatdtt 令令2211coscosarcsindxatdtataxdttcxca tax22ax 例例2020 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 例例2121 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1|tansec|lnCtt 22221lnln.xaxCxxaCaa 2,2t )0(ln12222 aCaxxdxaxtax22xa 解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1|tansec|lnCtt .lnln22122CaxxCaaxax 例例2121 求求)0(ln12222 aCaxxdxaxtax22xa 说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2323 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例2424 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx 24211111dtttt （分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu (x 0) duuu121 duuu11121 )1(11121uduu 31113uuC322111.3xxCxx当当x0时，可得类似结论。时，可得类似结论。说明说明(3)(3) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2525 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dttdt2116 ctt arctan6cxx 6161arctan6例例2626 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 注意注意 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例2727 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 说明说明(4)(4) 当被积函数含有当被积函数含有t将将无无法法处处理理的的部部分分设设为为,nndcxbaxbax ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt |11|ln2.11ln122Cxxxxx 例例2828 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(5)(5) 当被积函数含有当被积函数含有例例2929 求求.22112dxxx 解解cbxax 2根号内配方法根号内配方法2211122111dxdxxxx21111secseccos (cos )tdtdtttt原式.1122221ln2tantansecln2cos21cos1cos11cos1222cxxxxxxctttdtttdttt ;|sec|ln|cos|lntan)14(CxCxxdx ;|csc|ln|sin|lncot)15(CxCxxdx ;|tansec|lnsec)16( Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)17( Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa 基基本本积积分分表表;|ln211)20(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)21(22Caxdxxa .|ln1)22(2222Caxxdxax ;|ln211)19(22Caxaxadxax 三、小结两类积分换元法：两类积分换元法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(14)（22）