第2章控系统的时域和频域描述1

第2章 控制系统的时域和频域描述第第2章章 控制系统的时域和频域描述控制系统的时域和频域描述 2.1 状态方程与时域描述状态方程与时域描述2.2 传递函数与频域描述传递函数与频域描述第2章 控制系统的时域和频域描述2.1 状态方程与时域描述状态方程与时域描述 2.1.1 控制系统的状态空间描述 连续动态系统状态空间的一般形式可以写成 ( )( )(, )( )( )( )( )dX tAX tF X tG tdtY tCX tDU t(2.1) (2.2) 第2章 控制系统的时域和频域描述 其中,F(X,t)表示系统所有的可变系数和非线性项。一般而言,系统的输入、输出和状态变量具有不同的维数。为了得到系统的完整描述,定义 G(t)=BU(t) (2.3) B、C、D矩阵一般为非方阵,式（2.1）可以写成( )( )(, )( )NKMiijjikimmjkmdx ta x tfX tb utdt(2.4) 式（2.2）可以写成( )( )( )NMiijjimmjmy tc x td ut(2.5)第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.1 将下面的二阶系统表示成标准的状态方程形式。11211213221222122( )7( )3( )4( )( )( )( )2( )( )9( )5( )3( )4( )( )( )( )2( )dx tx tx ttx tx t x tu tu tdtdx tx tx tx tu tdty tx tx tu t 解：写成标准的状态空间形式( )( )(, )( )TTdX tAX tF X tBU tdtyC XD U第2章 控制系统的时域和频域描述11223( )( )( )( )( )( )( )u tx tX tU tu tx tu t121224( )( )( )73(, )953( )102040tx tx t x tAF X tx tB其中 式（2.1）可以写成更一般的形式，即11020TTCD( )(, )dX tF X U tdt第2章 控制系统的时域和频域描述 2.1.2 状态方程的创建 假设n维线性微分方程为111110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnndddy tay tay ta y tdtdtdtdddbu tbu tbu tb u tdtdtdt(2.6)定义 10201112230122222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x ty tu tdddx ty ttu tx tu tdtdtdtddddx ty tu tu tu tx tu tdtdtdtdt第2章 控制系统的时域和频域描述 对于第j个状态变量11201111211( )( )( )( )( )( )( )( )jjjjjjjjjjjdddx ty tu tu tu tdtdtdtdx txtu tdt(2.7) 其中,j定义为 00111022112011110jjjjjbbabaabaaa(2.8) 第2章 控制系统的时域和频域描述 对于式（2.7）和（2.8）,可以得到式（2.6）描述的SISO系统的矩阵表示 ( )( )( )( )( )( )TdX tAX tBu tdty tC X tdu t其中112200100TnnxxXBCdbx(2.11) 第2章 控制系统的时域和频域描述(2.12) 121010000100001nnnAaaaa 第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.2 将下面的三阶线性系统表示成标准的状态空间形式。3232( )6( )8( )4 ( )2( )7 ( )ddddy ty ty ty tu tu tdtdtdtdt解：按照前面介绍的方法1110jjjdxxudtxyuy第2章 控制系统的时域和频域描述定义 1020122230122222xyudydudyxudtdtdtdyd udud yxuudtdtdtdt001110222120331221300027625bbabaabaaa 其中 第2章 控制系统的时域和频域描述 因此 112233123( )( )0100( )001( )2( )4865( )( )( )( )100( )0 ( )( )x tx tdx tx tu tdtx tx tx ty tx tu tx t第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.3 将下面的系统转换成标准状态空间形式。(注意到该系统方程右边没有输入的导数项,因此得到的系统矩阵的特征值与给定三阶方程解的特征方程的特征根相同。) 解：定义系统状态1211322xydxyxxdtdxyxxdt第2章 控制系统的时域和频域描述 写成矩阵形式 由 可得到33dyxxdt313223 1dxa xa xa xudt 112232133123( )( )0100( )001( )01( )( )( )( )100( )0( )x tx tdx tx tudtaaax tx tx ty tx tux t 第2章 控制系统的时域和频域描述 下面我们来验证第二个问题。系统方程的特征根可以写成 3+a12+a2+a3=0 状态矩阵的特征值为 32110det()001AIaaa沿矩阵的第一行展开212332123det()()0AIaaaaaa 第2章 控制系统的时域和频域描述 这里的det(A-I)称为特征方程。可以看出,状态矩阵的特征值与特征方程的根相同。 方程（2.4）的每一个方程中只含有一个导数项,称之为标准形式。然而对于一般的线性系统,在一个方程中可能会包含多个导数项。例如,下面的二阶系统1212124( )340ddxxxu tdtdtdxxxdt写成矩阵形式112211401( )01340 xxdu txxdt 第2章 控制系统的时域和频域描述 更为一般的形式是 ( )( )( )dEX tAX tBU tdt两边同乘以E-1,有 11()()dXE A XE B Udt(2.13) (2.14) (E-1A)称为系统矩阵。 第2章 控制系统的时域和频域描述 对于方程中含有代数方程的情况,可以通过一系列的代数运算来降低系统的维数。基本步骤包括： （1）重新将方程排序,使得前n1个方程包含导数项,后n2个方程仅包含代数项。 （2）使用矩阵重写原始方程（G=BU）1112112122000dddaaaXXGCCEdCCXXGdt 其中,Xd为包含导数项的状态向量,Xa为没有导数项的状态向量。 第2章 控制系统的时域和频域描述 （3）将上一步的矩阵展开，有11111221220ddaddaadEXC XC XGdtC XC XG（4）得到Xa关于Xd的解,将它代入到微分方程中,可得122211111111222211222()adadddadXCC XGdEXC XC C C XC C CGdt 第2章 控制系统的时域和频域描述 （5）将新的系统写成标准形式 11111112222111111222()(dddadXAXWdtAECC C CWEGC C G(2.15) 第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.4 将下面的系统表示成标准的状态方程形式。 1214522334123125( )( )4( )( )( )( )( )( )5( )3 ( )0( )( )0( )3( )( )7 ( )0( )( )( )ddx tx tx tx tx tu tdtdtdx tx tx tu tdtx tx tx tx tx tu tx tx tx t 第2章 控制系统的时域和频域描述 解：将系统方程写成矩阵形式112234511000410110100001500000000011000000131000000011001xxxxdxdtxx34513070uxxx 第2章 控制系统的时域和频域描述 上式具有以下形式1112112122000dddaaaXXBCCEduCCXXBdt方程的解为 ( )( )( )dddXtAXtWu tdt其中 111111122211111222()()daAECC CWEBC C B第2章 控制系统的时域和频域描述 2.1.3 非线性系统的线性化 实际上我们接触到的系统都是非线性系统,然而在某个参考状态的某个有限范围内可以采用近似线性化的分析方法。下面将介绍如何对一般的非线性状态方程进行线性化。 假设非线性系统的一般形式为 ( )( )(, )( )dX tAX tF X U tBU tdt(2.16) F(X,U,t)包括系统所有的非线性项。系统的状态变量和输入可以表示成第2章 控制系统的时域和频域描述 X0为非线性系统的参考点处的状态和输入。将式（2.17）代入式（2.16）,得到00( )( )( )( )( )( )X tXtX tU tU tU t(2.17) 00000( )( )( )( )(, )( )9 )ddXtX tAXtA X tF XdtdtX UU tBU tB U t(2.18)第2章 控制系统的时域和频域描述 将上式在参考点附近进行一阶Taylor展开,对于其中第i个等式,其一阶近似为000000000(, )(, )(, )(,)( )(,)( )xuF X U tF XX UU tF X U tJX UX tJX UU t000000,11(, )(, )NMiiiiX UjX Ukjkjkfff X U tf X U txuxu(2.19) 写成矩阵形式 (2.20) 其中,Jx(X0,U0)和Ju(X0,U0)是系统在参考点处的Jacobian矩阵，即iixujkffJJxu(2.21) 第2章 控制系统的时域和频域描述 系统在参考点附近同样有 00000(, )dXAXF X U tBUdt(2.22) 将式（2.20）和式（2.22）代入式（2.18）,得到 0000( )(,)( )(,)( )xudX tAJX UX tBJX UU tdt(2.23) 式（2.23）表示的是原非线性系统的线性化模型系统。新系统的状态矩阵为A+Jx(X0,U0),同时新的输入矩阵为B+Ju(X0,U0)。第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.5 计算下列矩阵表示的非线性系统在平衡点( )处的线性化模型。000,0dXUdt221211300 xAFBuu 解：首先计算系统的参考状态。在平衡点处00000(,)0dXAXF X Udt从而 210202010200203xxxxx 第2章 控制系统的时域和频域描述 得到两个平衡点的状态为102001505XX 计算系统在平衡点处的Jacobian矩阵 00001121200,221202(,)|00 xX UX UffxxxJX Uffxx第2章 控制系统的时域和频域描述在参考状态XT0=0 0处,线性化系统为 121130dXXudt 而在参考状态XT0=15 -5处,线性化系统为181130dXXudt 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.1.4 线性系统的解析解 下面将讨论如何计算一个状态方程描述的线性系统的时域解。在讨论过程中,读者可以看到,矩阵的指数函数在系统解的计算中发挥了重要的作用。 1.无输入的情况 首先考虑一个没有独立输入变量并且只有一个状态变量的最简单情况。系统描述0( )( )(0)dx tax txxdt(2.24)第2章 控制系统的时域和频域描述 假定解的形式为 ( )tx tbe(2.25)将其代入原方程ttb eabea方程的最终解为00( )(0)atx tx exbx(2.26) 对于矩阵的情况,即系统含有一个以上的状态变量 0( )( )(0)dX tAX tXXdt(2.27) 第2章 控制系统的时域和频域描述 与标量情况类似,假设解的形式为( )tX te B(2.28) 代入式（2.27），得tte BAe BA由初始条件X(0)=B=X0得0( )AtX te X(2.29) 以上结果也可以表示成不同的形式。例如,可以以t=t0为初始条件重新计算,则式（2.29）变为0()0( )( )A t tX teX t(2.30) 第2章 控制系统的时域和频域描述 如果采用t=t-t0,有00()( )A tX tteX t (2.31) 综上所述,无输入线性状态方程的解为( )( )(0)X tt X (2.32) 其中,(t)称为状态转移矩阵,它是下面方程的唯一解 ( )( )(0)dtAtIdt(2.33) 第2章 控制系统的时域和频域描述 为了验证式（2.23）确实是原系统方程的解,考虑(0)(0)(0)(0)(0)( )( )(0)( )(0)( )XXIXXddX tt XAt XAX tdtdt (2.34) 第2章 控制系统的时域和频域描述 2. 有输入的情况 首先考虑标量（只有一个状态变量）的情况。系统的状态方程为( )( )( )dx tax tbu tdt(2.35) 方程两边同时乘以积分因子 ,得到adtatee( )( )( )( )atatatddex tax tex tebu tdtdt第2章 控制系统的时域和频域描述 将方程在t0与t的区间内进行积分,有0000( )( )( )( )( )ttaatttaaatd exebudex tex tebud最后,两边乘以eat,重新整理方程得00()()0( )( )( )ta t ta ttx tex tebud(2.36) 如果t0=0,则 0()( )(0)( )tata ttx te xebud(2.37) 第2章 控制系统的时域和频域描述 验证上述解的正确性的方法是将其代入微分方程中去。例如,将式（2.37）代入方程（2.35）中,并根据Leibnitz法则,得到 ()()00( )( )( )( )( )tata ta tdx tae xaebudebu tax tbu tdt(2.38) 对于矩阵情况,系统描述为 ( )( )( )dX tAX tBU tdt(2.39)与标量的情况类似,方程两边同时乘以积分因子e-At,得到 ( )( )( )( )AtAtAtddeX tAX teX teBU tdtdt第2章 控制系统的时域和频域描述 在t0与t时间区间内进行积分,从而有00( )( )ttAAttd eXeBUd000( )( )( )tAtAtAtteX teX teBUd最后,两边同时乘以eAt,得到 00()()0( )( )( )tA t tA ttX teX teBUd(2.40) 如果t0=0,则 ()0( )(0)( )tAtA tX te XeBUd(2.41) 第2章 控制系统的时域和频域描述 同样,为了验证上述解的正确性,将它代入原系统方程()00( )( )( )( )( )tAtA tdX tAe XAeBUdBu tAX tBU tdt上述解也可以用状态转移矩阵来表示 ()( )()AtA ttete例如,方程（2.41）采用转移矩阵表示为 00( )( )()( )tX tt XtBUd 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.1.5 线性系统的离散化 正如上面讨论的那样,在对实际系统进行分析和仿真之前,往往需要首先采用计算机计算出系统的解的情况。在高维动态系统的计算机仿真中一般采用两种方法,包括线性系统解析解的离散化和适用于任何系统的数值积分技术。 系统离散化的目标是将线性系统的连续状态方程描述转化成离散形式。假设系统状态方程为( )( )( )dX tAX tBU tdt(2.43)第2章 控制系统的时域和频域描述 将其转化成离散状态方程形式X(k+1)T=G(T)X(kT)+H(T)U(kT) (2.44) 其中,T是采样周期,G和H是常值矩阵。为了方便,方程（2.44）经常写成下面的形式 Xk+1=GXk+Huk (2.45) 上述方程表示了系统状态随离散时间的迭代关系,如果G和H矩阵都已知,就很容易通过计算机迭代计算系统在各个时刻的状态值。因此,下面的目标就是如何计算离散状态矩阵的值。 第2章 控制系统的时域和频域描述 为此,首先假设输入U(t)为分段常值的函数,即U(t) Uk。为了推导系统的离散表示,引出前面讲述的连续线性系统的解析解，即00()0( )( )( )tA t tAtAtX teX teeBUd定义t=(k+1)T,并且t0=kT,有(1) (1)1( )kTATA kTkkkTXeXeBUd引进新的变量,使得=+kT或者=-kT,从而 d=d (k+1)T-kT=T- U(+kT)=U(kT)=Uk第2章 控制系统的时域和频域描述 可以得到()10TATA TkkkXeXedBU由于 ()100011TTA TATAATATATATATedee deA eA eeIAeI 得到最后的解11ATATkkkXeXAeI BU(2.46) 第2章 控制系统的时域和频域描述 将它与式（2.45）进行比较,最后得到G和H矩阵的计算公式1ATATGeHAeI B如果将G按照指数公式展开,有2311()()2!3!ATGeIATATAT则可以得到H的展开形式1232311()()2!3!11()()2!3!HAIATATATI BT IATATATBTQB第2章 控制系统的时域和频域描述 2.1.6 状态方程的数值积分 在对系统状态方程进行仿真中除了使用上面讲述的矩阵指数函数方法外,还可以采用直接对状态方程进行积分的方法。采用直接积分方法的优点在于它可以很容易地处理时变和相对复杂的非线性系统。 1Euler方法（标量情况） 考虑一般的一阶微分方程 ( )( ) ( )( ) ( )( , , )dx ta t x tb t u tf x u tdt(2.51)第2章 控制系统的时域和频域描述 在Euler方法中,我们假定方程（2.51）的右边在某个时间段t=tk+1-tk保持常值。这样,方程（2.51）的积分方程可以写成 11( )(, )kkkkttkkkttdx t dtf x u tdtdt或者 1 (, )kkkkkxxt f x u t (2.52) 第2章 控制系统的时域和频域描述 2改进的Euler方法（标量情况） 对积分方程更好的近似方法是假定方程在t时间段内是线性（而不是常值）的,这样得到下面的迭代关系1111 (, )(,)2kkkkkkkktxxf x u tf xut(2.53) 式（2.53）的问题在于计算xk+1时需要计算fk+1,一种可能的解决方法是首先得到xk+1和fk+1的预测值,然后根据情况对xk+1进行修正,以改进第一次得到的预测值。这种方法也称为预测-修正方法。计算步骤为先进行预测计算1kkkxxtf (2.54) 第2章 控制系统的时域和频域描述 再进行修正计算 11()2kkkktxxff其中 1111(, )(,)kkkkkkkkff x u tff xut xk+1代表tk+1时刻第一次的预测值, tk+1代表修正后的最优值。 第2章 控制系统的时域和频域描述 改进的Euler方法虽然算法简单,却展示了预测-修正数值积分方法的主要思想。我们还可以在计算过程中自适应地调整t的大小,来同时满足计算精度和计算速度的要求。在最新的算法中,只要输入数值积分的容许误差,积分算法将会自动调整计算的步长,以满足计算精度的要求。MATLAB/Simulink中采用的变步长ODE求解算法普遍采用的就是这类算法。 以上关于标量情况的讨论可以很容易地推广到矩阵形式。假设一维微分方程的一般形式是( )( )( )( ) ( )(, )dX tA t X tB t U tF X U tdt(2.55) 第2章 控制系统的时域和频域描述 Euler方法（矩阵情况）1(, )kkkkkkkXXtFFF X U t 其中 改进的Euler方法（矩阵情况） 预测计算 1kkkXXtF (2.56) (2.57) 修正计算 11()2kkkktXXFF(2.58) 第2章 控制系统的时域和频域描述其中 1111(, )(,)kkkkkkkkFF X U tFF XUt(2.59) (2.60) 第2章 控制系统的时域和频域描述2.1.7 实例最后通过一个具体的例子来演示前述内容。例2.6 二阶线性系统的一般形式为221201222d ydyd udyaa ybbb udtdtdtdt将它写成状态方程形式,有111212221020110 xxduaaxxdtxyux第2章 控制系统的时域和频域描述 其中 0=b0 1=b1-a1b0 2=b2-a1b1+a21b0-a2b010211dxyuxxudtx1(0)和x2(0)为系统的初始条件。作为一个特殊的例子,图2.1显示的是一个简单的RLC电路。 电路的电压满足平衡方程 ea=eL+eR+eC其中 1LRCdieLeRieidtdtC第2章 控制系统的时域和频域描述图2.1 简单的RLC电路图 第2章 控制系统的时域和频域描述 i(t)代表电路中的电流。将这些关系代入平衡方程，得0221( )( )( )( )1( )( )( )( )taade tLi tRi tiddtCdddLi tRi ti te tdtdtCdt将方程两边进行微分 将上式与二阶系统的一般形式进行比较,可以看出 120121100RaabbbLLCL第2章 控制系统的时域和频域描述 这样,可以得到标准的状态方程形式 112221212110011001xxdLuRxxRdtLCLLxyuxxydxxudtL 其中 第2章 控制系统的时域和频域描述 为了得到系统的解析解,假定R=100,L=0.1H,C=0.001F。ea(t)是10V的阶跃信号。下面我们采用三种不同的方法进行时域仿真： 1）用状态转移矩阵表示的系统解析解 对于阶跃输入,LTI系统的解析解可以写成00( )tAtAtAtX te XeedBu上式可以写成简化形式 1001100( )( )()()AtAtAt tAtAtAtAtAtX te XeA eBuX te XeAIeBue X AeI Bu第2章 控制系统的时域和频域描述 最后一步,我们利用了A-1和eAt可交换的事实。 为了得到最后的表达式,我们使用Sylvester定理来计算状态转移矩阵eAt,首先计算状态矩阵的特征值：111100( )()AtAtAtX te XA e BuA BueXA BuA Bu或者 2111RAIRLLCLCL第2章 控制系统的时域和频域描述 2）LTI系统的离散化 LTI状态方程的离散化方法包含在MATLAB中的控制工具箱（ControlToolbox）中。这个工具箱还包括一整套用于线性系统分析的函数。MATLAB是通过定义标准状态方程中的A、B、C和D矩阵的方法来定义一个LTI状态空间对象： sys=ss(A,B,C,D) 上式将创建一个名为sys的LTI系统对象,接下来可以使用其它函数对其进行各种操作。 例如,对阶跃信号的响应可以通过下式进行计算: Y,T,X=step(sys)第2章 控制系统的时域和频域描述 或 Y,T,X=step(sys,T) 其中,Y和X分别包含输出和状态向量的时域仿真数据,它是一个三维数组,其第3维对应于输入的维数。 对于第一种用法,T向量中的采样时间数与采样周期是由MATLAB自动确定的。而在第二种用法中,它们是由用户自己定义的。除了使用step函数,MATLAB中具有类似功能的函数还有impulse和lsim,它们分别完成系统的单位阶跃响应和一般输入信号的仿真。对于本例中的RLC电路,调用的格式为第2章 控制系统的时域和频域描述 sys=ss(A,10*B,C,D); Y,T,X=step(sys,T); 3）状态方程的数值积分 本例中演示的最后一种方法是通过MATLAB的ode23函数完成的数值积分方法。该函数运用了前面讲述的自适应步长控制算法,采用不同阶的RungeKutta（RK）积分算法来进行误差估计。具体来说,ode23采用二阶和三阶RK算法来对微分方程进行积分。 读者可以通过helpode23来详细了解该函数的用法。在本例中,ode23的调用格式为T,X=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options)；第2章 控制系统的时域和频域描述 其中,to和tf是初始和最终的仿真时间,xo代表状态向量的初始条件。options参数允许用户指定数值积分的某些选项（具体选项可以参考odeset函数）。函数输出包括记录采样时刻的时间向量T和状态矩阵,其中的每一列对应于每个时刻的状态值。函数名sseqn1代表将要计算的方程名称。可以预见,采用方法3所得到的仿真曲线与其它方法是一致的（如图2.2、图2.3所示）。第2章 控制系统的时域和频域描述图2.2 采用不同时域仿真方法的RLC 电路阶跃响应曲线(R=100)第2章 控制系统的时域和频域描述图2.3 采用不同时域仿真方法的RLC 电路阶跃响应曲线(R=10)第2章 控制系统的时域和频域描述以下是本例中使用的仿真源程序： % LTIDEMO1.M 演示计算LTI系统方程解的各种方法 clearall, closeall, nfig=0; globalABU L=0.1; %电感参数(henry) Ca=0.001; %电容参数(farad) RR=100100; %可变电阻(ohms) 第2章 控制系统的时域和频域描述 ir=menu(ChooseRvalueinRLCcircuit, . R=100ohms(overdampedresponse), . R=10ohms(underdampedresponse), . R=0ohms (undampedresponse); R=RR(ir); % 建立RLC电路的状态方程 A=01;-1/(L*Ca)-R/L; B=1/L-R/L2; C=10; D=0;第2章 控制系统的时域和频域描述 % 设置积分时间,时间向量和系统初始条件 to=0; tf=0.25; nt=251; t=linspace(to,tf,nt); xo=00;% 设置阶跃信号的幅值 us=10; % PartA 连续解析解 pp=1R/L1/(L*Ca); rr=roots(pp);第2章 控制系统的时域和频域描述% 确定方程中的矩阵或向量常数 aibu=inv(A)*B*us; xxo=xo+aibu; AA1=(A-rr(2)*eye(size(A)/(rr(1)-rr(2); AA2=(A-rr(1)*eye(size(A)/(rr(2)-rr(1);% 确定时间的相关量 tb1=exp(rr(1)*t); tb2=exp(rr(2)*t);% 构造状态变量随时间的变化 xa=zeros(2,nt); xa(:,1)=xo; ya=zeros(1,nt); ya(:,1)=C*xo+D*us; fork=2:nt第2章 控制系统的时域和频域描述xa(:,k)=(AA1*tb1(k)+AA2*tb2(k)*xxo-aibu; ya(:,k)=C*xa(:,k)+D*us; end xa=xa; ya=ya; % PartB LTI系统的离散解% 对系统时域响应进行仿真 sys=ss(A,B*us,C,D); yb,t,xb=step(sys,t); 第2章 控制系统的时域和频域描述% PartC 状态方程的数值解 U=us; options=odeset(RelTol,1.0e-6); tn,xc=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options); xct=xc; ntn=length(tn); yc=zeros(1,ntn); fork=1:ntn yc(:,k)=C*xct(:,k)+D*U; end yc=yc; 第2章 控制系统的时域和频域描述% 绘制上述三部分的结果曲线 nfig=nfig+1; figure(nfig) subplot(3,1,1),plot(t,1000*ya,r),grid title(Fig3.3 VariousSolutionsforaStepInputtoRLCCircuit. (R=, num2str(R),ohms) range=axis; xt=range(1)+0.55*(range(2)-range(1); yt=range(3)+0.85*(range(4)-range(3); text(xt,yt,ContinuousAnalyticalSolution) 第2章 控制系统的时域和频域描述 ylabel(ia(t)(ma) subplot(3,1,2),plot(t,1000*yb,g),grid text(xt,yt,DiscreteSolutionforLTISystem) ylabel(ib(t)(ma) subplot(3,1,3),plot(tn,1000*yc,b),grid text(xt,yt,NumericalSolution) ylabel(ic(t)(ma), xlabel(Time(sec)第2章 控制系统的时域和频域描述% SSEQN1.M 常系数状态方程的建立 functionxp=sseqn1(t,x) globalABU xp=A*x+B*U;第2章 控制系统的时域和频域描述2.2 传递函数与频域描述传递函数与频域描述 2.2.1 线性系统的输入输出关系 我们知道,线性系统的状态方程可以表示为dXAXBUdtYCXDU(2.61) (2.62) 第2章 控制系统的时域和频域描述 其中,Y=Y(t)表示系统的输出向量,U=U(t)为系统的输入向量。如果系统只有一个输入变量和输出变量（SISO）,则该系统可以由输入函数到输出响应的传递函数来表示。例如,图2.4中的系统可以由图2.5所示的抽象系统简单地表示。第2章 控制系统的时域和频域描述图2.4 SISO线性系统的方框图 第2章 控制系统的时域和频域描述图2.5 SISO系统的抽象表示第2章 控制系统的时域和频域描述 图2.5中系统的输入输出关系可以表示为 0( )( )( )( )( )( )tx taxbudy tcx tdu t 对于多输入多输出（MIMO）系统,则该系统可以分成多个互连的SISO子系统。例如,图2.6所示的系统具有两个输入、三个输出,它可以分解成六个SISO子系统。 这可以用具有多个输入和输出的单个模块来表示，如图2.7所示。 第2章 控制系统的时域和频域描述图2.6 MIMO系统框图 第2章 控制系统的时域和频域描述图2.7 MIMO系统的抽象表示 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.2 Laplace变换 定义：Laplace变换定义为下面的线性变换0 ( )( )( )stL f tF sf t edt其中,s=+j为任意的复数,f(t)e-st是有界的。定义：Laplace反变换由下式确定11 ( )( )( )2cjstcjLF sf sF s e dsj 以上定义在很多情况下并不适用,实际上我们通常通过查表来计算Laplace变换和Laplace反变换。下面列举一些常见的Laplace变换： 第2章 控制系统的时域和频域描述 1）单位脉冲 0( )( )( )1( )( )1stf ttF sF st edt其中 (2.65) 2）单位阶跃 0(0)1( )( )( )1(0)tf tu tF sts(2.66) 其中 00111( )(1)(01)ststF sedtesss 第2章 控制系统的时域和频域描述 3）指数信号1( )( )stf teF ssa(2.67) 其中 ()()00011( )atsts a ts a tF seedtedtesasa 4）斜坡信号2( )( )af tatF ss(2.68) 其中 0220( )(1)ststeaF satedtastss第2章 控制系统的时域和频域描述 5）重叠信号1212( )( )( )( )( )( )f taf tbf tF saF sbF s(2.69) 下面利用式（2.69）来计算Lsin0t：0000220( )sin( )2jtjteef ttF sjs(2.70) 其中, 0012( )( )( )22jtjteef tf tf tjj由式（2.67）、（2.69）,有12001111( )()( )()22F sF sj sjj sj第2章 控制系统的时域和频域描述 6）时间延迟 或者 000222200001111( )22sjsjF sj sjsjjss01001( )() ()( )( )stf tf tt u ttF sF s e(2.71) 其中 0100100( )() ()()ststtF sf tt u tt ef tt edt定义=t-t0和d=dt,有第2章 控制系统的时域和频域描述 7）微分信号 000()11100( )( )( )( )s t tstststF sfedefedF s e11110( )( )( )( )(0)( )( )stdf tf tF ssF sfdtdf tF sedtdt(2.72) 利用上面的关系可以得到 1101110( )( )( )()( )(0)( )ststststdf tueddtdusedtdtF sf t esef t dtfsF s 第2章 控制系统的时域和频域描述 对于二阶导数,有 221111002( )( )( )( )( )d fdf tf tF ss F ssf tdtdt121110101101( )( )( )( )( )( )nnnnnnnd ff tF ss F ssf tsf tdtdf tdt(2.73)一般而言,对于n阶导数,有 (2.74) 8）积分信号 1101( )( )( )( )tf tfdF sF ss(2.75) 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.3 Laplace反变换 n阶LTI系统的Laplace变换具有如下的一般表示：1212()()()( )( )()()()( )mnsasasaZ sF ssbsbsbP s(2.76) 这里的a1,a2,a3，am为F(s)的零点,而b1,b2,b3,，bn是F(s)的极点。第2章 控制系统的时域和频域描述 1. 部分分式展开的计算方法 1) 非重复线性因子的情况22121211( )(1)(3)(4)13411(3)(4)315(1)(4)117(1)(3)3111171( )()5()()31334ssssABCF ssssssssAsssBsssCssF ssss 第2章 控制系统的时域和频域描述得到 34117( )533tttf teee 2)重复线性因子的情况2222122221( )(1) (2)(1)(1)(1)124(1)1(1)(2)00ssssAAAF sssssssBssCssBAss(无法计算) 第2章 控制系统的时域和频域描述为此,将F(s)乘以(s+1)2,有 222(1)(1)( )(1)22sssF sA sBCss计算s=-1时的值，即 221122122(1)( )2(2)2(1)(1)2(2)sssdsssF sdsssssACss或者 2211222 (2)43(2)(2)sss ssssAss 2( )34tttf tetee 第2章 控制系统的时域和频域描述 3) 复数根和二次因子情况222266( )(2)(22)222ssABsCF sssssss求解A得 222266122sssAss剩下的未知因子满足 2222266(22)()(2)4422ssssBsCsssBsBsCsC第2章 控制系统的时域和频域描述计算得到 B=1 C=2重写二次项得到 2222222()()2211sssss或者得到 22222212111( )2(1)12(1)1(1)1ssF ssssss2( )cos( )sin( )tttf teetet第2章 控制系统的时域和频域描述 2.留数方法 留数定理：如果F(s)是关于s的多项式,那么 1 ( )( ( )stLF sF s e所有的根 的留数 (2.77)其中,一个n阶极点在s=s1处的留数为 11111(1)( )(1)!nnstss sndRssF s ends(2.78) 对于一阶极点 11211(1) ( )(1)( )stss sstss sRss F s edRssF s eds对于二阶极点 (2.79) (2.80)第2章 控制系统的时域和频域描述 1)非重复线性因子情况2222134341( )(1)(2)(4)111( )(3)(4)(1)(4)(1)(3)117( )533stststssstttsF sssssssf teeessssssf teee 2)重复线性因子情况2222212222122( )(1) (2)( )(1)2242(2)2ststsstststssF ssssdsf teesds sssseetesss第2章 控制系统的时域和频域描述22466( )(2)(22)tesF ssss2222212222122( )(1) (2)( )(1)2242(2)2ststsstststssF ssssdsf teesds sssseetesss 3) 复数根和二次因子情况第2章 控制系统的时域和频域描述计算F(s)的根为s=-1j,将F(s)写成线性因子形式22221221266( )(2)( 1)( 1)266266( )()22(2)( 1)266(2)( 1)ststssjstsjssF sssjsjssssf teessssjssessj 第2章 控制系统的时域和频域描述将各项展开,通过计算得到2( 1)( 1)2211( )(1)(1)221()()22cossintj tj tttjtjttjtjttttf tej ej ejeeeeeeeeetet 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.4 微分方程的解 Laplace变换的一个重要应用是计算微分方程的解。基本步骤包括： （1）对微分方程的每一项进行Laplace变换,从而将微分方程简化成代数方程。 （2）计算代数方程中的未知独立变量。 （3）利用Laplace反变换计算出微分方程的时域解。第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.7 利用Laplace变换计算二阶线性系统的解。假定有如下的二阶微分方程2002( )( )( )0d xdx tmkxf tx tdtdt计算f(t)作用下的x(t)。 解：对微分方程进行Laplace变换20( )(0)( )( )dxm s X ssxkX sF sdt或者 022(0)( )( )dxmsxmF sxtX smskmsk第2章 控制系统的时域和频域描述 在零初始条件下,有 21( )( ) ( )( )X sG s F sG smsk 对于任何输入的驱动信号f(t),都可以计算F(s)和X(s),然后通过Laplace反变换计算出x(t)。 情况1：单位脉冲输入 假定f(t)=(t),于是F(s)=1,x(t)可以这样计算得到： 1( )sinmmx ttmkk第2章 控制系统的时域和频域描述我们知道 2222222111( )2()1mG smskssksmkkmmmkm 通过计算Laplace反变换,得到脉冲输入下的微分方程的解为 1( )sinmmx ttmkk第2章 控制系统的时域和频域描述 情况2：单位阶跃输入 对于单位阶跃输入信号,F(s)=1/s,微分方程的时域解为111( )( ) ( ) x tLX sLG ss对于 222111( )()sX ss mskkskksm 通过计算Laplace反变换,可得到脉冲输入下的微分方程的解为1( )1 mx tkk第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.5 卷积 对于LTI系统,其时域解可以是由多个Laplace变换式乘积的Laplace反变换给出的： X(s)=G(s)F(s) (2.81) x(t)=L-1X(s)=L-1G(s)F(s) (2.82) 我们可以采用卷积的概念来计算式（2.82），即112120( )( )( )()tLX s Xsxx td(2.83) 这里的x1(t)和x2(t)是因果时间函数（即满足关系f(t)=0,t0）。式(2.83）的证明是构造性的。假定f(t)的表达式为第2章 控制系统的时域和频域描述 进行Laplace变换,得 120( )( )()f txx td12001200 ( )( )( )()( )()ststL f tF sex t x tddtxx tedt d但是,对于t,有x2(t-)=0。因此,有 120( )( )()strF sxx tedt d第2章 控制系统的时域和频域描述现在假定p=t-,dp=dt,得到()12001200121200( )( )( )( )( )( )( )( )( )s p rstspstspF sxxp edp dxexp edp dxedxp edpX s Xs这样 1112120( ) ( )( )( )( )()f tLF sLX s Xsxx td(证毕) 第2章 控制系统的时域和频域描述 如果我们假定X2(s)G(s),X1(s)F(s),则x2(t)称为系统的脉冲响应(F(s)=1,f(t)=(t)。脉冲响应函数经常用h(t)表示。现在对于任何的输入函数f(t),期望的系统响应为0( )() ( )ty th tfd其中,h(t)=L-1G(s)。 第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.6 Laplace变换与状态方程 下面我们将Laplace变换扩展到矩阵形式。既然Laplace变换是一个线性算子,因此对一个向量和矩阵进行Laplace变换,只要对其中每一个元素进行相应的Laplace变换即可。并且一些基本的运算如 /nnL d x dt和0( )tLx t等仍然有效。 因此,对于标准的LTI状态方程模型,可以对其中的每一项进行Laplace变换。( )( )( )( )(0)( )( )dLX tAX tBU tdtsX sXAX sBU s第2章 控制系统的时域和频域描述或者 1()( )(0)( )( )() (0)( )sIA X sXBU sX ssIAXBU s状态方程的最终形式可以写成 下面的关系是显然的 11110) ( )()()( )AtLsIAeX ssIAXsIABU s为了证明上面的式子,重写式（2.85）为 (2.85) (2.86) (2.87) 进行Laplace反变换，有1()00( )( )( )tAtA tX tLX se XeBUd第2章 控制系统的时域和频域描述 例2.8 利用Laplace变换计算eAt,其中6142A 解：我们知道L-1(sI-A)-1=eAt, 因此首先计算(sI-A)-1。6142ssIAs22det()(6)(2)4816(4)sIAsssss2212222124(4)(4)1()1646(4)(4)(4)TsssssIAsssss第2章 控制系统的时域和频域描述因此 222111222421(4)(4)(4) 442(4)(4)(4)AtsssseLsIALssss由于 11211()atatLeLtesasa矩阵指数的最终形式为444444412241242tttAttttttteteteeettteete第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.7 系统传递函数矩阵与方框图实现 我们知道,系统传递函数是零初始条件下系统输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比,这点对于单输入单输出系统而言是毫无疑问的。那么对于多输入多输出系统,是否可以用类似的方法来定义系统的输入输出之间的关系呢？回答是肯定的。 线性定常系统的描述为( )( )(0)0dXAX tBU tXdt定义系统的传递函数矩阵为 ( )( ) ( )Y sG s U s第2章 控制系统的时域和频域描述其中 111( )( )( )()(0)()( )( ) () ( )Y sCX sDU sC sIAXsIABU sDU sC sIABD U s因此,系统的传递函数矩阵可以写成1( )()G sC sIABD 利用卷积的性质并且注意到LeAt=(sI-A)-1,得()0( )( )( )tA tY tCeBUDU t将方程（2.88）写成分量的形式，有 ( )( )( )iijjjY sG s Us第2章 控制系统的时域和频域描述 其中,Gij(s)称为第j个输入到第i个输出之间的传递函数。 大的动态系统通常可以分解成多个具有相对简单的SISO关系的模块集,因此可以通过这些模块集的计算来获得整个系统的传递函数。假设单个模块的基本形式如图2.8所示，其传递函数可以表示为( )( ) ( )Y sG s U s图2.8 单个模块的形式 第2章 控制系统的时域和频域描述 1) 串联系统 两个模块串联的框图如图2.9所示,该系统的传递函数可以写成22121( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )Y sG s Z sG s G s U sG sG s G s因此,对于串联系统有 (2.89) 图2.9 模块串联的形式 第2章 控制系统的时域和频域描述 2) 并联系统 两个模块并联的框图如图2.10所示,该系统的传递函数可以写成 Y(s)= Y1(s)+Y2(s)=G1(s)U(s)+G2(s)U(s) =G1(s)+G2(s)U(s) 图2.10 模块并联的形式 第2章 控制系统的时域和频域描述 因此,对于并联系统有12( )( )( )G sG sG s 3) 闭环系统（反馈连接） 两个模块构成反馈回路的框图如图2.11所示,该系统的传递函数可以写成 Y(s)=G0(s)E(s)=G0(s)U(s)-B(s) =G0(s)U(s)-H(s)Y (s) I+G0(s)H(s)Y(s)=G0(s)U(s)或者 Y(s)=I+G0(s)H(s)-1 G0(s)U(s)第2章 控制系统的时域和频域描述图2.11 反馈结构形式 第2章 控制系统的时域和频域描述因此，对于反馈系统有100( )( )( )( )G sIG s H sG s因此,对于并联系统有00( )( )1( )( )G sG sG s H s第2章 控制系统的时域和频域描述图 2.12第2章 控制系统的时域和频域描述131311113124141121413535125115222522422562351152252641115246125231152463225()()()(1)(1)YH XH H UGH HYH XH H UGH HYH XHXXH H UH XXH XH UXH UH H XYH H UH H UH H HH H UH HH H H UH H UGH HH H HCH H或者 或者 第2章 控制系统的时域和频域描述 将上述结果写成矩阵形式,可得到整个系统的传递函数矩阵1121313200GGGGG 注意到系统的第二个输入U2与第一、第三个输出没有直接相连。第2章 控制系统的时域和频域描述 2.2.8 系统的频域仿真 从前面的论述可知,传递函数在动态系统的分析和描述中具有重要的作用。表2.1总结了前面得到的相关的一些结论。 如果传递函数已知,则可以首先确定式（2.90）表示的系统脉冲响应。然后对于任何的输入信号,可以通过式（2.89）的卷积公式计算它的期望响应。当然,也可以利用式（2.88）用部分分式展开或者留数定理来确定它的逆变换。 第2章 控制系统的时域和频域描述表2.1 传递函数的相关结论 第2章 控制系统的时域和频域描述 下面来看一个非常重要的特殊输入信号,即正弦函数曲线。一个LTI系统的频域响应就是它在一个可变正弦信号作用下的输出响应。这里的可变是指正弦信号的频率发生变换。这时的系统输出响应仍然是正弦信号,但信号的幅值和偏移角都将发生改变。 对于输入 u(t)=bsin(t) (2.91) 通