(完整)《线性代数》知识点归纳整理,推荐文档

- 1 -线性代数知识点 归纳整理 诚毅学生 编01、余子式与代数余子式 .- 2 -02、主对角线 .- 2 -03、转置行列式 .- 2 -04、行列式的性质 .- 3 -05、计算行列式 .- 3 -06、矩阵中未写出的元素 .- 4 -07、几类特殊的方阵 .- 4 -08、矩阵的运算规则 .- 4 -09、矩阵多项式 .- 6 -10、对称矩阵 .- 6 -11、矩阵的分块 .- 6 -12、矩阵的初等变换 .- 6 -13、矩阵等价 .- 6 -14、初等矩阵 .- 7 -15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵 .- 7 -16、逆矩阵 .- 7 -17、充分性与必要性的证明题 .- 8 -18、伴随矩阵 .- 8 -19、矩阵的标准形： .- 9 -20、矩阵的秩： .- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 .- 9 -22、线性方程组概念 .- 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量） .- 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 .- 11 -25、线性方程组的向量形式 .- 11 -26、线性相关 与 线性无关 的概念 .- 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组 必然线性相关 .- 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩 这三者的关系及其例题 .- 12 -29、线性表示 与 线性组合 的概念 .- 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩 这三者的关系其例题 .- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 .- 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 .- 12 -33、线性方程组解的结构 .- 12 -2 -0101、余子式与代数余子式anai2(1)设三阶行列式 D =a2ia22a3ia32兀素a11，ai2，ai3的余子式分别为：Mii=a22a23，M12=a2ia?：，Mi3=a2ia22a32a33a3ia3：a3ia32a22a23人对 Mii的解释：划掉第 1 行、第 1 列，剩下的就是一个二阶行列式，这个a32a33行列式即元素aii的余子式 Mii。其他元素的余子式以此类推。元素aii,ai2,ai3的代数余子式分别为:Aii= ( - 1)1+1Mii, Ai2= ( - 1)1+2Mi2,Ai3= ( 1)1+3Mi3.对 Aij的解释(i 表示第 i 行，j 表示第 j 列)：Aij= ( 1) F Mj.(N 阶行列式以此类推)(2) 填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业 P1 第 1 题：0 40 4M31=，A31= (-1)3+10 30 3(3) 例题：课本 P8、课本 P21-27、作业 P1 第 1 题、作业 P1 第 3 题0202、主对角线一个 n 阶方阵的主对角线，是所有第 k 行第 k 列元素的全体，k=1,2, 3n，即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。0303、转置行列式如如 %叭Iit =%VWI*Dr=Ouan口叫*a 卡叫 aA” g j行列式称为存列式n的转資行列式*即元素与元素aji的位置对调(i 表示第 i 行，j 表示第 j 列)，比如说，ai2与a21的位置对 调、a35与a53的位置对调。ai3a23a33，则-3 -0404、行列式的性质详见课本 P5-8 （性质 1.1.1 1.1.7其中，性质 1.1.7 可以归纳为这个：熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。例题：作业 P1 第 2 题0505、计算行列式1+11+21+3=a“ A+ a12A12+ awA13= a“（ 1） M11+ 玄佗（1） M12+ 玄心（1） M13N 阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0 元素较多时方便计算.（r 是 row，即行。c 是 column，即歹 U）例题：课本 P5、课本 P9、课本 P14、作业 P1 第 4 题、作业 P2 第 3 小题（3）n 阶上三角行列式（0 元素全在左下角）与 n 阶下三角行列式（0 元素全在右上角）：D =a11a22ann（主对角线上元素的乘积）例题：课本 P10、作业 P3 第 4 小题ana12a13a21a22a23a31a32a33计算三阶行列式a aiiA Aki+a2Ak2+ +aAkn=A,i=k,0,i k（i 表示第 i 行，k 表示第 k 列）计算二阶行列式ana12a21a22方法（首选）：an a12a21a22方法：an a12=a11A11a21a22=a12a12a21（即，左上角X右下角一右上角X左下角）2=a“a22a2a21（2ana12a13a21a22a23a31a32a33（1例题：课本 P14-4 -有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式例题：课本 P11(4) 范德蒙行列式：详见课本 P12-13(5)有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全为 1 的一行，方便化简行列式。例题：作业 P2 第 1 小题、作业 P2 第 2 小题0606、矩阵中未写出的兀素课本 P48 下面有注明，矩阵中未写出的元素都为00707、几类特殊的方阵详见课本 P30-32(1) 上 (下)三角矩阵：类似上(下)三角行列式(2)对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0(3) 数量矩阵：主对角线上的元素都相同(4) 零矩阵：所有元素都为 0,记作 O(5) 单位矩阵：主对角线上的元素都为 1,其他元素全为 0,记作 E 或 En(其行列式的值为 1)0808、矩阵的运算规则(1)矩阵的加法(同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A 的行数与矩阵 B 的行数相同；矩阵 A的列数与矩阵 B 的列数也相同)：1课本 P32 “A+ B”、“A B”2加法交换律：A+ B= B+ A3加法结合律：A+( B+ C) = ( A+ B) + C(2) 矩阵的乘法(基本规则详见课本 P34 阴影):1 数与矩阵的乘法：I. 课本 P33 “kA”II. kA = knA (因为kA只等于用数 k 乘以矩阵 A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式)-5 -2 同阶矩阵相乘(高中理科数学选修矩阵基础)：ana12bnb12anbna2b21anb12a2b22x=a21a22b21b22a21bna22b21a21b12a22b22A B描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为A B，则C D-6 -A 的值为： 中第 1 行的每个元素分别乘以中第 1 列的每个元素，并将它们相加。即A=aiixbii+ai2xb2iB 的值为： 中第 1 行的每个元素分别乘以中第 2 列的每个元素，并将它们相加。即 B=anxb12+a12xb22C 的值为： 中第 2 行的每个元素分别乘以中第 1 列的每个元素，并将它们相加。即 c=a21xbn+a22xb21D 的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第 2 列的每个元素，并将它们相加。 即D=a21xb12+a22xb22.aIIIII IVa12a3b11b12bl3a11b11a12b21a13b31a11b12a12b22a13b32a11b13a12b23aV333P1率a23xb21b22b23=a21bna22b21a23b31a21b2a22b22a23b32a21b13a22b23a23b33a31S32a33b32b33a31bn a32b21a33b31aBga32b22a33b32a31b13a32b23a33b33描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为A 的值为:中第 1 行的每个元素分别乘以中第 1 列的每个元素，并将它们相加。即A=anxbn+a12xb21+a13xb31B、C、D E、F、G H I 的值的求法与 A 类似数乘结合律： k (1A ) = ( kl) A，( kA) B = A (kB)= k (AB)数乘分配律： (k+ l) A= kA+ lA，k (A+ B)= kA+ kB乘法结合律： (AB) C = A (BC)II 课本 P34 例题数乘的消去律、交换律不成立III 一般来讲，(AB)kMAkBk,因为矩阵乘法不满足交换律IV 课本 P40 习题第 2 题：(A+ B)2不一定等于 A2+ 2AB+ B2，(A+ B)2不一定等于 A2+ 2AB+B2，(A+ B) (A-B)不一定等于 A2 B2.当 AB= BA 时，以上三个等式均成立(3) 矩阵的转置运算规律：1(AT)T=A2(A 土B)T=ATBT3(kA)T= kAT4(AB)T= BTATV 课本 P34 例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵ABCDEF，则-7 -6乘法分配律：7需注意的：A (B+ C)= AB + AC，(A+ B) C = AC+ BC5（ABC）T=CTBTAT6（ABCD）T=DTCTBTAT（4） 同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本 P46）AB 二 A B（5）例题：课本 P35、课本 P36-37、课本 P40 第 4 大题、课本 P40 第 5 大题、课本 P51 第 1大题、课本 P51 第 4 大题、课本 P60 第 4 大题、作业 P5 全部、作业 P5 第 3 大题、作业P5 第 4 大题0909、矩阵多项式详见课本 P 361010、对称矩阵（1） 对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（ 详见课本 P37）（2）同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵2数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵3对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵1111、矩阵的分块线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本 P38-401212、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换：详见课本 P 42例题：作业 P6 全部1313、矩阵等价若矩阵 A 经过若干次初等变换后变成矩阵 B,则称矩阵 A 与矩阵 B 等价，记为 A B-8 -1414、初等矩阵(1)是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本 P48-49(2) 设 A 为 mxn 矩阵，则对 A 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘上一个相应的m 阶初等矩阵；A 施行一次初等列变换相当于在 A 的右边乘上一个相应的 n 阶初等矩阵. 详见课本 P50-51(3) 课本 P51 第 3 大题1515、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵(1) 对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换(或对换列)化为行阶梯型矩阵(2) 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为 0,每个台阶只有一行(台阶数即是非零行的行数)，阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元素，也就 是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个 非零元素为都为 1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本 P45、作业 P6 全部、课本 P51 第 2 大题1616、逆矩阵(1) 设 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B,使得 AB= BA= E,则称方阵 A 是可逆的，并称 B 为 A 的逆矩阵.(由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵)(2)如果方阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵是唯一的，并将 A 的逆矩阵记作 A，AA_1= E(3)n 阶方阵 A 可逆的充要条件为|A 工 0,并且，当 A 可逆时，仃(证明详见课本 P54)例题：课本 P59 第 1 大题(4) 可逆矩阵也称为非奇异方阵(否则称为奇异方阵)(5)性质：设 A，B 都是 n 阶的可逆方阵，常数 kM0,那么1(AA AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T(kA)-1= A1-9 -kA 也可逆，并且 -kAB也可逆：并且 (AB)-1= B-1A-1 A+ B 不一定可逆，而且即使 A+ B 可逆，一般(A+ B)1工 A-1+ B1-10 -I A-1I =7 AA-1= E n | AA-1= E = 1 n | AA-1= 1 =_ IA例题：课本 P58 例 2.3.7、作业 P7 第 1 题(6)分块对角矩阵的可逆性： 课本 P57(7) 由方阵等式求逆矩阵：课本 P58 例 2.3.6(8) 单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的(初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1 工 0 可逆，所以初等矩阵可逆)(9) 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵(10) 任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵(11)方阵 A 可逆的充要条件是：A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积(证明：课本 P67)(12)利用初等行变换求逆矩阵:A|E初等行变换E |A-1(例题：课本P68、课本 P71)(13) 形如 AX= B 的矩阵方程，当方阵 A 可逆时，有 A-1AX= A-1B,即卩 X = A-1B.此时有：A|B初等行变换E|X矩阵方程的例题：课本 P35、课本 P69、课本 P41 第 6 大题、课本 P56、课本 P58、课本 P59第 3 大题、课本 P60 第 5 大题、课本 P60 第 7 大题、课本 P71 第 3 大题 矩阵方程计算中易犯的错误：课本 P56 “注意不能写成”1717、充分性与必要性的证明题(1) 必要性：由结论推出条件(2) 充分性：由条件推出结论例题：课本 P41 第 8 大题、作业 P5 第 5 大题1818、伴随矩阵(1)定义：课本 P52 定义 2.3.2(2)设 A 为 n 阶方阵(n2)，则 AA*= A*A= A En(证明详见课本 P53-54)(3)性质：(注意伴随矩阵是方阵)1A*=AA-11 -3 A*|=| AA_ |=An| Aj=An丄(因为存在A_，所以A丰0)=An-1lA* *1*1111I114 (A)二(AA)二 | AA(AA )二 |An| A|(A )二 Anl1A= An-2A (因为 AA1二 E,所以 A1的逆矩阵是 A,即(A1)1) |A| A5 (AB) = BA(A*)-1= (A-1)*= A6 _A(4) 例题：课本 P53、课本 P55、课本 P58、课本 P60 第 6 大题、作业 P7 第 2 题、作业 P8 全部1919、矩阵的标准形：(1) 定义：课本 P61-62(2) 任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形2020、矩阵的秩：(1) 定义：课本 P63(2) 性质：设 A 是 mxn 的矩阵，B 是 pxq 的矩阵，贝U1若 k 是非零数，则 R (kA)= R (A)2R (A) = R(AT)3等价矩阵有相同的秩，即若 A B,则 R (A) = R (B)40WR (Amxn)minm , n5R (AB) 无解*V n 有无穷多个解R (A) = R (A) 有解 Vn有唯一解特别地，当 A 是(A 工 0 有唯一解 n 阶方阵时，可R (A)VR (A )=无解产由行列式来判断R (A) = R (A) U有解彳当例题：课本 P86 第 2 大题、课本 P88、课本 P92、作业 P11 第三题(12) n 元齐次线性方程组 AX= O 的解的情况：(只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解)R (A) = n = 只有零解(有唯一解，为 0)R (A)Vn = 有非零解(有无穷多个解)特别地，当 A 是 n 阶方阵A 工 0只有零解(有唯一解，为 0)*时，可由行列式来判断A 二 0 有非零解(有无穷多个解)例题：课本 P24、课本 P90-91、作业 P11 全部2424、行向量、列向量、零向量、负向量的概念详见课本 P92-93将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩阵中用。(行列式的性质包括行与列的变换)手写零向量时不必加箭头。2525、线性方程组的向量形式详见课本 P93有无穷多个解-15 -2626、线性相关与线性无关的概念详见课本 P93-94例题：课本 P101 第 6 大题、作业 P14 第五大题2727、向量个数大于向量维数的向量组 必然线性相关线代老师课上提到的结论。2828、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题详见课本 P94 定理 3.3.1、定理 3.3.2例题：课本 P94-95 例 3.3.2、课本 P101 第 3 大题、课 22 本 P101 第 5 大题、作业 P12 第 3小题、作业 P12 第二大题、作业 P13 第三大题、作业 P13 第四大题2929、线性表示与线性组合的概念详见课本 P953030、 线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题详见课本 P95-96 定理 3.3.3例题：课本 P95-96 例 3.3.43131、线性相关（无关）与线性表示的 3 3 个定理详见课本 P96 定理 3.3.4、课本 P97 定理 3.3.5、课本 P98 定理 3.3.63232、最大线性无关组与向量组的秩详见课本 P98-100 定义 3.3.5、定义 3.3.6、定 3.3.7单位列向量，即“只有一个元素为 1,且其余元素都为 0”的一列向量（求最大线性无关组 用）例题：课本 P100 例 3.3.5、课本 P101 第 4 大题、作业 P14 第六大题3333、线性方程组解的结构看此内容之前，最好先复习下“ n 元非齐次线性方程组 AX= b 的解的情况”与“ n 元齐次线性-16 -方程组 AX= O 的解的情况”（1） n 元齐次线性方程组 AX = O 解的结构1定理 341:详见课本 P101-1022定义 3.4.1 （并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本 P1023定理 3.4.2：详见课本 P1024解题步骤（“注”为补充说明）（以课本 P104 例 3.4.1 为例）:10274(I) A =011310000000000注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法真正转化成行最简形矩阵，所以说“往方向转化”X1=2X37X44X5X1=2x37X44x5X2=X33x4X5X3=X3X4=X4X5=X53线性无关。（II ） 得到同解方程组X2=X33X4X5注：由X12x37x44x5=X2X303X4 X5=0得到同解方程组（111） 二此方程组的一组解向量为:211=1007301041001注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1 有的是 0,看便知(IV )显然1,2,-17 -1000、1 、0 ,令它们分别为1、2、3,则显然1= 0X2+ 0X3,001注：根据课本 P93-94 定义 3.3.3 得出线性无关，注意12,3下面分别是:-18 -3= 0 xi+ 0 x2，可想而知，线性无关。(V )1,2,3为方程组的基础解系， 方程组的通解为：kl1+ k22+ k33( kl,k2, k3可取任意值)注：根据课本 P102 定义 341 得出该方程组的通解。5其他例题：课本 P109 第 1 大题、课本 P109 第 3 大题、课本 P109 第 4 大题、作业P15 第一大题第 1 小题、作业 P15 第一大题第 3 小题(2) n 元非齐次线性方程组 AX = b 解的结构 导出方程组：非齐次线性方程组 AX= b 对应的齐次线性方程组2定理 3.4.3：详见课本 P1053定义 3.4.4：详见课本 P1054定义 3.4.5：详见课本 P1055课本 P105 “上述定理表明，(3.4.6)的形式”这段内容 解题步骤(“注”为补充说明，做题时不用写在卷上)(以课本 P106 例 3.4.2 为例)：10103(I)A- 012080001600000X1X3=3注：由X2 2X3=8得到同解方程组X4=63(III)令X3= 0,得到原方程组的特解 X0=106注：在草稿纸上写成以下形式,其中未写出的系数有的是 1 有的是 0, 一看便知得到原方程组的特解即以下形式的常数部分2=oxi+oxAX= 0(详见课本 P105)(II )得到同解方程组X2=82x3X4=6-19 -X4=注：导出方程组，即非齐次线性方程组 AX= b 对应的齐次线性方程组 AX= 0,(II)课本 P109 第 2 大题、作业 P15 第一大题第 4 小题、作业 P15 第二大题、作业 P16 第三大题、作业 P15 第一大题第 2 小题、作业 P15 第一大题第 3 小题X1=3X3X2=82x3X3=X3X4=6X1=X3(IV)导出方程组的同解方程为:X2=2x3即步骤(III) “注”的“形式”的系数部分。(V )令X3= 1,得到方程组的基础解系12，则原方程组的通解为:10Xo+ k (k 可取任意值)其他例题:(I)课本 P107 例 3.4.3 (之前先复习元非齐次线性方程组 AX= b 的解的情况”)要将含有参数的式子作为分母时,得注意该式子是否工0