81椭圆及其标准方程(1)

第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程下下页页一、椭圆概念的引入：一、椭圆概念的引入： 在前面圆的方程中我们知道：在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆的轨迹是圆. 那么，到两定点距离之和等于那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？常数的点的轨迹又是什么呢？M观察做图过程观察做图过程(1)绳长应绳长应当大于当大于F1、F2之间的距之间的距离。离。(2)由于绳长固定，由于绳长固定，所以所以 M 到两个定点的距到两个定点的距离和也固定。离和也固定。F1F2椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1aMFMF221(2a2c) （1）建系设点）建系设点 （2）写等式）写等式 （3）等式坐标化）等式坐标化 （4）化简）化简 （5）检验）检验F1F2M0 xy解：以线段解：以线段F1F2中点为坐标中点为坐标原点原点，F1F2所在直线为所在直线为x轴轴，建立平面直，建立平面直角坐标系，则角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。设设M(x, y)，则，则 |MF1|MF2|2a,即即aycxycx2)()(2222将这个方程移项，两边平方，整理得将这个方程移项，两边平方，整理得两边再平方，得两边再平方，得a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2,整理得整理得 (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2),由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知 2a2c 2a2c 即即 acac所以所以022 ca两边同时除以两边同时除以22ba12222byax得得0222bbca令令222222bayaxb得得12222byax叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在的焦点在x x轴上。焦点是轴上。焦点是F F1 1,0 , c,0 ,2cF222bac但但 如果使点如果使点21FF ,在在y y轴上，点轴上，点21FF ,的坐标分别的坐标分别, 01cFcF,02，a,ba,b的意义同上。的意义同上。那么方程为那么方程为12222bxay它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点是焦点是, 01cF., 02cF的焦点在的焦点在y轴上。轴上。) 0(12222babyax它表示：它表示：(1)椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上(2)焦点是焦点是F1（-C，0）,F2（C，0）(3)C2= a2 - b2 F1F2M0 xy) 0(12222babxay它表示它表示:(1)椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上轴上(2)焦点是焦点是F1（0，-C）,F2（0，C）(3)C2= a2 - b2 F1F2M0 xy理解概念，应用概念：理解概念，应用概念：1. 对椭圆及其标准方程的理解：对椭圆及其标准方程的理解： (1) 椭圆有互相垂直的两条对称轴，椭圆有互相垂直的两条对称轴，其焦点在较长的对称轴上；其焦点在较长的对称轴上； (2) 若椭圆对称轴合于坐标轴，其若椭圆对称轴合于坐标轴，其方程为椭圆的标准方程，反之亦然；方程为椭圆的标准方程，反之亦然； (3) 椭圆标准方程中，总有椭圆标准方程中，总有ab0,即哪个分母大，焦点就在相应的哪个即哪个分母大，焦点就在相应的哪个坐标轴上；坐标轴上； (4) a、b、c始终满足始终满足c2=a2 b2, 焦焦点在点在x轴上为轴上为( c, 0)、(c, 0)，在，在y轴上轴上为为(0, c)、(0, c); (5) 形如形如Ax2+By2=C的方程中的方程中, 只只要要A、B、C同号，可化为椭圆方程同号，可化为椭圆方程.应用举例应用举例1.用定义判断下列动点用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(3)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。解解 (1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭的轨迹不是椭圆圆(是线段是线段F1F2)。，故点M的轨迹为椭圆，故点M的轨迹为椭圆2 22 2| |F FF F| |3 3| |MFMF| | |MFMF| |因因2 21 12 21 1 (3)116914422yx1162522yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）112222mymx答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。应用举例应用举例应用举例应用举例。标为则两焦点坐已知椭圆方程为。的范围为则轴上的椭圆，表示焦点在方程。的范围为则轴上的椭圆，表示焦点在方程_1,9y16x3.) (by19ybx2.) (ax13yax.1222222a30b9)0 ,7( 写出椭圆的标准方程。写出椭圆的标准方程。根据已知求出根据已知求出a、c，再推出，再推出a、b设出设出椭圆的标准方程为椭圆的标准方程为判断方程类型：由焦点坐标知，点的轨迹是焦点在判断方程类型：由焦点坐标知，点的轨迹是焦点在 x轴上的轴上的椭圆。椭圆。分析分析（1）例题讲解例题讲解) 0(12222babyax分析分析（2） 1）已知焦点为（）已知焦点为（0，-2），（），（0，2）。可）。可知焦点在知焦点在y轴上，并且轴上，并且2C=4，可以设所求椭圆，可以设所求椭圆由点（由点（-3/2，5/2）到两个焦点的距离之和求到两个焦点的距离之和求2a,再求再求b.可得方程。可得方程。2）或：设方程为方程为,142222axay,12222bxay椭圆方程为：椭圆方程为：将点将点（-3/2，5/2）代入可求方程（待定系数法）代入可求方程（待定系数法）（解见课本。）（解见课本。）（1） a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴（2）a=4，c=150.5，焦点在，焦点在 y 轴上轴上（3）如果椭圆）如果椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距的距离等于离等于6，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离是的距离是13610022yx求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、b或或a、c或或b、c注意：注意：“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专用名词，是个专用名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的。就是指上述的两个方程，形式是固定的。11622 yx11622 xy14应用举例应用举例131212yyx答：122bcyacx答：022525922yx192522yx答：）（0,22CBACByAx在上述方程中，在上述方程中，A、B、C满足什么条件，满足什么条件，就表示椭圆？就表示椭圆？答：答： A、B、C同号，且同号，且A不等于不等于B。13222yx应用举例应用举例（1） 椭圆的标准方程有几个？椭圆的标准方程有几个？答：两个。焦点分别在答：两个。焦点分别在 x 轴、轴、y 轴轴。（2）给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴）给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上上CByAx22（3）什么时候表示椭圆？什么时候表示椭圆？答：答：A、B、C同号时，同号时，且且A不等于不等于B。（4）求一个椭圆的标准方程需求几个量？）求一个椭圆的标准方程需求几个量？ 答：两个。答：两个。a、 b或或a、c或或b、c 小结（小结（2）答：在分母大的那个轴上。答：在分母大的那个轴上。2、取过两个定点的直线作为一条坐标轴、取过两个定点的直线作为一条坐标轴 ，它的线，它的线段垂直平分线做作另段垂直平分线做作另一条坐标轴一条坐标轴，建立直角坐标系，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。从而保证方程是标准方程。例题讲解例题讲解3、因为焦点所在的坐标轴有两种选择方法，故有、因为焦点所在的坐标轴有两种选择方法，故有两种解答。两种解答。 分析：分析：1、判断：、判断：1）和是常数；）和是常数；2）常数大于两个定点之）常数大于两个定点之间的距离间的距离,故点的轨迹是椭圆。故点的轨迹是椭圆。4、根据已知求出、根据已知求出a、c，再推出，再推出a、b写出椭圆的写出椭圆的 标准方程。标准方程。 （学生接着完成）（学生接着完成）ABC例题讲解例题讲解且且例例3 3：已知：已知B,CB,C是两个定点，是两个定点，6BCABC的周长等于的周长等于1616求顶点求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程分析分析 在解析几何中，求符合某种条件的点的轨迹方程在解析几何中，求符合某种条件的点的轨迹方程要建立适当的坐标系。要建立适当的坐标系。ABC中中，ABC的周长的周长为为1616，6BC可知，可知，点点A A到到B,CB,C两点的距离为两点的距离为常数。即常数。即10616 ACAB因此，点因此，点A A的轨迹是以的轨迹是以B,CB,C为焦点的椭圆为焦点的椭圆在解解 建立坐标系，使建立坐标系，使x x轴经过轴经过B,CB,C，原点，原点0 0与与B,CB,C的中点重合的中点重合由已知由已知616BCBCACAB,有10 ACAB即即点点A A的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆且且 2c=6 , 2a=16-6=102c=6 , 2a=16-6=104163553222bbac但当点但当点A A在直线在直线BCBC上，上，即即y=0y=0时，时，A,B,CA,B,C三点不能构成三角形三点不能构成三角形01162522yyxA的轨迹为点注意注意 求出曲线的方程后，要注意检查一下求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线方程的曲线上的点是否都是符合题意。上的点是否都是符合题意。ABCOxy例例4 4、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从，从这个圆上这个圆上任意一点任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP。求线段。求线段PP中点中点M的轨迹。的轨迹。解解 设点设点M M的坐标为的坐标为(x,y)(x,y)，点，点P P的坐标为的坐标为00yx ,则则200yyxx,44),(20202200yxyxyxP上在圆14442,222200yxyxyyxx即得代入上述方程将0 xyPP例题讲例题讲解解M应用举例应用举例1 1、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从，从这个圆上这个圆上任意一点任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP，延长，延长PP至至M,使使PM=2 PP，求点，求点M的轨迹。的轨迹。2 2、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从这个，从这个圆上圆上任意一点任意一点P向向x轴作垂线段轴作垂线段PP。求线段。求线段PP上使上使PM=2MP的点的点M的轨迹。的轨迹。3 3、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2 2，从这个，从这个圆上圆上任意一点任意一点P向向y轴作垂线段轴作垂线段PP。求。求PP上上PP=-3PM的点的点M的轨迹。的轨迹。116422yx12)3/4(2222yx12)3/2(2222yx应用举例应用举例171622yx4、三角形三角形ABC的三边的三边a、b、c成等差数列，成等差数列，A、C的坐标分别为（的坐标分别为（-1，0），（），（1，0），），求顶点求顶点B的轨迹。（的轨迹。（86*例例2）)0( 13422yyx5、一动圆过点一动圆过点B（-3，0），），64)3( :22yxC内切求该动圆圆心内切求该动圆圆心M 的轨迹方程。的轨迹方程。而且与圆而且与圆3-3xyMABC应用举例应用举例）例的面积。求焦点，且是、上的一点，是椭圆、已知点3*86(,301457210212122PFFPFFFFxyP348S）例的取值范围。（实数恒有公共点，求与椭圆、直线4*861501622mmyxkxy5, 0mm且习题习题8.1:1.(3); 2; 3.(1) (3).5; 6; 7.2004、9、15