典型问题归纳与总结

第八章各章节典型问题总结一、第一章典型问题1. 当X X。时，函数f(x)的极限等于A的充分必要条件是了_1 -x, x : 0例1 f(x)=，在点x=0处极限存在，则a =2x , a, x _ 0lim f (x) =lim (1 一x) =1，所以x0 x0 2lim f(x) = lim (x a) =1二 a =1 ；x -0 x 0 0用它可以计算三角函数的型的极限问题1lim (1 x) =e.2. 两个重要的极限(熟练掌握)(1) .重要极限哩乎=1.1(2) .重要极限 lim (1 -)x =e .xYx解 limSin(2x-1) imx 1 i1 12 2Sin(x-1)-lim 1 limx)x 1x1 x 1 X1x 112.limsin2xsin 2x2 sin2xsin 2xlimlim2 lim2 1 = 2.x 0 x x )02x 2x 10 2x1例 4 lim(1)x=x护3x解叫-八叫1 土宀J33. 当x；:时，针对多项式函数的商55+2X m. HX解先用X2同时除分子分母，然后取极限，得limx_f3x二 lim x ”2X=04. 代入法 lim f(x)二 f (Xo)x0例6 lim哑1)X-2x 1解 佃怡呛-1)=伽(2-1)七门17 x-12-1常见的错误做法：第一个重要极限公式或等价无穷小代换，把它错误理解为型例7ln (x 1) limx 1 x 1解ln (x 1) lim=ln(1 1)ln 2x 1 x 11 125 不含三角函数的0型0方法：设法消去分子分母中趋于零的因子，消去此因子基本方法是分解因式题例 8 lim 9.(08 年第 21 题)T X -3解所给函数的分子分母的极限都为零，可约去公因子X-3，故X2 -9 lim x 3 x - 3(x-3)(x3)x 3x2 _ 4x 亠 3lim (09 年第 11 题)x 3 x -3x所给函数的分子分母的极限都为零，可约去公因子x-3，故解x2 -4x 3. (x-3)(x-1) x-12解 lim 2limlimxt x -3x i (x3)x t x 3、第二章的典型问题1.导数定义2.已知f(l) = 2, Wlimk*o圧0例1解析：此题容易错选答案为/(t + 2 山)T U 二AjvC. 2D. 4C,错误的原因是定义表达式中两个.lx的地方没有统一。因为lim f(1 小 f(1)，所以2lim f（1小八鮒）=2 2=422.导数f （xj的几何意义是曲线y二f（x）在点M（Xo，yo）处的切线斜率例2 y =ax在x=1处切线平行于直线y=2x-1，则a =（）解析：两直线平行，斜率相等，所以切线的斜率 k=2,，据导数的几何意义，也就是y =ax3在x=1处的导数为 2,，而y=3ax2,即 k= y |x3 a 12=2,所以2a =33,直接求导法M设函数ylnx ,则,A.丄B. - C. Inx例3解析：直接利用第4个公式x例4，、讼总電、* U忙/ r则V -.解析： y = (xcosx) = x cosx x(cosx) = 1 cosx x(-sin x)=cosx-xsin x例 5 y=x2+sinx+ln 2,贝Uy，=1 A. 2x+sinx B.2x+cosx C. 2x+cosx+ D。2x2解析：注意此题In2是常数，不是对数函数，y 二(x2)(sin x) (ln 2) = 2x cosx例 6 f (x) =xsinx,则y= 解析： y = (xsin x) = x sin x x(sin x) = 1 sin x x(cosx) = sin x xcosx例 7 f (x) = ge,则f (1) =11A.2+e B.1+e C. D.221 1 11解析：f (x) =：xy e0，则f (1)=2jx2jx2j124复合函数求导例82,设函数y二+5,则/二A. /B. 2/C. 2/ +5 D. 2e* + 5】解析：y = (e2x)5 = e2x(2x)0 = e2x 25二阶导数例 9 y=ln(1+x),则y = _ (10 年第 15题)2=-(1 x) (1 x)=12(1 x)解析：1 1 1y tx(11j(1 x)，6导数应用例10求下列函数在(0, ：)内单调减少x1A. y =x B .y=e C .y=lnx D .y = y解析：前面三个答案对应的函数在(0,=)内都是增函数，因为它们的导数在1(0:)内是大于0,而(D) y 2 f(1)，则x的取 值范围是A. ( T -1)B. ( - C.(l,+oo)D. ( - co , + 00 )解析：f(x)在区间(-X，+X)内为单调减函数，且f(x)f(1)，根据定义1可知X :： 1例12设函数/d+丄任工二j处取得极大值5.求常数a和b.求函数f(x)的极小值.解：(1) f(%) =3a? +2te + l根据题总./(I) =a + fe + l -5, f =3a + 2 + i =0+解得a = -9 b -13.(2)令fGV 即 27八2駆-=(J解得夠=h x1-务又 fH(x) = -54x+26因为尸(估28 0所以/(需2 -洁为极小值*例1326 (本题满分10分)a7求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点.【答案】解 f的定义域(-F o)u(o, +-).卩24r(x)=2+-,xx3分*令F仗)=0,得x=l.屮令芒仗)=6得x = /2 卩X*3*卜co, -1)卩十(F 0)卩(0,近 H(迈 , y+门y+心+农十心0松yp值3PA八拐点J(/2 ? o)/P所以函数f仗)的单调减少区间为 E -1). 单调增加区间为Kb o)u(o, +3). *j f (-1) = 3 %极小值A函数f)的凹区间为(-8, 6?u啟+s)：划凸区间为4虢)，仪拐点坐标为(袒，0人 4例14设抛物线与x轴的交点为A B,在它们所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形 ABCD如图所示)设梯形上底CD长为2x，面 积为S(x).(1) 写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值.解析：2y - I -%由.解得x= 1,则A, B两点坐标分别为A(-1 , 0)和 B(1 , 0), M 二 2-2 分(1) S(x) =y(2 +2x)(1 -x2) =(1 +%)(! -x).4 分(2) SJ) = -3? -2x + l,令 Sf（x） =0, BP（3x-l）（x + l） =0.6分8分10分得兀二x2 = - 1 （舍去）.S（攵）| = （ -6% -2）! - -4 0tJC = 丁X =则s（*） =|为极大值.根据实际问题，話为最大值.例1515.曲线y二*?亠/+ 1的拐点坐标（闷，y0）=解析：先确定定义域，再求函数的二阶导数,y = x2 -2x, y =2x-2 = 2（x _1），再令 y = 0,得x = 1,在（_曲,1）, y ： 0； 在（1 :），y 01所以拐点为（1，3二、第二章典型问题1. 直接积分法解析：被积函数先变形，再利用第二个公式1X CV C解析：被积函数先变形，再利用第二个公式1、xdx 二 x2dx-1x21 12. 凑微分法（第一换元积分法）计算f竺山兰比J X解析:cos In x .dxxJ cos In xdln x-sin In x + C*计算 |sin5xdx.解析：sinSxd 戈=-Jsin5x(15x=cos5x + C.3. 分部积分法例 5 求 arcsin xdx解析:xarcs in xdx 二 xarcs inx -dx-xarcsi nx 12 _1_d - x2d(1 _x2)=xarcsinx1 - x2 C .设f(x)的一个原函数为解：由题意知/(X)= (xe11)f = / +2/ J = J %-xfx) - J/(x)dx二兀(e 4- 2x2 ) 一 xe + C = 2/$ +C4. 定积分17.丰 )=ax解析：变上限定积分定理1 答案 x3 x例818. f x( 1 + Jx )dx =*J o答案-10解析 牛顿-莱布尼茨公式(先把积的运算变成和的运算)例97. J =D” IA* 2B. - C* 0解析：f(x)是L a,a上的奇函数，贝Uf(x)dx=O .例10 (1)求曲线y=ex及直线x=1, x=0, y=0所围成 的图形D(如图所示)的面积S.(2)求平面图形D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积Vx.卩J解：(1) jdx 二疋 0= e - I(2) Vt =(eA )2d% = it jedxJ)四、第四章典型问题1一阶、二阶偏导数求法例1&设函数/+3八则乎二dxA.2x + 3yR.C.2x +3D.2x+討解析根据偏导数的求法，得答案:S.设函数 z=tarL (xy),xA.:cosXCOS2 (莎cos (xy)D.7cos (xy)着复合函数偏导选C+9设函数/火A. 2y2答案A则挣B. 4xyC.2二元隐函数的偏导数例4设z=z(x , y)是由方程所确定的隐函数,dz解令=x4-y+z-e-,e, = 盯saF花- k - = aF花az一砂一一 - 一 e 辿新一色理血1 一一一 -盯一3%世加因此3.二元函数极值例5九恋r二二工二八左二丁 _： ?卞宜【解析】此题属于二元函数极值的基本题目，先求一阶偏导，解方程组求驻点, 再求二阶偏导，然后判断驻点处的极值情况，最后求出极值。az_t&尸 I a W-2x4-4 = 0x = 2=Oj。=硬込耳B-=-80,所UA f （-2, 2）=-10 为极小值.例6卞二兀皿厂一+：严d W+-：丁庚隊在以往试题中，条件极值和无条件极值都考过，都是典型问题，但后者次数多一 些。本题是条件极值也属正常。不仅考查知识，更是考查能力。解：设超（兀”2）二于（兀閉）+ 2（乳+2丿一 4）酬酬朋酬莎1-令=H + 卩亠胡+ 乂(兀 + 2y-4)=+ y + 丸=0,= 2+a + 24 = 0,=x + 2y-4 = 0由与消去丸得x=Dj代入得y=2*J 所施数f(xv-)的极值为4.五、第五章典型问题1. 概率例1有10件产品，其中8件是正品，2件是次品，甲、乙两人先后各抽取一件 产品，求甲先抽到正品的条件下，乙抽到正品的概率.【答案】设事件A表示甲抽到正品，事件B表示乙抽到正品.解1:在缩小的样本空间求条件概率4_ 79解N 由条件概率公主呦处需k挣羔2. 离散型随机变量概率分布例2已知离散型随机变量X的概率分布为X0123P0.20.10.3a(1) 求常数弘*2)求X的数学期望EX和方差D瓦心解：(1) 3024-0 1 + 03+ = 1,所如=04,(2) =0x0 2+1x0 1+2x0 3 + 3x0 4= 1.9(0-1.9)Jx 0.2 + (l-1.9)3X0.1+(2-1.9)0.3+(3-1.&)0.4