第五章平面向量三

讲义代数平面向量05- 115.1向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积R复习要求11、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。R双基回顾11、基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2、加法?减法代数运算AA2A2A川AoA.(2)若a=(x，y)，b=(X2,y2)贝Uab=(x1土X2,y1土y2).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD则两条对角线的向量AC=a+b,BD=b-I-H-I?a,DB=ab且有|a|-|b|w|ab|w|a|+|b|.-1- -I-I-I-I-向量加法有如下规律：a+b=b+a(交换律)；a+(b+c)=(a+b)+c(结合律)；-li-I-lra+0=aa+(a)=0.3、实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量。-to-t(1) I九aI=I九IIaI;(2)当儿0时，九a与a的方向相同；当九0时，aa与a的方向相反；当九二0时，九a=0.E-F(3)若a=(x1,y1),则九a=(Kx1,以).两个向量共线的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数儿，使得b二九a.(2) 若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a/bux1y2x2y1=0.平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实I-数片,12,使得a=%e1+九2e2.一、知识点训练：1、两向量共线是两向量相等的A充分不必季条件B_必要不充分条件_C充!豕件D既不充分也不必要条件2、当a=卜#0,且a,b不共线时，a+b与ab的关系是A平行B垂直C相交但不垂直D_相等_3、给且以下四个命粤：(1)若两非零向量a,b,使得a=，bwR),那么a/b；(2)若两非零向量a/b,则a=均(九三R);若九WR,则九aa；(4)若九,Nwr,九/N,则(九+N)a与a共线。其中正确命题的个数是A1B2C3D44、向量a=(x,1)与b=(4,x)共线且方向相同，则x=ffT5、设平行四边形ABCD的对角线交于O,交AD=(3,7),AB=(-2,1),则OB=二、典型例题分析：TTT1、G是AABC的重心，求证：GA+GB+GC=02、若非零向量a,P满足o(+P=a_p,求c(与P所成角的大小。3、已知A(2,3),B(3,1),C(3,M),且CM=3CA,CN=2CB,求M,N的坐标和MN4、已知向量a=(1,2),b=(x,1),X=a+2b,V=2ab且X/V,求x5、如图：已知ABCD是正方形，BE/AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F,求证：AF=AE三、课堂练习:E、F、G、H 分别是 AD、BC、AB 与 CD1 .如图，已知四边形ABCD是梯形，AB/CD,的中点，则EF等于A.AD+BCB.AB+DCc.aG+dHD.bG+gh2 .下列说法正确的是A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为0C.长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量3 .在4ABC中，D、E、F分另ijBC、CA、AB白MAMB-MC等于A.OB.4MDC.4MFD.4MEpm,0,0F4 .e,62不共线，当k=一1时，a=ke+e2,b=e+ke2共线.5 .非零向量a,b两足|a|二|b|=|a+b|,则a,b的夹角为1206 .在四边形ABCD中，若AB=a,AD=b,且|a+b|=|ab|,则四边形ABCD的形状是菱形.5.2向量的数量积R复习要求11、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的充要条件。2、培养学生的化归思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。R双基回顾1(1) .向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作oA=a,oB=b，则/aob=(0061800)叫做向量a与b(2) .两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为日，则ab=IaI-IblcosQ.其中IbIcos8称为向量b在a方向上的投影.(3) .向量的数量积的性质：b-te-b若a=(x1,y1),b=(x2,y2)贝Uea=a-e=IaIcos日(e为单位向量)；*-b-ba，bua-b=0uX1X2+%y2=0(a,b为非零向量)；IaI=Ja*a=x+yi；cose=JL=_经2_+”2.a，b|.：x；-yi2,X22Y(4) .向量的数量积的运算律：-卜卜+-F-酢-卜ta-b=b-a；(九a)b=九(ab)=a(九b)；(a+b)-c=a-c+b-c.一、知识点训练：1、对于任意向量a,b,ab与a-b的大小关系是AababCab之abD无法确定2、已知a|=1,b=V2,且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角为A60B90C45D303、设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(1)(ab)c-(ca)b=0(2)a-b73.6、在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15。角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？、选择题:2、3、平面向量单元测试题在四边形ABCD中，设AB =a, AD =b, BC = c ,则a -b c B b - (a c) C a b c Db -a cDC =与d12 (13已知= (12,5)平行的单位向量为5- )B13MBC 中,12512(，- )C (13 131313212)或(,13513)125(，二)13 13a=3,b=4,C =300则 BC Ca =6J3B63C3V3D3V34、5、非零向量a,b,a+b=ab是2_Lb的D 既不充分也不必要条件p1p2所成的比和y值分别为_充分而不必要条件B必要不充分条件C充要条件已知两点P1(-1,-6),P2(3,0),则点P(7,y)分有向线段31和一8B1和8C1和4D1和444226、设i,j分别是平面直角坐标系内x轴和y轴正方向上的两个单位向量，已知AB=4i2j,AC=7i+4j,AD=3i+6j，则四边形ABCD的面积是A20B30C5.2D45ff7、设A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则ABAC=A11B5C-2D12x-18、将函数y=二按a平移使其化简为反比例函数表达式，则a=x1A(1,2)B(-1,2)C(-1,-2)D(1,-2)9、在MBC中，角a、B、C的对边为a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=ab,则角C等于a,OB = b , OC = c,且恰有 a-3b +2c = 0,则 a、b、C 三点A30B45C60D12010、已知OA=A构成直角三角形B构成等腰三角形C共线D无法确定11、在AABC中，已知a=xcm,b=2cm,B=45,若利用正弦定理解&ABC有两解，则x的取值范围是A2xW2&B2x2D2MxM2及12、已知AABC中，若(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin(A+B),则MBC是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形二、填空题：一，一1一13、已知：A(2,3),B(1,4)且一AB=(sin口，cos),口，P=(，一)，则ot+P=222*-*-ft14、已知OA=a,OB=b,且OA与OB为不共线的非零向量，则MOB的面积可表示为22AAM+BM15、已知AABC的BC边长的中点M,则2/=AB+AC16、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时有相应关系式为：sin+sin(十a)=0,cost+cos(十叼=0,(2)四点等分单位圆时有相应关系式为：.,”：、，、.，3二、八，、，、sinsin（二一）sin（:工，）sin（二）=0,cos：，cos（：一）cos（）2223二+cos（+）=0,由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为2三、解答题：17、已知a,b是两个不共线非零向量，若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（ab）（1）求证：A、B、D三点共线；（2）确定实数k的值，使ka+b与a+kb共线。18、直;设A、B为单位圆上两点,O为坐标原点,（A、O、B不共线）（1）求证:OA+OB 与 OAOB3 .(2)当 ZxQA = ,/xOB w (，一)且 OA OB =时，求 /xOB 的正弦值。 44 4519、海中有岛A,已知A岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75,行20。2海里至C后见此岛在北偏东30。，如货轮不改变航向继续航行，问有无触礁危20、已知a=ksin日e+（2cosQ色，b=e+e?，且a/b,e1/e2,9亡（0,兀）求k与日的关系；（2）证明k之521、在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15。角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？22、设平面向量a=(3-1),b=(-,),若存在不同时为0的两个实数s,t,及实数k0,2222使X=a+(t2-k)b,y=-sa+tb且X_Ly,(1)求函数关系式s=f(t)；(2)若s=f(t)在1.十8谡单调函数，求证：0kM3。