数学第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和 文

第二节等差数列及其前n项和总纲目录教材研读1.等差数列的定义考点突破2.等差数列的通项公式3.等差中项考点二等差数列的性质及其应用考点二等差数列的性质及其应用考点一等差数列的基本运算4.等差数列的常用性质5.等差数列的前n项和公式6.等差数列的前n项和公式与函数的关系7.等差数列的前n项和的最值考点三等差数列的判定与证明考点三等差数列的判定与证明考点四等差数列的前考点四等差数列的前n项和及其最值项和及其最值1.等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).教材研读教材研读2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式等差数列an的通项公式是an=a1+(n-1)d.3.等差中项等差中项如果A=,那么A叫做a与b的等差中项.2ab4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*).(2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an.(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d.(4)若an,bn(项数相同)是等差数列,则pan+qbn(p,q是常数)仍是等差数列.(5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列.5.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式等差数列an的前n项和Sn=或Sn=na1+.1()2nn aa(1)2n nd6.等差数列的前等差数列的前n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系Sn=n2+n.数列an是等差数列Sn=An2+Bn(A、B为常数).2d12da7.等差数列的前等差数列的前n项和的最值项和的最值在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.与等差数列有关的结论与等差数列有关的结论(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(n,mN*),p+q=m+nap+aq=am+an(p、q、m、nN*).(2)ap=q,aq=p(pq)ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成的数列是等差数列.(4)=n+是关于n的一次函数或常数函数,数列也是等差数列.(5)Sn=.nSn2d12danSn1()2nn aa21()2nn aa32()2nn aa(6)若非零等差数列an的项数为偶数2m,公差为d,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.(7)若非零等差数列an的项数为奇数2m-1,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.(8)若Sm=n,Sn=m(mn),则Sm+n=-(m+n).SS偶奇1mmaaSS奇偶1mm1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案答案B设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.B2.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为()A.1B.2C.3D.4答案答案B设公差为d.a1+a5=2a3=10,a3=5,又a4=7,d=2.故选B.3.(2016北京东城期中)等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=3,a10=10,则S7的值是()A.30B.29C.28D.27答案答案Ca3=3,a10=10,S7=7a1+d=28.1123,910.adad11,1.ad762BC4.已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有()A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a1=51答案答案CS101=0,S101=0,a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.故选C.1101101()2aaC5.(2017北京朝阳期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S2=a3,则a2=,S10=.答案答案4;110解析解析设等差数列an的公差为d.S2=a3,2a1+d=a1+2d,又a1=2,d=2.a2=4,S10=102+2=110.10 926.(2015北京海淀一模)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a3=-6,S1=S5,则公差d=,Sn的最小值为.答案答案12;-54解析解析S1=S5,a2+a3+a4+a5=0,a3+a4=0.a3=-6,a4=6,d=a4-a3=12,a1=a3-2d=-30.Sn=-30n+12=6n2-36n=6(n-3)2-54.故当n=3时,Sn取最小值-54.(1)2n n典例典例1(2017北京海淀一模)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an+an+1的前n项和.考点一等差数列的基本运算考点一等差数列的基本运算考点突破考点突破解析解析(1)设数列an的公差为d.因为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4,所以2d=4,d=2.又a1+a1+d=6,所以a1=2,所以an=a1+(n-1)d=2n.(2)设bn=an+an+1,所以b1=6,bn=2n+2(n+1)=4n+2,又bn+1-bn=4(n+1)+2-4n-2=4,所以bn是首项为6,公差为4的等差数列,其前n项和Sn=2n2+4n.故数列an+an+1的前n项和为2n2+4n.1()2nn bb(642)2nn方法指导方法指导(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用,a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用解题方法.1-1(2015北京西城一模)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3=2,S5=a7.(1)求数列an的通项公式an及Sn;(2)若a4,a4+m,a4+n(m,nN*)成等比数列,求n的最小值.解析解析(1)设等差数列an的公差为d.由题意,得解得a1=-2,d=2,所以an=-2+(n-1)2=2n-4,11122,155 46 ,2adadad Sn=-2n+n(n-1)2=n2-3n.(2)因为a4,a4+m,a4+n成等比数列,所以=a4a4+n,所以-2+(4+m-1)22=4-2+(4+n-1)2,所以(2m+4)2=4(2n+4),1224 ma所以n=(m+2)2-2.12令f(x)=(x+2)2-2,易知f(x)在(0,+)上单调递增,因为f(1)=,f(2)=6,m,nN*,所以当m=2时,n取最小值6.1252典例典例2(1)在等差数列an中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列an的前n项和,则S11=()A.18B.99C.198D.297(2)已知等差数列an的公差为2,项数是偶数,奇数项之和为15,偶数项之和为25,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40(3)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它的前2m项和为.考点二等差数列的性质及其应用考点二等差数列的性质及其应用答案答案(1)B(2)A(3)60解析解析(1)因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.(2)设这个数列有2n项,由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于nd,即25-15=2n,故2n=10,即数列的项数为10.(3)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即S2m=60.112333mmSS3 30903易错警示易错警示一般地,运用等差数列的性质可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,该性质的运用条件是序号之和相等.2-1(2014北京西城期末)若等差数列an满足a1=,a4+a6=5,则公差d=;a2+a4+a6+a20=.12答案答案;5512解析解析由题意得2a1+8d=5,又a1=,故d=,则an=n,所以a2=1,a4=2,则a4-a2=1,故a2+a4+a6+a20=10+=55.12121210 922-2已知an为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=.答案答案20解析解析由等差数列的性质,可知S3,S6-S3,S9-S6,S21-S18成等差数列,设此数列的公差为D.所以5+2D=10,所以D=.所以a19+a20+a21=S21-S18=5+6D=5+15=20.52202-3在等差数列an中,a1=-2012,其前n项和为Sn,若-=2,则S2012的值等于.1212S1010S答案答案-2012-2012解析解析由Sn=An2+Bn(A、B为常数),知=An+B,数列是等差数列,又-=2,的公差为1,又其首项为=-2012,nSnnSn1212S1010SnSn11S=-2012+(2012-1)1=-1,故S2012=-2012.20122012S典例典例3(2017北京朝阳二模)已知数列an是首项a1=,公比q=的等比数列.设bn=2loan-1(nN*).(1)求证:数列bn为等差数列;(2)设cn=an+b2n,求数列cn的前n项和Tn.131313g考点三等差数列的判定与证明考点三等差数列的判定与证明典例典例3(2017北京朝阳二模)已知数列an是首项a1=,公比q=的等比数列.设bn=2loan-1(nN*).(1)求证:数列bn为等差数列;(2)设cn=an+b2n,求数列cn的前n项和Tn.131313g考点三等差数列的判定与证明考点三等差数列的判定与证明解析解析(1)证明:由已知得:an=,则bn=2lo-1=2n-1(nN*).13113n13n13g13n则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2.所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1,则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列.cn=an+b2n=+4n-1.则Tn=+3+7+(4n-1),即Tn=+,即Tn=2n2+n+-(nN*).13n131913n11133113n(341)2nn121213n方法指导方法指导证明一个数列为等差数列的基本方法有两种:一是定义法,证明an-an-1=d(n2,d为常数);二是等差中项法,证明2an+1=an+an+2.若证明一个数列不是等差数列,则可以举反例,也可以用反证法.3-1若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求证:是等差数列;(2)求数列an的通项公式.121nS解析解析(1)证明:当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn0,所以-=2,又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得=2n,Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=-.当n=1时,a1=不适合上式.故an=1nS11nS11S11a1nS1nS12n12n12(1)n12 (1)nnn n 12 (1)n n 121,1,21,2.2 (1)nnn n典例典例4(2017北京丰台一模)已知an是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17.(1)求证:数列bn是以-2为公差的等差数列;(2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.考点四考点四等差数列的前等差数列的前n项和及其最值项和及其最值解析解析(1)证明:设等比数列an的公比为q,则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q,因此数列bn是等差数列.又b11=log2a11=3,b4=17,所以等差数列bn的公差d=-2,所以数列bn是以-2为公差的等差数列.(2)由(1)知bn=25-2n,b1=23,则Sn=(24-n)n=-(n-12)2+144,于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.1nnaa114114bb1()2nbb n(23252 )2n n方法指导方法指导处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数且A0)看作二次函数,根据二次函数的性质求解.4-1在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和中最大的为()A.S15B.S16C.S15和S16D.S17答案答案AS10=S20,10a1+d=20a1+d,又a1=29,d=-2,Sn=29n+(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.当n=15时,Sn取得最大值.10 9220 192(1)2n nA