02实际问题与一元二次方程

株洲市新时代补习学校 尽心竭力办教育，科学方法育桃李初三上期数学（2） 实际问题与一元二次方程一、知识概述1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系这一步是解决问题的基础；(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%等等因此，解出方程的根后，一定要进行检验3、数与数字的关系两位数=(十位数字)10个位数字三位数=(百位数字)100(十位数字)10个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数增长率 实际数=基数增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的(1增长率)增长期数=后来的(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的(1增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤(1)整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知数列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去二、重难点知识归纳列一元二次方程解应用题三、典型例题例1、一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数例2、在一次象棋比赛中，实行单循环赛制(即每个选手都与其他选手比赛一局)，每局赢者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总和，结果分别为2005、2004、2070、2008，经核实确定只有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参赛例3、如右图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动问：(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？ (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P点Q间的距离是10cm？同步练习【基础巩固】一、选择题。1、若两个连续正偶数的平方差为36，则这两个数是( )A8和10B8和10 C8和10 D8和102、若一个数和它的一半的平方和等于5，则这个数是( )A2 B2 C2或2 D以上都不对3、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是( )Ax(x1)=182Bx(x1)=182 C2x(x1)=182 Dx(x1)=18224、某农场粮食产量是：1998年为1200万千克，2000年为1452万千克，如果平均每年增长率为x，则x需满足的方程是( )A1200(1x)2=1452B1200(12x)=1452 C1200(1x%)2=1452 D1200(1x%)=14525、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )A200(1x)2=1000 B2002002x=1000C2002003x=1000 D2001(1x)(1x)2=1000二、解答题。6、一个三位数，十位数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这个三位数，比它的个位上的数字与十位上数字的积的25倍大202，求这个三位数7、如图在直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点的坐标为(3,6)，若点P从O点沿OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以2cm/s的速度运动，如果P、Q分别从O、A同时出发，问：(1)经过多长时间PAQ的面积为2cm2；(2)PAQ的面积能否达到3cm2？【能力提升】1. 2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ）A200（1a%）2148B200（1a%）2148C200（12a%）148D200（1a2%）1482. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本182件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程是（ ）Ax（x1）182Bx（x1）182C2x（x1）182Dx（x1）18223. 如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（ ）A34B0C2D34或344. 一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 5、如右图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）（A） （B） （C） （D） 6、多年以前，周老师曾将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及所得的利息又全部按一年定期存入银行，且存款的利率不变，到期后得本金及利息共1320元，求这种存款方式的年利率7、为了检验一批禽流感疫苗对鸡在自然条件下的免疫反应，工作人员在实验室外设立了一块面积为150平方米的长方形临时鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求这个鸡场的长与宽各是多少米？8、如下图，在ABC中，BC = 7cm，AC = 24cm，AB = 25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s。若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5 cm2（2）经过多少时间后，SPCQ的面积为15 cm2（3）请用配方法说明，何时PCQ的面积最大，最大面积是多少【中考解析】1、某公司2006年的产值为500万元，2008年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为_.2、 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？3、如图的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度（1）如图，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm，小明用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图所示，求折叠进去的宽度（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张41cm26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由4