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第4讲导数的热点问题专题二函数与导数热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力.例例1已知函数f(x)(ln xk1)x(kR).(1)当x1时，求f(x)的单调区间和极值；解解f(x) xln xk1ln xk，当k0时，因为x1，所以f(x)ln xk0，函数f(x)的单调递增区间是(1，)，无单调递减区间，无极值；当k0时，令ln xk0，解得xek，当1xek时，f(x)ek时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，)，在区间(1，)上的极小值为f(ek)(kk1)ekek，无极大值.解答解答(2)若对于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求k的取值范围；解解由题意，f(x)4ln x0，即问题转化为(x4)ln x(k1)x0，故g(x)0，所以g(x)在区间e，e2上单调递增，证明思维升华(3)若x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x2e2k.证明证明因为f(x1)f(x2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，ek)上单调递减，在区间(ek，)上单调递增，且f(ek1)0.不妨设x1x2，则0 x1ekx2ek1，因为f(x)在区间(ek，)上单调递增，因为x(0，ek)，所以ln xk0，x20，所以x1x2e2k成立.所以函数h(x)在区间(0，ek)上单调递增，故h(x)h(ek)，思维升华思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)；对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)0.跟踪演练跟踪演练1(2017全国)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；解答解解f(x)的定义域为(0，)，设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0，因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)0；当x(x0，1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)0，得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).因为xx0是f(x)在(0,1)上的最大值点，由e1(0,1)，f(e1)0，得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0)，定义h(x)maxf(x)，g(x)(1)求函数f(x)的极值；解答解解函数f(x)ax33x21, f(x)3ax26x3x(ax2)，a0，x10)的零点个数.解答思维升华解解由(1)知，f(x)在(0，)上的最小值为h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上无零点. 又g(1)0，h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有一个零点.设(x)f(x)g(x)ax33x21ln x(0 x1)，(x)在(0,1)上单调递减.()当0 xx0时，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)f(x)且h(x)为减函数.又h(x0)f(x0)g(x0)ln x00，h(x)在(0，x0)上有一个零点；()当xx0时，(x)f(x)g(x)(x0)0，h(x)g(x)且h(x)为增函数，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零点；从而h(x)maxf(x)，g(x)在(0，)上有两个零点， 综上所述，当0a2时，h(x)无零点. 思维升华思维升华(1)函数yf(x)k的零点问题，可转化为函数yf(x)和直线yk的交点问题.(2)研究函数yf(x)的值域，不仅要看最值，而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.跟踪演练跟踪演练2(2017届云南曲靖一中月考)已知f(x)2xln x，g(x)x3ax2x2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为 ，求函数g(x)的解析式；解答解解g(x)3x22ax1，代入得a1，g(x)x3x2x2.解答(2)在(1)的条件下，求函数yg(x)的图象在点P(1，g(1)处的切线方程；解解由(1)知，g(1)1，g(x)3x22x1，g(1)4，点P(1,1)处的切线斜率kg(1)4，函数yg(x)的图象在点P(1,1)处的切线方程为y14(x1)，即4xy50.解答(3)已知不等式f(x)g(x)2恒成立，若方程aeam0恰有两个不等实根，求m的取值范围.解解由题意知，2xln x3x22ax1对x(0，)恒成立，当0 x0；当x1时，h(x)0，当x1时，h(x)取得最大值，h(x)maxh(1)2，a2.令(a)aea，则(a)eaaeaea(a1)，(a)在2，1上单调递减，在(1，)上单调递增，当a时，(a)，方程aeam0恰有两个不等实根，热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.例例3(2017届福建福州外国语学校期中)罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；解答解解设需新建n个桥墩，(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解答思维升华当0 x16时，f(x)0，f(x)在区间(0,16)内为减函数；当16x0，f(x)在区间(16,96)内为增函数，故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小. 思维升华思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求导：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)作答：回归实际问题作答.跟踪演练跟踪演练3图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB2x，BCy.解答(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；解解易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为x.所以42x2yx，解答(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大.解解依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有真题押题精练真题体验(2017全国)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性；解解f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0，则f(x)0，则由f(x)0，得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.解答(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解答解解(i)若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；即f(ln a)0，故f(x)没有零点；又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一个零点.因此f(x)在(ln a，)有一个零点.综上，a的取值范围为(0,1).押题预测证明押题依据押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.押题依据已知f(x)asin x，g(x)ln x，其中aR，yg1(x)是yg(x)的反函数.(1)若0a1，证明：函数G(x)f(1x)g(x)在区间(0，1)上是增函数；证明证明由题意知G(x)asin(1x)ln x，acos(1x)0，故函数在区间(0，1)上是增函数.证明证明证明由(1)知，当a1时，G(x)sin(1x)ln x在(0，1)上单调递增.解答(3)设F(x)g1(x)mx22(x1)b，若对任意的x0，m0恒成立，求满足条件的最小整数b的值.解解由F(x)g1(x)mx22(x1)bexmx22xb20，即F(x) min0.又h(x)F(x)ex2mx2，h(x)ex2m，m0，h(x)单调递增；又h(0)0，则必然存在x0(0,1)，使得h(x0)0，F(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，又m0，则x0(0，ln 2)，m(x)在(0，ln 2)上单调递增，m(x)2ln 2，又b为整数，最小整数b的值为2.
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