数学第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系考点一考点一 点、直线与圆的位置关系点、直线与圆的位置关系 (5(5年年0 0考考) )例例1 1(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，如图，M M的半径为的半径为2 2，圆心，圆心M M的坐标为的坐标为(3(3，4)4)，点，点P P是是M M上的任意一点，上的任意一点，PAPBPAPB，且，且PAPA，PBPB与与x x轴轴分别交于分别交于A A，B B两点，若点两点，若点A A，点，点B B关于原点关于原点O O对称，则对称，则ABAB的最小值为的最小值为( )( )A A3 B3 B4 C4 C6 D6 D8 8【分析分析】 通过作辅助线得通过作辅助线得OPOP为为RtRtAPBAPB斜边上的中线，再通斜边上的中线，再通过勾股定理进行求解可得过勾股定理进行求解可得【自主解答自主解答】如图，连接如图，连接OPOP，则，则OPOP为为RtRtAPBAPB斜边上的中线，斜边上的中线，ABAB2OP.2OP.连接连接OMOM，则当点，则当点P P为为OMOM与与M M的交点时，的交点时，OPOP最短，最短，则则ABAB也最短根据勾股定理得也最短根据勾股定理得OMOM 5 5，OPOPOMOMPMPM5 52 23 3，ABAB2OP2OP6 6，即，即ABAB的最小值为的最小值为6.6.22341 1已知在平面直角坐标系内，以点已知在平面直角坐标系内，以点P(P(2 2，3)3)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆为半径的圆P P与与x x轴的位置关系是轴的位置关系是( )( )A A相离相离 B B相切相切C C相交相交 D D相离、相切、相交都有可能相离、相切、相交都有可能A A2 2已知已知BACBAC4545，一动点，一动点O O在射线在射线ABAB上运动上运动( (点点O O与点与点A A不重合不重合) )，设，设OAOAx x，如果半径为，如果半径为1 1的的O O与射线与射线ACAC有公共点，有公共点，那么那么x x的取值范围是的取值范围是( )( )A A0 0 x1 Bx1 B1x1xC C0 0 x Dx Dx x222C C考点二考点二 切线的性质与判定切线的性质与判定 (5(5年年5 5考考) )命题角度命题角度切线的性质切线的性质例例2 2(2017(2017东营中考东营中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，以，以ABAB为直为直径的径的O O交交BCBC于点于点D D，过点，过点D D作作O O的切线的切线DEDE，交，交ACAC于点于点E E，ACAC的反向延长线交的反向延长线交O O于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：DEACDEAC；(2)(2)若若DEDEEAEA8 8，O O的半径为的半径为1010，求求AFAF的长度的长度【分析分析】 (1) (1)欲证明欲证明DEACDEAC，只需证明，只需证明ODACODAC即可；即可；(2)(2)过点过点O O作作OHAFOHAF于点于点H H，构建矩形，构建矩形ODEHODEH，利用矩形的性质，利用矩形的性质和勾股定理即可求出和勾股定理即可求出AFAF的长度的长度【自主解答自主解答】 (1)OB (1)OBODOD，ABCABCODB.ODB.ABABACAC，ABCABCACBACB，ODBODBACBACB，ODAC.ODAC.DEDE是是O O的切线，的切线，ODOD是半径，是半径，DEODDEOD，DEAC.DEAC. (2)(2)如图，过点如图，过点O O作作OHAFOHAF于点于点H H，则则ODEODEDEHDEHOHEOHE9090，四边形四边形ODEHODEH是矩形，是矩形，ODODEHEH，OHOHDE.DE.设设AHAHx x，DEDEAEAE8 8，ODOD1010，AEAE1010 x x，OHOHDEDE8 8(10(10 x)x)x x2.2.在在RtRtAOHAOH中，由勾股定理知中，由勾股定理知AHAH2 2OHOH2 2OAOA2 2，即即x x2 2(x(x2)2)2 210102 2，解得解得x x1 18 8，x x2 26(6(舍去舍去) )，AHAH8.8.OHAFOHAF，AHAHFHFH AFAF，AFAF2AH2AH2 28 816.16.12利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂利用切线的性质解决问题时，常连接切点与圆心，构造垂直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题直，然后通过勾股定理、解直角三角形或相似解题3 3(2018(2018泰安中考泰安中考) )如图，如图，BMBM与与O O相切于点相切于点B B，若，若MBAMBA140140，则，则ACBACB的度数为的度数为( )( )A A4040 B B5050 C C6060 D D7070A A4 4(2018(2018东营中考东营中考) )如图，如图，CDCD是是O O的切线，点的切线，点C C在直径在直径ABAB的延长线上的延长线上(1)(1)求证：求证：CADCADBDCBDC；(2)(2)若若BDBD ADAD，ACAC3 3，求，求CDCD的长的长23(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OD.OD.ABAB是是O O的直径，的直径，ADBADB9090. .又又CDCD是是O O的切线，的切线，ODCODC9090，BDCBDCODBODB9090，1 1ODBODB9090，1 1BDC.BDC.又又OAOAODOD，1 1CADCAD，CADCADBDC.BDC.(2)(2)解：解：BDBD ADAD， CADCADBDCBDC，C CC C，CADCADCDBCDB，CDCD CACA 3 32.2.232= .3BDAD2=3CD BDCA AD，2323命题角度命题角度切线的判定切线的判定例例3 3(2016(2016东营中考东营中考) )如图，在如图，在ABCABC中，以中，以BCBC为直径的圆交为直径的圆交ACAC于点于点D D，ABDABDACB.ACB.(1)(1)求证：求证：ABAB是圆的切线；是圆的切线；(2)(2)若点若点E E是是BCBC上一点，已知上一点，已知BEBE4 4，tanAEBtanAEB ，ABBCABBC2323，求圆的直径，求圆的直径53【分析分析】 (1) (1)欲证明欲证明ABAB是圆的切线，只要证明是圆的切线，只要证明ABCABC9090即可；即可；(2)(2)在在RtRtAEBAEB中，根据中，根据tan AEBtan AEB ，求出，求出ABAB，在，在RtRtABCABC中，根据中，根据 求出求出BCBC即可即可5323ABBC【自主解答自主解答】 (1)BC (1)BC是直径，是直径，BDCBDC9090，ACBACBDBCDBC9090. .ABDABDACBACB，ABDABDDBCDBC9090，ABCABC9090，ABBCABBC，ABAB是圆的切线是圆的切线 (2)(2)在在RtRtAEBAEB中，中，tanAEBtanAEB ， ，即，即ABAB ，BEBE . .在在RtRtABCABC中，中， ，BCBC ABAB1010，圆的直径为圆的直径为10.10.5353ABBE532032 3ABBC32切线的判定方法切线的判定方法(1)“(1)“连半径，证垂直连半径，证垂直”：若直线与圆有公共点，则连接圆：若直线与圆有公共点，则连接圆心与交点得到半径，证明半径与直线垂直心与交点得到半径，证明半径与直线垂直(2)“(2)“作垂直，证等径作垂直，证等径”：若未给出直线与圆的公共点，则：若未给出直线与圆的公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径在判定时，必须说明时，必须说明“是半径是半径”或或“点在圆上点在圆上”，这是最容易犯错，这是最容易犯错的地方的地方5 5(2018(2018潍坊中考潍坊中考) )如图，如图，BDBD为为ABCABC外接圆外接圆O O的直径，的直径，且且BAEBAEC.C.(1)(1)求证：求证：AEAE与与O O相切于点相切于点A A；(2)(2)若若 AEBCAEBC，BCBC2 2 ，ACAC2 2 ，求求ADAD的长的长72(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OAOA交交BCBC于点于点F F，则，则OAOAODOD，D DDAO.DAO.DDC C，C CDAO.DAO.BAEBAEC C，BAEBAEDAO.DAO.BDBD是是O O的直径，的直径，DABDAB9090，即即DAODAOOABOAB9090，BAEBAEOABOAB9090，即，即OAEOAE9090，AEOAAEOA，AEAE与与O O相切于点相切于点A.A.(2)(2)解：解：AEBCAEBC，AEOAAEOA，6 6(2018(2018胜利一中一模胜利一中一模) )如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，B B6060，CDCD是是O O的直径，点的直径，点P P是是CDCD延长线上的一点，且延长线上的一点，且APAPAC.AC.(1)(1)求证：求证：PAPA是是O O的切线；的切线；(2)(2)若若PDPD ，求，求O O的直径的直径3(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OA.OA.BB6060，AOCAOC2B2B120120. .OAOAOCOC，OACOACACOACO3030，AODAODOACOACACOACO6060. .APAPACAC，P PACOACO3030，PAOPAO180180P PAODAOD9090，PAOAPAOA，PAPA是是O O的切线的切线(2)(2)解：如图，连接解：如图，连接AD.AD.由由(1)(1)知知AODAOD6060，OAOAODOD，AODAOD是等边三角形，是等边三角形，ADOADO6060，ADADOD.OD.PP3030，PADPAD3030，P PPADPAD，PDPDAD.AD.PDPD ，ADADODOD ，CDCD2OD2OD2 2 ，O O的直径为的直径为2 .2 .3333考点三考点三 三角形的内切圆三角形的内切圆 (5(5年年0 0考考) )例例4 4(2018(2018威海中考威海中考) )如图，在扇形如图，在扇形CABCAB中，中，CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，E E是是ACDACD的内切圆，的内切圆，连接连接AEAE，BEBE，则，则AEBAEB的度数为的度数为 【分析分析】 连接连接EC.EC.首先证明首先证明AECAEC135135，再证明，再证明EACEACEABEAB即可解决问题即可解决问题【自主解答自主解答】如图，连接如图，连接EC.EC.EE是是ADCADC的内心，的内心，AECAEC9090 ADCADC135135. .在在AECAEC和和AEBAEB中，中，EACEACEABEAB，AEBAEBAECAEC135135. .故答案为故答案为135135. .127 7(2017(2017武汉中考武汉中考) )已知一个三角形的三边长分别为已知一个三角形的三边长分别为5 5，7 7，8 8，则其内切圆的半径为，则其内切圆的半径为( )( )C C8 8(2018(2018娄底中考娄底中考) )如图，如图，P P是是ABCABC的内心，连接的内心，连接PAPA，PBPB，PCPC，PABPAB，PBCPBC，PACPAC的面积分别为的面积分别为S S1 1，S S2 2，S S3 3. .则则S S1 1_S_S2 2S S3 3.(.(填填“”“”“”或或“”) ) 考点四考点四 圆的综合题圆的综合题百变例题百变例题(2018(2018广西中考广西中考) )如图，如图，ABCABC内接于内接于O O，CBGCBGA A，CDCD为直径，为直径，OCOC与与ABAB相交于点相交于点E E，过点，过点E E作作EFBCEFBC，垂足，垂足为为F F，延长，延长CDCD交交GBGB的延长线于点的延长线于点P P，连接，连接BD.BD.(1)(1)求证：求证：PGPG与与O O相切；相切；(2)(2)若若 ，求，求 的值；的值；(3)(3)在在(2)(2)的条件下，若的条件下，若O O的半径为的半径为8 8，PDPDODOD，求，求OEOE的长的长58EFACBEOC【分析分析】 (1) (1)要证要证PGPG与与O O相切只需证明相切只需证明OBGOBG9090，由，由A A与与BDCBDC是同弧所对圆周角，是同弧所对圆周角，BDCBDCDBODBO可得可得CBGCBGDBODBO，结合，结合DBODBOOBCOBC9090即可得证；即可得证；(3)(3)在在RtRtDBCDBC中求得中求得BCBC8 8 ，OCBOCB3030，在，在RtRtEFCEFC中中设设EFEFx x，ECEC2x2x，FCFC x x，BFBF8 8 x x，继而在，继而在RtRtBEFBEF中利用勾股定理求出中利用勾股定理求出x x的值，从而得出答案的值，从而得出答案3333【自主解答自主解答】(1)(1)如图，连接如图，连接OBOB，则，则OBOBODOD，BDCBDCDBO.DBO.BACBACBDCBDC，BACBACGBCGBC，GBCGBCBDC.BDC.CDCD是是O O的直径，的直径，DBODBOOBCOBC9090，GBCGBCOBCOBC9090，GBOGBO9090，PGPG与与O O相切相切 (2)(2)如图，过点如图，过点O O作作OMACOMAC于点于点M M，连接，连接OAOA，变式变式1 1：若：若CDCD6 6，PCBPCB3030. .(1)(1)求证：求证：PBDPBDPCBPCB；(2)(2)点点Q Q在半圆在半圆DACDAC上运动，填空：上运动，填空：当当DQDQ 时，四边形时，四边形DQCBDQCB的面积最大；的面积最大；当当DQDQ 时，时，DBCDBC与与DQCDQC全等全等变式变式1 1：(1)(1)证明：如图，连接证明：如图，连接OB.OB.PBPB是是O O的切线，的切线，OBOB是半径，是半径，OBPBOBPB，PBOPBO9090，PBDPBDDBODBO9090. .CDCD是直径，是直径，DBCDBC9090，BCDBCDBDCBDC9090. .ODODOBOB，OBDOBDBDCBDC，BCDBCDDBODBO9090，PBDPBDBCD.BCD.又又P PP P，PBDPBDPCB.PCB.(2)(2)解：解：3 .3 .提示：当点提示：当点Q Q运动到运动到OQCDOQCD时，四边形时，四边形BDQCBDQC的面积最大的面积最大如图，连接如图，连接DQDQ，CQ.CQ.ODODOCOC，OQCDOQCD，DQDQCQ.CQ.CDCD是直径，是直径，DQCDQC9090，2DQCDQC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，分两种情况：分两种情况：当当DQDQDBDB3 3时，时，在在RtRtDBCDBC和和RtRtDQCDQC中，中，DBCDBCDQC(HL)DQC(HL)当当DQDQCBCB3 3 时，同理时，同理DBCDBCCQD.CQD.综上所述，当综上所述，当DQDQ3 3或或3 3 时，时，DBCDBC与与DQCDQC全等全等33变式变式2 2：若：若BDBD BCBC，PCPC3 3，求，求PBPB的长的长解：解：BDBD BCBC， PCBPCBPBDPBD，tanPBDtanPBDtanPCBtanPCB PBDPBDPCBPCB，PBPB PCPC 3 32.2.23232.3BDBC2.3BDBC23PB BDPC BC ，2323