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第五章 不等式第1讲不等式的概念与性质考纲要求考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景.对于不等式的每条性质，不仅要记住其结论，还要明确其成立的前提，忽略某些性质成立的条件往往会造成解题失误.1比较原理(两实数之间有且只有以下三个大小关系之一)abab0；abab0；abab0.2不等式的性质(1)对称性：abba；abba.(2)传递性：ab，bc_.ac(3)可加性：ab_.移项法则：abcacb.acbd推论：同向不等式可加ab，cd_.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0_.推论 1：同向(正)可乘：ab0，cd0_.推论 2：可乘方(正)：ab0_(nN*，n2)(5)可开方(正)：ab0_(nN*，n2)acbcacbdacbcanbn1“acbd”是“ab 且 cd ”的( )AA必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是()DAba0Ca2b20Ba3b30Dba03已知 a，bR，且 ab，则下列不等式中恒成立的是( )B4已知集合 Ax|xa，Bx|1x2，且 A(RB)R，)C则实数 a 的取值范围是(Aa2Ca2Ba2(，0)考点1 不等式的基本性质例1：(2011 年陕西)设 0ab 成立的充分而不必)要的条件是(Aab1Ca2b2Bab1Da3b3A解析：对A项，若ab1，则ab1，则ab；若ab，不能得到ab1.对B项，若ab1，不能得到ab；对C项，若a2b2，可得(ab)(ab)0，不能得到ab；对D项，若a3b3，则ab，反之，若ab，则a3b3，a3b3是ab成立的充分必要条件(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，说明一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，只能用所学知识严密证明【互动探究】1如果 a，b，c 满足 cba，且 acacCcb20Dac(ac)0，a3b30，且 a1a3，试比较下列各组数的大小(1)a2 与 b2；(2)a5 与 b5.解析：设an的公比为q，bn公差为d，a3a1q2，b3b12da12d，a3b3，a1q2a12d.即2da1(q21)又a1a3a1q2，q1.作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等总之，变形到能判断出差的符号即可【互动探究】2若 a0，b0，m0，且 ab，则下列不等式中恒成立的是()ADA0B1C2D33已知下列不等式：x232x；a3b3a2bab2(a，bR)；a2b22(ab1)，其中正确的个数为( )解析：x22x3(x1)220，x232x.a3b3a2bab2(ab)(a2b2)(ab)(ab)20，a3b3a2bab2.a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)考点3 利用作商比较大小(1)求数列an的通项公式；(2)数列an是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由作商法：若B0，欲证AB，只需证1.步AB骤：作商式；商式变形；判断商值与 1 的大小关系指数不等式常用作商法证明有时要用到指数函数的性质如若a1，且x0，则ax1 等【互动探究】4比较 1816 与 1618 的大小易错、易混、易漏8忽略考虑等号能否同时成立例题：设 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围正解：方法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)即4a2b(mn)a(nm)b.f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10.5f(2)10.【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题，可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法，要特别注意1ab2,2ab4 中的a，b 不是独立的，而是相互制约的，因此无论用哪种方法都必须将ab，ab当作一个整体来看待图5111准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况“单向性”主要用于证明不等式；“双向性”主要用于解不等式，因为解不等式必须是同解变形2判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法特别对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法非常方便两个(多个)同向不等式可相加或相乘(注意限制条件)，但不能相减或相除在求差或商的时候，可根据差、商分别是和、积的逆运算，先进行转化，再利用不等式的性质转化为同向不等式的相加或相乘
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