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开放探究题开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。例1（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，A=FDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.解：是假命题. 以下任一方法均可： 添加条件：AC=DF. 证明：AD=BE,AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在ABC和DEF中,AB=DE，A=FDE，AC=DF， ABCDEF(SAS). 添加条件：CBA=E. 证明：AD=BE, AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在ABC和DEF中，A=FDE，AB=DE，CBA=E ， ABCDEF(ASA). 添加条件：C=F. 证明：AD=BE,AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在ABC和DEF中，A=FDE，C=F ，AB=DE， ABCDEF(AAS) 同步测试ABCEDF1(2009年牡丹江市)如图，ABCD中，、分别为、边上的点，要使需添加一个条件： 1. 2（2009东营）如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，ABDACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出ADBC且ABCD. BCDAO2.DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD；(任选其一) 类型二：探究结论型探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。例2（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长【答案】（1）证：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下证明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM （2）解：当45时，可得ACBC且ACBCM为AB的中点，AMBM 又AMFBGM， 又， 同步测试3（2009年福州）请写出一个比小的整数 3.答案不唯一，小于或等于的整数均可，如：2，1等4（2009年莆田）已知，如图，是以线段为直径的的切线，交于点，过点作弦垂足为点，连接（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：_，_ ，_，_（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；CDOFABE（2）=，=，求的半径4.（1）等CDOFABE（2）解:是的直径 又 又是的切线 在中， 类型三：探究结论存在与否型 探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。例3（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，已知ADAB3，BC4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，PMC为等腰三角形？解：（1）在直角梯形ABCD中，QNAD，ABC90，四边形ABNQ是矩形。QD=t，AD=3，BN=AQ=3-t，NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。AB3，BC4，ABC90，AC=5。QNAD，ABC90，MNAB，即，.（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。(3)MNAB，MNCABC，要使射线QN将ABC的面积平分，则MNC与ABC的面积比为1：2，即相似比为1：，即，t=.CN=，MC=，CN+MC=，ABC的周长的一半=6，不存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分。（4）分3种情况：如图，当PM=MC时，PMC为等腰三角形。则PN=NC，即3-t-t=t+1，即时，PMC为等腰三角形。如图，当CM=PC时，PMC为等腰三角形。即，时，PMC为等腰三角形。如图，当PM=PC时，PMC为等腰三角形。PC=4t，NC=t+1，PN=2t-3,又，MN=，由勾股定理可得2+（2t-3）2=（4t）2，即当t=时，PMC为等腰三角形。同步测试5（2009年广西南宁改编）如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，延长交正方形外角平分线，边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 解法四边形ABCD为正方形FADCBE132四边形是平行四边形解法：在边上存在一点，使四边形是平行四边形证明：在边上取一点，使，连接、BCEDAFP541M四边形为平行四边形6（2009白银市）如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）图（2）、图（3）为解答备用图（1），点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形图（1） 图（2）图（3）解：（1），A（-1，0），B（3，0）（2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM则 AOC的面积=，MOC的面积=，MOB的面积=6， 四边形 ABMC的面积=AOC的面积+MOC的面积+MOB的面积=9（3）如图（2），设D（m，），连结OD则 0m3， 0 且 AOC的面积=，DOC的面积=， DOB的面积=-（）， 四边形 ABDC的面积=AOC的面积+DOC的面积+DOB的面积=图（3） 图（4） 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为（4）有两种情况：如图（3），过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点E的坐标为（0，3） 直线BE的解析式为由 解得 点Q1的坐标为（-2，5）如图（4），过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点F的坐标为（-3，0） 直线CF的解析式为由 解得 点Q2的坐标为（1，-4）综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形类型四：归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。例4(2009年抚顺市)已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点作一条直线与两条直线分别相交于点（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系ABEDCMNlABEDCMNlABCMNABCMN图1图2备用图备用图解：（1）（2）成立（方法一）：在上截取，连接即ABEDCMNl125634HFG题（2）方法二图（方法二）：过点作直线，垂足为点，交于点作，垂足为点 由（1）得 （方法三）：延长，交于点（3）不成立存在当点在射线上、点在射线的反向延长线上时（如图），当点在射线的反向延长线上，点在射线上时（如图），ABEDCMNl125634F7ABEDCMlABECMDlN题（2）方法三图题（3）图题（3）图同步测试7（2009仙桃）如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，如图，然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DMBD，ENCE，得到图，请解答下列问题：(1)若ABAC，请探究下列数量关系：在图中，BD与CE的数量关系是_；在图中，猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若ABkAC(k1)，按上述操作方法，得到图，请继续探究：AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明7.（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC 理由如下：在图中，DE/BC，AB=ACAD=AE.在ABD与ACE中ABDACE.BD=CE，ACE=ABD.在DAM与EAN中，DM=BD，EN=CE，BD=CE，DM=EN，AEN=ACE+CAE，ADM=ABD+BAD，AEN=ADM.又AE=AD，ADMAEN.AM=AN，DAM=EAN.MAN=DAE=BAC.AM=AN，MAN=BAC.（2）AM=kAN，MAN=BAC.随堂检测：1. （2009年台州市）请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数答： 2. （2009白银市）如图6，四边形ABCD是平行四边形，使它为矩形的条件可以是3. （2009年牡丹江）先化简：并任选一个你喜欢的数代入求值4. （09湖南邵阳）已知，用“+”或“”连接，有三种不同的形式：，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中=525. （09湖南邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点，是它的两个端点（1）求此函数的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例6. （2009年杭州市）如图，在等腰梯形ABCD中，C=60，ADBC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点PDEFPBAC（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF的度数，并证明你的结论7. （2009年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由随堂检测答案：1.（答案不唯一）2.答案不唯一，如AC=BD，BAD=90o，等3.原式=选择a除了0与1以外的数代入均可。4.选择一：，当=52时，原式= 选择二：， 当=52时，原式= 选择三：， 当=52时，原式= 注：只写一种即可5.（1）设，在图象上，即，其中； （2）答案不唯一如：小明家离学校，每天以的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间6.（1）BA=AD，BAE=ADF，AE=DF，BAEADF，BE=AF；（2）猜想BPF=120 .由（1）知BAEADF，ABE=DAF .BPF=ABE+BAP=BAE，而ADBC，C=ABC=60，BPF=120 .7.解：设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，顶点C的横坐标为4，且过点(0，)y=a(x-4)2+k 又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，A(1，0)，B(7，0)0=9a+k ，由解得a=，k=，二次函数的解析式为：y=(x-4)2点A、B关于直线x=4对称，PA=PB，PA+PD=PB+PDDB，当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO， ，点P的坐标为(4，)由知点C(4，)，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N，如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60o，QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使QABABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)
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