高中数学 第二章 解三角形 2 三角形中的几何计算课件 北师大版必修5

第二章 解三角形2三角形中的几何计算1.能够运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考知识点一平面图形中的计算问题画出图形 ；理清已知条件，要求的目标；根据条件目标寻求通过解三角形凑齐缺失条件.答案梳理梳理对于平面图形的长度、角度、面积等计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.知识点二平面图形中的最值问题思考先求出两直线交点坐标(4k，3k)，再把约束条件“点在圆上或内部”转化为代数式(4k)2(3k)29，从中求得k的最大值为 .问题：直线x2y2k0与直线2x3yk0的交点在圆x2y29上或圆的内部，如何求k的最大值？答案梳理梳理类似地，对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值.知识点三解三角形常用公式在ABC中，有以下常用结论：(1)abc，bca，cab；(2)ab ；(3)ABC， ；(4)sin(AB) ，cos(AB) ，sin Asin BABsin Ccos C(5)三角形常用面积公式题型探究题型探究类型一利用正弦、余弦定理求线段长度例例1如图所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长.解答在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcosADB，设BDx，则有142102x2210 xcos 60，x210 x960，x116，x26(舍去)，BD16.在BCD中，反思与感悟解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正弦、余弦定理求解.跟踪训练跟踪训练1如图所示，在ABC中，已知BC15，ABAC78，sin B ，求BC边上的高AD的长.解答在ABC中，由已知设AB7x，AC8x，x0，又0C7x，知B也为钝角，不合题意，故C120.C60.由余弦定理，得(7x)2(8x) 215228x15cos 60，x28x150，解得x3或x5.AB21或AB35.解答类型二利用正弦、余弦定理求角度问题设BEx，在BDE中，利用余弦定理，可得BD2BE2ED22BEEDcosBED，在ABC中，利用余弦定理，反思与感悟运用正弦、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解.解答又0A180，A60.在ABC中，C180AB120B.类型三利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题例例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；证明证明mn，asin Absin B，a2b2，ab，ABC为等腰三角形.(2)若mp，边长c2，角C ，求ABC的面积.解答由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去ab1).反思与感悟解本题的关键是灵活运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能熟练地运用公式进行求值.跟踪训练跟踪训练3(1)在ABC中，若已知三边为连续整数，最大角为钝角，求最大角的余弦值；解答设三边长分别为a1，a，a1，由于最大角是钝角，所以(a1) 2a2(a1) 20，解得0a4.又因为a为整数，所以a1或2或3.当a1时，a10，不合题意舍去；当a2时，三边长为1,2,3，不能构成三角形；当a3时，三边长为2,3,4，设最大角为，则(2)求以(1)中的最大角为内角，相邻两边之和为4的平行四边形的最大面积.解答设相邻两边长分别为x，y，则xy4.当堂训练当堂训练1.三角形的两边长为3 cm、5 cm，其夹角的余弦值是方程5x27x60的根，则此三角形的面积是答案解析12345123452.在ABC中，周长为7.5 cm，且sin Asin Bsin C4 56，下列结论：abc456abc2a2 cm，b2.5 cm，c3 cmABC456其中成立的个数是A.0 B.1C.2 D.3答案解析12345由正弦定理知abc456，故对，错，错；结合abc7.5，知a2，b2.5，c3，对，选C.123453.ABC中，若A60，b16，此三角形面积S ，则a的值为A.7 B.25C.55 D.49答案解析12345123454.在ABC中，ab12，A60，B45，则a .答案解析123455.在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccos Aaccos Babcos C的值为 .答案解析12345规律与方法1.正弦、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系.2.不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正弦、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题转化为简单问题来计算或证明.本课结束