数学第五章 平面向量与解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形

5.3 正弦、余弦定理及解三角形高考数学高考数学考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理1.正弦定理、余弦定理ABC中,三内角A、B、C的对边分别为a、b、c,ABC的外接圆半径为R.(1)正弦定理=2R.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.sinaAsinbBsincC知识清单推论:cosA=,cosB=,cosC=.2.解斜三角形的类型(1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解.(2)已知两边及其中一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下几种(在ABC中,已知a、b和角A):2222bcabc2222cabac2222abcab上表中A为锐角且absinA时,无解;A为钝角时,a=b或ab,均无解.(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.3.三角形面积设ABC的三边为a、b、c,所对的三个角分别为A、B、C,面积为S.(1)S=ah(h为BC边上的高);(2)S=absinC;(3)S=2R2sinAsinBsinC(R为ABC的外接圆半径);(4)S=(R为ABC的外接圆半径);(5)S=.12124abcR()()()p papbpc1()2pabc考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用1.距离的测量2.高的测量3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中,目标视线在水平视线上方的叫仰角,目标视线在水平视线下方的背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、求AB:AB=atan底部不可到达a、求AB:(1)在ACD中,用正弦定理求AD;(2)AB=ADsin叫俯角(如图(a)所示).(2)方位角指从某点的正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(b)所示).(3)坡角指坡面与水平面所成的锐二面角. 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形解三角形时,要注意用正弦定理,还是用余弦定理更方便、简捷.基本原则:(1)若已知一条边和两个角,则用正弦定理;(2)若已知两条边和其中一边的对角,则既可以用正弦定理,也可以用余弦定理;(3)若已知两条边和两边的夹角,则用余弦定理;(4)若已知三条边,则用余弦定理.例1(2017浙江名校协作体期初,17)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,C=.(1)当2sin2A+sin(2B+C)=sinC时,求ABC的面积;(2)求ABC周长的最大值.3方法技巧方法1解题导引(1)三角变换,分cosA=0和cosA0讨论利用正、余弦定理得a、b的值由面积公式得结论(2)由余弦定理得关于a,b的关系利用基本不等式得a+b的最大值结论解析(1)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC,得4sinAcosA+sin(A-B)=sin(A+B),即2sinAcosA=sinBcosA,当cosA=0时,A=,B=,由正弦定理得a=,b=,当cosA0时,sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,由余弦定理得a2+b2-ab=4,解得a=,b=,(6分)故SABC=absinC=.(7分)(2)由余弦定理可得a2+b2-ab=4,所以(a+b)2=4+3ab4+,得(a+b)216,所以0a+b4,当且仅当a=b=2时取等号.(13分)故ABC周长的最大值为6. (15分)264 332 332 334 33122 3323()4ab评析本题考查了利用正弦、余弦定理解三角形,三角形面积公式,三角恒等变换,利用基本不等式求最大值等基础知识,考查运算求解能力. 利用正、余弦定理解决实际问题利用正、余弦定理解决实际问题1.常见几种类型测量距离问题、高度问题、角度问题,计算面积问题,航海问题,物理问题等.2.解题时需要注意的几个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找到这些角;(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件.例2(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度方法2CD=m.解析依题意有AB=600,CAB=30,CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB.ACB=45,在ABC中,由=,得=,有CB=300,在RtBCD中,CD=CBtan30=100,则此山的高度CD为100m.sinABACBsinCBCAB600sin45sin30CB266答案1006